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caractérisation bizarre

 
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
Localisation: paris

MessagePosté le: 02 Oct 2006, 7:18    Sujet du message: caractérisation bizarre Répondre en citant

il s'agit d'affirmer ou d'infirmer la caractérisation suivante des groupes cycliques :
G fini est cycliques ssi pour tout diviseur premier p de |G| il existe un unique sous-groupe de G d'indice p.
pour l'instant j'ai réussi à prouver :
G fini nilpotent est cyclique ssi pour tout diviseur premier p de |G| il existe un unique sous-groupe de G d'indice p.
c'est pas très dur à faire mais l'hypothèse de nilptotence permet de conclure...
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 02 Oct 2006, 7:47    Sujet du message: Répondre en citant

C'est quoi un groupe nilpotent ?
Et c'est quoi l'indice d'un groupe ? Le plus grand ordre de ses éléments ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Untitled
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Avr 2006
Messages: 93
Localisation: Henri 4, of course

MessagePosté le: 02 Oct 2006, 8:04    Sujet du message: Répondre en citant

Euh... je ne voies pas pourquoi les sous groupes doivent être uniques... Qu'est ce qui m'empeche d'avoir plusieurs sous groupes d'indice 2.
En fait, tu appelles indice l'ordre du sous groupe non ?
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 02 Oct 2006, 10:50    Sujet du message: Répondre en citant

Non, c'est l'ordre de (G/le sous groupe), je crois.
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 02 Oct 2006, 13:17    Sujet du message: Répondre en citant

Et nilpotent, c'est quoi ?
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
Localisation: paris

MessagePosté le: 03 Oct 2006, 19:22    Sujet du message: Répondre en citant

indice d'un sous-groupe H de G : pour les groupes finis, c'est le cardinal de G divisé par celui de H
dans le cas général je crois que c'est cardinal de G/H = cardinal de H\G (égalité simple à prouver).
groupe nilpotent : comme j'ai la flemme de définir ça bien, je donne une formulation équivalente dans le cas fini (que j'ai utilisée dans ma démo) : si G fini, G nilpotent si tout sous-groupe maximal est distingué.
voici ce que je fais pour ma démo. G_p est l'unique sous-groupe d'indice p.
- lemme : pour tout sous-groupe maximal H de G (G non trivial) qui est distingué, le quotient est cyclique d'ordre premier.
En effet, si H maximal et distingué alors G/H n'admet pas de sous-groupes non triviaux donc est généré par n'importe quel de ses éléments non neutre. Il est donc cyclique. Les groupes cycliques n'admettant aucun sous-groupe non trivial étant d'ordre premier, c'est bon.
- les G_p sont distingués : en effet, l'hypothèse entraîne leur stabilité par les automorphismes de G et en particulier par les automorphismes intérieurs. en fait, on dit qu'ils sont caractéristiques (ie stable par les automorphismes de G).
- on considère le sous-groupe F de Frattini (intersection des sous-groupes maximaux). Les G_p sont maximaux (clair). Or, les seuls sous-groupes maximaux sont les G_p (par la nilpotence+lemme). Ainsi, F est l'intersection des G_p.
- l'application G->G/G_p*G/G_q*... canonique. le noyau de cette application est exactement F. ainsi, F est distingué (en fait, on a mieux : F est caractéristique et cela reste vrai dans le cas général). ainsi, G/F est un groupe isomorphe à un sous-groupe du groupe G/G_p*... Or, ce dernier groupe est isomorphe à Z/pZ*Z/qZ*... qui est lui-même isomorphe à Z/(pq...)Z. Ceci prouve que G/F est cyclique engendré par la classe de x.
- il s'agit de montrer que x engendre G. en effet, sinon <x> serait inclus dans un sous-groupe maximal G_p. ainsi, G_p serait projeté sur G/F par l'application quotient. Or, c'est impossible car G_p est projeté sur G_p/F et G/G_p est isomorphe à (G/F)/(G_p/F). on aurait donc, en comparant les cardinaux, p = 1 impossible.
Voilà. C'est pas très beau et l'utilisation de nilpotence m'embête puisque j'arrive pas à y échapper. Je me suis pas relu donc je sais, les erreurs doivent fuser de partout Wink
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tiou-tiou
Être humain normal


Inscrit le: 02 Déc 2006
Messages: 2

MessagePosté le: 02 Déc 2006, 15:29    Sujet du message: Re: caractérisation bizarre Répondre en citant

abbesanchez a écrit:
il s'agit d'affirmer ou d'infirmer la caractérisation suivante des groupes cycliques :
G fini est cyclique ssi pour tout diviseur premier p de |G| il existe un unique sous-groupe de G d'indice p.


Non seulement c'est vrai mais on peut même réduire les hypothèses :

G fini est cyclique ssi pour tout diviseur premier p de |G| il existe au plus un sous-groupe de G d'indice p.

Indice : n = \sum phi(d)
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