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Une série

 
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Thibault
Être humain normal


Inscrit le: 23 Aoû 2005
Messages: 7

MessagePosté le: 08 Nov 2006, 15:55    Sujet du message: Une série Répondre en citant

Nature de la série de terme général (-1)^n/(n!)^(1/n) ?
J'ai une solution mais je pense qu'il y'a plus simple...
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 10 Nov 2006, 14:23    Sujet du message: Répondre en citant

1/(n!)^(1/n) ~{noo} 1/((n/e)^n.sqrt(2.pi.n))^(1/n) = e/(n.(2.pi.n)^(1/(2n))) = e/n.exp(-ln(2.pi.n)/(2n)) ~{noo} e/n.
Donc la série n'est pas absolument convergente.
Je regarderai tout à l'heure si la série relève du TSA.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
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MessagePosté le: 10 Nov 2006, 20:33    Sujet du message: Répondre en citant

On a ln (n!) ={noo} n.ln n-n+o(n) (Moins fort que Stirling)

D'où :
ln(n!^(1/n)/(n+1)!^(1/(n+1)))
= (ln (n!))/n - ln (n+1)/(n+1) - (ln (n!))/(n+1)
= (ln (n!))/(n(n+1)) - ln (n+1)/(n+1)
= [ln (n!)/n - ln(n+1)]/(n+1)
= [ln n - 1 - ln n + o(1)]/(n+1)
~ -1/n, donc strictement négatif àpcr.
D'où : la suite des 1/(n!)^(1/n) est décroissante àpcr, et donc le TSA s'applique : la série est semi-convergente.
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Thibault
Être humain normal


Inscrit le: 23 Aoû 2005
Messages: 7

MessagePosté le: 10 Nov 2006, 22:51    Sujet du message: Répondre en citant

J'avais fait : n! <= n^n donc la série n'est pas absolument convergente.

Par IAG 1/(n!)^(1/n) <= 1/n sum_{i=1}^n 1/k <= 1/n (ln n +1) --> 0
et on vérifie facilement que (n!)^(1/n) croît.
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 11 Nov 2006, 0:48    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
n! <= n^n
Effectivement, c'est plus simple que l'équivalent...


Par contre, je suis curieux de voir une vérification facile de la croissance de (n!)^(1/n).
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Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 11 Nov 2006, 11:01    Sujet du message: Répondre en citant

(n+1)!^n=n!^n*(n+1)^n > n!^n*n!=n!^(n+1),
d'où
(n+1)!^(1/n+1) > n!^(1/n).

On peut aussi voir ça en remarquant que (n+1)!^(1/n+1) est la moyenne géométrique de n!^(1/n), n!^(1/n), ..., n!^(1/n), (n+1), avec n fois le facteur n!^(1/n). Du coup, comme n!^(1/n)<=n<n+1 la suite est strictement croissante. (Plus long mais peut-être plus intuitif).
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 12 Nov 2006, 13:33    Sujet du message: Répondre en citant

Effectivement.
Thibaut, plus habitué au bourrinage qu'aux IAG.
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