Maths et Délires

Thibaut · Posté le: 29 Sep 2006, 20:22 Sujet du message: Exos des normaliens

Amis normaliens, échangez vos exos...

Aujourd'hui, premier TD de l'année, en Analyse 1 :
Pour le moment, je ne mets que ceux dont je me souviens.

Exo 1 :
1) Soit p entier premier. Montrer que Z/pZ est un corps [Là, on se dit : Ça va, c'est pas trop dur...]
Soit d entier naturel non nul.
2) Déterminer le cardinal de GL_d(F_p) [Il me semble que c'était dans le sujet d'écrit I]
3) Déterminer le cardinal du sous-groupe des matrices trigonales supérieures, ayant que des 1 sur leur diagonale principale.
4) Montrer que d! | card (GL_d(F_p)) [Il me semble que dans le sujet d'écrit, on devait montrer 2^d.d! | card (GL_d(F_p))]

Exercice 10 :
1 et 2) Soit H groupe. Montrer que si les seuls sous-groupes de H sont triviaux, alors H est isomorphe à un Z/pZ avec p premier.
3) Soit G groupe. On suppose que M est un sous-groupe maximal de G, et qu'il est de plus distingué dans G. Montrer que G/M est isomorphe à un Z/pZ avec p premier.

Exercice 11 : Soit G groupe abélien fini.
3) Montrer que G se décompose en produit de groupe cycliques [je ne me souviens plus des questions intermédiaires...]
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

AnalyX · Posté le: 29 Sep 2006, 20:36 Sujet du message:

Lol vous vous voyez pas là bas ?

abbesanchez · Posté le: 29 Sep 2006, 21:09 Sujet du message:

pour les réponses qui me sont venues vite (ou déja vues) :
Exo 1 : à part le début, aucun stuce me viens à l'esprit
Exo 10 : 1) et 2) si G est un groupe et p| |G| alors on peut trouver un élément d'ordre p dans G (c'est un théorème de Cauchy qu'on trouve par l'équations des classes sur les (x_1...x_p) avec x_1*... = 1). le résultat s'ensuit.
3) on démontre directement qu'il n'y a pas de sous-groupe non trivial de G/H (en prenant les images réciproque par la projection canonique). ainsi, G/H vérifie les hypothèses de la question précédente. d'où l'assertion. je crois même qu'on a des propriétés assez intéressantes de l'intersection des sous-groupes d'indice premier.
Exo 11 : c'est un théorème de structure assez classique pour les groupes abéliens. en fait, de mémoire, on peut décomposer le groupe abélien en p-groupes. on se ramène donc au cas où G p-groupe et on fait une récurrence qui est basée sur le quotientage de G par <x> où x d'ordre maximal. il faut juste prouver que chaque classe admet un élément dont l'ordre est celui de la classe dans le quotient.

Mais pourquoi je fais ça puisque je veux faire l'X

Edit : pour l'exo 10, certes j'ai supposé G fini mais comme G infini entraîne ici clairement G isomorphe à Z, on s'y ramène sans problème. mais effectivement, là ça fait un peu marteau-pillon inutile...

xavier · Mathématicien(ne) Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190

Rigolo pour un TD d'analyse Wink

.
C'est qui que vous avez en TD ?

Cerise · Posté le: 30 Sep 2006, 10:41 Sujet du message:

raoul · Être humain normal Inscrit le: 30 Sep 2006 Messages: 1

Pour l'exercice 10, 1 et 2) :
On suppose que H n'est pas le groupe trivial. Soit x différent de l'élément neutre. Le sous-groupe engendré par x est nécéssairement égal à H tout entier. H est donc cyclique. Mais il est clair que ni Z ni les Z/nZ avec n non premier ne vérifient la propriété voulue, donc H est isomorphe à Z/pZ avec p premier.
Sinon, il s'agissait plutôt du TD d'algèbre 1 avec la belle Rachel...

xavier · Mathématicien(ne) Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190

Tiens, je ne sais pas comment vous avez fait Exo1-4), mais pour le 2^d*d!, il suffit de voir que le groupe des matrices de permutations avec éventuellement des -1 à la place des 1 est un sous-groupe de GL_d(F_p) (donc, il faut peut-être p>2) et qu'il a pour cardinal 2^d*d!. On conclut alors par le théorème de Lagrange.

Thibaut · Posté le: 30 Sep 2006, 17:56 Sujet du message:

Thibaut · Posté le: 02 Oct 2006, 21:52 Sujet du message:

TD Algèbre I, le reste :

Exo 2 :
Soit G un groupe, H un sous-groupe distingué de G.
1)
a) Montrer que les sous-groupes distingués de G/H sont les K/H, où H distingué dans K, lui-même distingué dans G.
b) Soit K tel que juste au-dessus, montrer que (G/H)/(H/K) isomorphe à G/K.
c) Expliciter un isomorphisme pour G=Z.
2) soit K sous-groupe de G.
a) Montrer que H inter K distingué dans K
b) Montrer que H.K = {h.k,h \in H, k\in K} sous-groupe de G.
c) Montrer que H distinué dans H.K.
d) Montrer que K/(K inter H) isomorphe à K.H/H
e) Expliciter un isomorphisme dans le cas où G=Z.

Exercice 3 : Diagramme commutatif avec suites exactes, berk par forum...

Exercice 4 : Identifier S_n (groupe symétrique) à un sous-groupe de A_(n+2) (groupe alterné)

Exercice 5 : Soit G groupe fini d'ordre n>1.
1) Montrer qu'il admet une partie génératrice {a_1,...,a_k} où pour tout i convenable, a_i n'est pas dans le sous-groupe engendré par {a_1,...,a_(i-1)}
2) Montrer que si {a_1,...,a_k} est une telle partie, alors n>=2^k.
3) Montrer : |Aut G|<=n^log_2 n.

Exercice 6 :
1) Soit p premier impair
a)Montrer que pour k>=0, (1+p)^(p^(k-1))=1 [p^k]
b)En déduire que pour k>=0, (Z/p^kZ)* isomorphe à Z/(p^(k-1).(p-1))Z
2) Identifier (Z/2^k.Z)* pour k>=0
3) Pour quels entiers n>=1, (Z/nZ)* cyclique ?

Exercice 7 : Soit phi l'indicatrice d'Euler.
1) Montrer \forall n \in IN*, Sum{x.y=n) phi(x)=n.
2) Résoudre phi(n)=24.
3) Soit mu la fonction de Moebius. Montrer :
\forall n\in IN*, phi(n)=Sum{x.y=n} mu(x).y

Exercice 8 : Encore des suites exactes...

Exercice 9 : Montrer que G=(Q/Z,+) est un groupe de torsion (que tous ses éléments sont d'ordre fini), et que pour chaque n\in IN*, G admet un unique sous-groupe d'ordre n. Montrer que de plus celui-ci est cyclique.

TD Compilation : Ecrire un interpréteur de lambda-calcul en OCaml (+ révisions pour ceux qui découvrent OCaml).
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Thibaut · Posté le: 03 Oct 2006, 21:12 Sujet du message:

Aujourd'hui 4 TD :

D'abord : Topologie / Analyse diff :

Exo 1 : étude de la distance SNCF : Pour E IR-evn, on pose d : E² -> IR, (x,y)->||x-y|| si (x,y) liée, ||x||+||y|| sinon.
Questions : dessiner les deux types de boules dans le cas où E=iR² muni de sa norme euclidienne canonique, caractérisation des suites convergentes, des applications continues au départ de E.

Exo 2 : Equivalence de distances :
1) Montrer que si d est une distance sur E, alors d' : E²->IR, (x,y)->min(1,d(x,y)) en est une autre, équivalente. De même avec d" : E²->IR, (x,y)->d(x,y)/(1+d(x,y)).
2) Soit F ensemble, (E,d) métrique, f : F->E, d' : F²->IR, (x,y)->d(f(x),f(y)). Condition sur f pour que d' soit une distance ? Dans le cas E=F, condition sur f pour que d' soit équivalente à d ?
3) Soit E=]-1,1[, d la distance usuelle sur E, et d' : E²->IR, (x,y)->d(tan(pi.x/2), tan(pi.y/2)). Montrer que d' distance sur E, équivalente à d. E est-il complet pour d ? Et d' ?

Exercice 3 : Espaces de Fréchet.
Soit F evn, E = C°(IR,F). Pour k€IN*, on pose |.|_k : E->IR, f->max_#{x€[-k;k]} ||f(x)||.
0) Montrer que les |.| sont des semi-normes sur E.
On pose d : E²->IR, (f,g)->Sum_{k€IN* } 2^-k.min(1,|f-g|_k)
et d' : E²->IR, (f,g)->Sup_{k€IN*} min (1/k,|f-g|_k)

1) Montrer qu'il s'agit de distances.
2) Montrer qu'une suite de E converge pour d ssi elle converge d' ssi elle converge uniformément sur tout compact.
3) Montrer que E est complet pour ces deux distances.
4) Montrer que n'est localement convexe pour aucune de ces distances, et donc qu'il n'est pas normable.
5) Recommencer sur E=S(IR^d), l'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide : S(IR^d) = {f€C^oo(IR^d,IR),\forall k€IN*, \forall a€IN^d, x->(1+||x||^k) (d^a.f/dx^a) (x) est bornée} où, pour a=(a_1,...,a_d) l'on a noté d^a.f/dx^a la dérivée de f a_1 fois suivant e_1, ..., a_d fois suivant e_d, le tout avec (e_1,...,e_d) base canonique de IR^d.
On pose alors, pour k€IN*, a€IN^d, |.|_(k,a) : E->IR, f->sup_{x€IR^d} (1+||x||)^k.|(d^a.f/dx^a) (x)|
On construit de manière assez similaire d et d', et on repose les mêmes questions...

Pendant ce temps, une salle à côté, TD d'Algorithmique programmation :
Exo 1 : On se donne un immeuble de n étages, et k étudiants. Le but est de déterminer à partir de quel étage une chute est mortelle. Pour cela, une seul test : balancer les étudiants par les fenêtres. Si l'étudiant meurt... Impossible de le réutiliser dans un test ultérieur. Le but : minimiser le nombre de lancers.
Sekh, qui y assistait, pourra vous donner plus de détails sur les résultats à montrer.
Exo 2 : Graphe biparti, et mariage... J'ai regardé de loin, et je suis sûr qu'avec deux trois analogies bien placées, on a de quoi sortir des trucs rigolos en sociologie...

Ensuite, TD Intégration / Proba :
Exo 0 : définitions de liminf, limsup dans IRU{-oo,+oo} et propriétés basiques. Montrer que si E infini, P(E) non dénombrable. Euh, qu'y avait-il d'autre ?
Exo 1 :
1) Pour (A_n)€P(E)^IN, on pose liminf_{noo} A_n = U_{n>=0} inter_{k>n} A_k, et limsup A_n = inter_{n>=0} U_{k>=n} A_k.
Trouver des caractérisations sympas de ces ensembles, et ce que ça donne en termes de fontions caractérisitiques.
2) Soit (E,A,mu) espace mesuré, (A_n)€A^IN. Montrer : mu(liminf_{noo} A_n)<=liminf_{noo} mu(A_n), et si mu(U_{n>=0}A_n)<+oo, mu(limsup_{noo} A_n)>= limsup_{noo} mu(A_n) (avec un peu de chance, je n'ai pas trop mélangé les deux énoncés...)
3) Lemme de je-ne-sais-plus-qui, que j'avais eu à montrer en ADS de Probas à l'X : Soit (E,A,mu) espace mesuré, (A_n)€A^IN telle que Sum_{n€IN} mu(A_k) converge. Montrer que mu(limsup_{noo} A_n)=0.
4) Applications : Soit eps>0, montrer que pour presque-tous les réels (mesure de Lebesgue) x€]0;1[, il n'existe qu'un nombre fini de p,q entiers tels que |q.x-p|<1/q^(1+eps).
Soit (a_n)€(IR+)^IN tels que Sum_{n>=0} sqrt(a_n)<+oo, (b_n)€IR^n, montrer que pour presque-tous les réels (mesure de Lebesgue) x€IR, Sum_{n>=0} a_n/|x-b_n| <+oo
5) Euh... Sais plus
Exo 2 : Montrer qu'une tribu n'est jamais dénombrable.

Puis, le soir : TD Langages formels :
Mots de Lukasiewicz, mots de Lyndon.
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AnalyX · Posté le: 03 Oct 2006, 21:46 Sujet du message:

Rhaa l'ens ça à vraiment l'air génial ! Beaucoup de maths dès la rentrée pendant que certains rampent dans la boue ... Mr. Green

Thibaut · Posté le: 03 Oct 2006, 21:51 Sujet du message:

Je ne peux que confirmer....
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Thibaut · Posté le: 05 Oct 2006, 13:36 Sujet du message:

TD Intégration-Probas, suite et fin :
Exo 3 : Trouver un exemple d'union d'une suite croissante de tribus sur IN, qui n'est pas une tribu sur IN.

Exo 4 : Montrer que pour tout eps>0, il existe O_eps, ouvert dense de IR, de mesure de Lebesgue <=eps.
En déduire que, pour eps>0, il existe F_eps fermé d'intérieur vide de IR, tel que pour A de mesure lambda(A) de Lebesgue finie,
lambda(A inter F_eps) >= lambda(A)-eps.

Exo 5 :
Soit (d_n) € ]0;1[^IN, et K_0=[0.1]
Pour n€IN, en supposant que K_n union finie de segments (A_k) disjoints, on pose B_k l'intervalle ouvert de même centre que A_k, tel que lambda(B_k)=d_n lambda(A_k).
On pose alors K_(n+1)=K_n\{U_k B_k).
On pose enfin K=inter_{n€IN} K_n
Montrer que la suite (K_n) est bien définie, que K compact non dénombrable, d'intérieur vide, et dont tous les points sont d'accumulation. Calculer sa mesure de Lebesgue lambda(K).
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antony · Posté le: 05 Oct 2006, 14:15 Sujet du message:

Thibaut · Posté le: 05 Oct 2006, 20:27 Sujet du message:

Tu fais nos TD ?
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Thibaut · Posté le: 06 Oct 2006, 17:42 Sujet du message:

TD Logique (le Vendredi soir, mortel) :

Exo 1 : Décrire en français les ensembles suivants, puis donner leur cardinalité (ils étaient donnés avec des quantificateurs, je traduis déjà).

S_1 = {f€IN^IN, exists n€IN, forall m€IN, m>n => f(m) = 0} ( =IN^(IN) )
S_2 = {f€IN^IN, exists n€IN, forall m€IN, m>n => f(m) = f(n)}
S_3 = {f€IN^IN, exists M€IN, forall n€IN, f(n) < M} ( = B(IN,IN) )
Pour M€IN, S_(4,M) = {f€IN^IN, forall n€IN, f(m) < M} (= [[0;M-1]]^IN
Pour M€IN, S_(5,M) = S_(4,M) inter S_1
S_6 = {f€IN^IN, forall m€IN, forall n€IN, m<n => f(m) < f(n)}
S_7 = {f€Q^IN, forall k€IN, exists m€IN, forall n€IN, m>n=>f(m)<=1/2^k}

Exo 2 : Axiomatique de Zermelo finie et variations

Exo 3 : Algèbres / Anneaux de Boole.

Exo 4 : Ensembles infinis / Ensembles équipotents à une de leur parties propres.
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Etienne · Posté le: 06 Oct 2006, 18:13 Sujet du message:

Thibaut · Posté le: 09 Oct 2006, 10:56 Sujet du message:

TD Compilation : Automates
- Lecture/Ecriture d'un automate dans un un fichier
- Ecriture d'un compilateur d'automates (du type automate défini en OCaml vers du code OCaml).
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antony · Posté le: 09 Oct 2006, 13:28 Sujet du message:

Thibaut · Posté le: 09 Oct 2006, 22:04 Sujet du message:

Mouarf... Je viens de terminer le compilateur... J'adore ! Trop marrant d'écrire des bouts de code Caml dans des chaînes, et dispersé dans un autre code Caml, de devoir gérer en même temps les variables du compilateur et celles du programme qui va être construit...
Et vivent les fonctions string_of_int, List.map (map en Caml Light), List.iter (do_list en Caml Light), List.fold_left (it_list, à moins que ce ne soit list_it en Caml Light), String.concat (je ne crois pas qu'il y ait d'équivalent en Caml Light) !

Edit : Hier, cours de C prévu en six séances d'une heure entrecoupées par autant de TP de deux heures... effectué en trois heures. Et encore, c'était moins prise de tête que la Logique d'hier midi.
Et ce matin, TD : Crible d'Eratosthène à faire en C.
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