Maths et Délires

[Igor]

Voilà deux exos très cools de géométrie (issus d'IMO):

1/ Facile mais sympa:

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que la droite CD soit tangente au cercle de diamètre AB. Démontrer que la droite AB est tangente au cercle de diamètre CD si et seulement si les droites BC et AD sont parallèles.



2/ Plus dur:

P est un point à l'intérieur du triangle ABC tel que (en angles) APB-ACB=APC-ABC
Soient D et E les centres des cercles inscrits respectivement dans les triangles APB et APC. Montrer que les droites AP,BD et CE sont concourantes.

[pamp]

Hey,

Si ABCD est un parallélogramme, c'est ok.

On suppose que les droites (AB) et (CD) sont concourantes en O, avec I milieu de [AB] et J milieu de [CD], G le pied de la perpendiculaire de J sur AB et H le pied de la perpendiculaire de I sur CD.
Il vient,
IH=IA
et les triangles OIH et OJG sont similaires
donc OI/IH=OJ/JG et OB/OA=(OJ-JG)/(OJ+JG).

D'où, AB est tangente au cercle de diamètre [CD] ssi OB/OA=OC/OD
qui revient à dire que BC//AD.

[François]

Bonjour, bonjour. J'aime bien le second exercice parce qu'il est plutot simple et qu'il fait appel à des notions classiques de géométrie synthétique :)

Premièrement, il faut remarquer que les angles APC - ABC ; APB - ACB et BPC - BAC sont les angles du triangle podaire défini par le point P et ces angles sont respectivement opposés aux sommets B, C et A. En effet :
Soit F,G et H les projetés orthogonaux du point P sur les segments AB, AC et BC respectivement. F, G et H déterminent les sommets du triangle podaire relatif au point P dans le triangle ABC. AFPG, BFPH et CHPG sont trois quadrilateres inscriptibles car pour chacun deux,les angles droits en F,G,H interceptent un diamètre du cercle circonscriptible. On va s'intéresser en particulier au quadrilatere AFPG. La meme reflexion est valable pour les autres quadrilateres...
( pour les lignes qui suivent XYZ designe l'angle en Y ) FHG = FHP + PHG = FBP + PCG = ( 180 - ( CBP + PCB ) ) - ( 180 - ( FBP + PCG + CBP + PCB ) ) = BPC - BAC
Si donc APB - ACB = APC - ABC, alors GFH = FGH, cad que le triangle GFH est isocele ou encore |GH| = |FH|
Nous allons montrer maintenant que ceci est une condition suffisante et necessaire pour que P appartienne au cercle d'Appollonius du triangle ABC passant par le sommet A.|
|GH|=|PC|sinC car |PC| est un diametre du cercle circonscrit au triangle CGH
de meme |FH|=|BP|sinB
dans le triangle ABC, nous avons aussi b/sinB=c/sinC=2R et donc
|GH|=c|PC|/2R
|FH|=b|PB|/2R
ou encore c/b=|PC|/|PB| qui témoigne bien du fait que P appartient au cercle d'Appollonius.

Attaquons le problème!
Soit X le point d'intersection de BD avec AP et Y celui de CE avec AP. Le probleme equivaut à montrer X=Y
BX et CY sont les ceviennes qui bissectent respectivement les angles ABP et ACP. Par le theoreme de la bissectrice :
c/|BP|= |AX|/|XP|
b/|PC|= |AY|/|YP|
mais P est sur le cercle d'Appollonius decrit precedemment et on peut égaler les deux expressions pour obtenir que :
|AX|/|XP|=|AY|/|YP|
X et Y sont sur une meme droite et comme les rapports de section sont bijectifs en fonction de la position du point variable aux deux points fixes ( A et P ), il découle directement que X=Y et le problème est terminé.

PS : A toute l'équipe francaise de l'IMO, à dans quelques jours à Mérida, je concours pour l'équipe belge :)

[Toumaf]

Catastrophe, Igor, tu entraînes l'équipe belge!!!! :p

[Overlord]

Et alors ? Sont gentils les Belges...

Ovi, belge
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Il y a 11 catégories de gens sur Terre :
- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
- Ceux qui la connaissent et qui connaissent le binaire
- Ceux qui ne comprennent pas
Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi...

[antony]

Oui, au moins les Wallons (c'est assez catastrophique ici à Salamanque : la guide belge ne parle que peu français ou anglais, alors les Wallons sont souvent avec nous et les Flamands avec les Néerlandais )