Maths et Délires
Des maths et des délires
 

Maths et Délires Index du Forum

 FAQFAQ   RechercherRechercher   Liste des MembresListe des Membres   Groupes d'utilisateursGroupes d'utilisateurs   S'enregistrerS'enregistrer 
 ProfilProfil   Se connecter pour vérifier ses messages privésSe connecter pour vérifier ses messages privés   ConnexionConnexion 

Différentiabilité en dimension infinie

 
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures
Voir le sujet précédent :: Voir le sujet suivant  
Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 13 Déc 2006, 11:05    Sujet du message: Différentiabilité en dimension infinie Répondre en citant

Soit [tex:7b3a11bb3d]g \in C^0 (\mathbb R,\mathbb R)[/tex:7b3a11bb3d].
Soit [tex:7b3a11bb3d]p \in [1;+\infty][/tex:7b3a11bb3d].
Soit [tex:7b3a11bb3d][a;b][/tex:7b3a11bb3d] segment non trivial de [tex:7b3a11bb3d]\mathbb R[/tex:7b3a11bb3d].
On pose [tex:7b3a11bb3d]E = C^0 ([a;b], \mathbb R)[/tex:7b3a11bb3d], que l'on munit de la norme [tex:7b3a11bb3d]\Vert . \Vert_p[/tex:7b3a11bb3d].
On pose [tex:7b3a11bb3d]\begin{matrix} T_g : & E & \rightarrow & R \\ & u & \mapsto & \int_a^b {g \circ u} \\ \end{matrix}[/tex:7b3a11bb3d].

Trouver des conditions suffisantes sur [tex:7b3a11bb3d]g[/tex:7b3a11bb3d] pour que [tex:7b3a11bb3d]T_g[/tex:7b3a11bb3d] soit :
* continu.
* Gateaux-différentiable.
* Fréchet-différentiable.
* de classe [tex:7b3a11bb3d]C^1[/tex:7b3a11bb3d].

Question subsidiaire :
Trouver des sous-espaces "sympathiques" [tex:7b3a11bb3d]F[/tex:7b3a11bb3d] de [tex:7b3a11bb3d]C^0 (\mathbb R,\mathbb R)[/tex:7b3a11bb3d], une norme sympathique dessus, pour que, [tex:7b3a11bb3d]g \mapsto T_g[/tex:7b3a11bb3d] soit :
* continu.
* G-diff.
* F-diff.
* de classe [tex:7b3a11bb3d]C^1[/tex:7b3a11bb3d].
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 13 Déc 2006, 15:01    Sujet du message: Répondre en citant

Quelques réponses :
Citation:
On notera [tex:25c9b29654]T = T_g[/tex:25c9b29654] et [tex:25c9b29654]\Vert . \Vert = \Vert . \Vert_p[/tex:25c9b29654] pour alléger.

* Cas [tex:25c9b29654]p= \infty[/tex:25c9b29654], étude de la continuité de [tex:25c9b29654]T_g[/tex:25c9b29654] :
Montrons que T est toujours continue.
Soit u \in E.
On a u continue sur un segment, donc son image est un segment, mettons [c;d]. g est continue sur [c-1;d+1] donc uniformément continue, on pose \omega son module de continuité. Pour h \in E, tel que ||h|| < 1 :
|T(u+h) - T(u)| \leq \Int_a^b {|g \circ (u+h) - g \circ u|}
\leq \Int_a^b {\omega (|h| (t)) dt}
\leq (b-a) \omega(||h||), qui tend vers 0 quand h tend vers 0 pour ||.||
.

On remarque que si g est uniformément continue, alors T_g l'est aussi, en prenant pour \omega le module de continuité "global" de g, indépendant de u. Le module de continuité de T_g est alors majoré par (b-a) \omega.

* Cas [tex:25c9b29654]p = 1[/tex:25c9b29654], étude de la continuité de [tex:25c9b29654]T_g[/tex:25c9b29654] :
Si g est k-lipschitzienne, alors T_g est k-lipschitzienne :
Soient u, v \in E :
Pour h \in E :
|T(u) - T(v)| \leq \Int_a^b {|g \circ u - g \circ v|} \leq k \Int_a^b {|u-v|}= k ||u-v|.
Il me semblait avoir montré l'an dernier que si g est uniformément continue, ça suffisait pour conclure à la continuité (et même uniforme) de T_g, mais je n'ai pas retrouvé la démo. Peut-être m'étais-je planté
...

* Cas [tex:25c9b29654]p = \infty[/tex:25c9b29654], étude de la classe [tex:25c9b29654]C^1[/tex:25c9b29654].
On suppose g de classe C^1.
Soit u \in E. On pose L : E -> IR, h-> \Int_a^b {h.g' \circ u}. L est clairement linéaire-continue.
u continue sur un segment, on pose [c;d] son image. g' continue sur [c-1;d+1] segment donc y est uniformément continue, on pose \omega son module de continuité.
Pour \h in E, on a :
|T(u+h) - T(u) - L(h)| \leq \Int_a^b {|g \circ (u+h) - g \circ u - h.g' \circ u| dt} \leq ... \leq ||h|| \omega(||h||) = o(||h||). Gagné : T est Fréchet-différentiable en u, et L est sa différentielle en u.
L'argument montrant la continuité de T avec g continue montre également la continuité de T' avec g C^1. D'où : T est de classe C^1
.

_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 13 Déc 2006, 17:11    Sujet du message: Répondre en citant

Tu ne voudrais pas mettre des balise [ tex ] dans tes indications, s'il te plaît ?
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Cerise
Admin gentil


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3323
Localisation: Rennes

MessagePosté le: 13 Déc 2006, 17:35    Sujet du message: Répondre en citant

Le problème c'est qu'on peut pas les mettre en blanc dans ce cas... Enfin, peut-être qu'on peut, mais je sais pas comment.
_________________
Twisted Evil Victime vengeresse Twisted Evil

amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail Adresse AIM Yahoo Messenger
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 13 Déc 2006, 19:26    Sujet du message: Répondre en citant

Moi non plus, je ne sais pas... D'où la solution choisie.
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 13 Déc 2006, 23:30    Sujet du message: Répondre en citant

Et puis comme ça ça pousse les gens à chercher la solution, plutôt que de se jeter sur les réponses.
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Montrer les messages depuis:   
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures Toutes les heures sont au format GMT + 2 Heures
Page 1 sur 1

 
Sauter vers:  
Vous ne pouvez pas poster de nouveaux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas voter dans les sondages de ce forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Traduction par : phpBB-fr.com