Maths et Délires
Des maths et des délires
 

Maths et Délires Index du Forum

 FAQFAQ   RechercherRechercher   Liste des MembresListe des Membres   Groupes d'utilisateursGroupes d'utilisateurs   S'enregistrerS'enregistrer 
 ProfilProfil   Se connecter pour vérifier ses messages privésSe connecter pour vérifier ses messages privés   ConnexionConnexion 

Composantes connexes

 
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures
Voir le sujet précédent :: Voir le sujet suivant  
Auteur Message
henri
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 22 Oct 2005
Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 26 Oct 2006, 10:59    Sujet du message: Composantes connexes Répondre en citant

Montrer que GL(n,C) est connexe;
Montrer que GL(n,R) admet deux composantes connexes (plus dur)
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Visiter le site web du posteur MSN Messenger
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 26 Oct 2006, 11:44    Sujet du message: Répondre en citant

1) On montre que SL_n(K) est engendré par les transvections.
Utiliser une sorte de pivot de Gauss adapté à la situation...
2) On en déduit que SL_n(R) et SL_n(C) sont connexes par arcs :
On pose tout d'abord U(t) =
Code:
[1 t]
[0 1]

Puis A(t) =
Code:
[I_(n-2)  0  ]
[   0    U(t)]

Soit M€SL_n(C). On a M_1,...,M_p des transvections telles que M=M_1*...*M_p. Puis, puisque toutes les transvections sont conjuguées dans GL_n(C), on a, pour k€[[1;p]], P_k€GL_n(C) telle que M_k = P_k.A(1).P_k^-1.
On pose alors M_k(t) = P_k.A(1).P_k^-1.
On pose ensuite M(t) = M_1(t)*...*M_p(t).
On vérifie zézément que [0;1]->SL_n(C), t->M(t) est bien définie (les A(t) sont dans SL_n(C), et les det P_k et les det P_k^-1 se compensent deux à deux...)
De plus, M(0)=I_n et M(1)=M.
Ceci prouve donc que SL_n(C) est connexe par arcs.
De même dans le cas réel, puisque SL_n(C) engendré par les transvections réelles, et que celles-ci sont conjuguées dans GL_n(R).
3) Soit D(d) =
Code:
[d    0   ]
[0 I_(n-1)]

On a SL_n(K)*K* homéomorphe à GL_n(K) via (M,d)->M*D(d), (pour K=R ou C, le tout étant muni de la topologie usuelle (c'est d'ailleurs également un isomorphisme de groupes, pour un produit semi-direct bien choisi).

4) Ainsi, puisque SL_n(C) et C* sont connexes par arcs, GL_n(C) l'est aussi (donc connexe), tandis que puisque SL_n(R) est connexe par arcs et R* a deux composantes connexes qui sont également connexes par arcs, GL_n(R) a deux composantes connexes qui sont également connexes par arcs.

Remarque : pour montrer que SL_n(R) et SL_n(C) sont connexes par arcs, on peut utiliser le fait qu'ils sont simples (ce qui est loin d'être trivial et utilise également fortement les transvections) et que dans un groupe topologique, la composante connexe et la composante connexe par arcs de l'élément neutre sont des sous-groupes distingués (ce qui n'est pas très difficile à montrer).

Au fait, en quoi le cas de R était-il plus compliqué que le cas de C ?
A part que dans le cas de R, il est trivial de dire qu'il y a au moins deux composantes connexes via det : GL_n(R)->R* (morphisme) continu, avec R* ayant deux composantes connexes ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
henri
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 22 Oct 2005
Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 26 Oct 2006, 13:29    Sujet du message: Répondre en citant

parce que la démonstration la plus naturelle fait appel à un théorème d'homéomorphisme concernant les actions de groupe topologique donnant ainsi la connexité de GL+ et celle de GL- avec meme un homéomorphisme entre le deux si mes souvenirs sont bons.
Alors que pour C, il y a bien plus simple que ce que tu as fait en considérant l'application det(zA+(1-z)B) ou A et B sont deux matrices complexes inversibles.
Sinon, la preuve en utilisant la génération de GL(n,K) par des transvections et dilatations est pas mal, mais un peu longuette quand même.
Enfin c'est seulement mon avis Very Happy
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Visiter le site web du posteur MSN Messenger
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 26 Oct 2006, 13:39    Sujet du message: Répondre en citant

Pour GLn(C), il y a plus simple (enfin, plus visuel à mon avis) :
Soit M dans GLn(C), on va montrer que M est dans la composante cpa de In, ce qui permet évidemment de conclure.
Comme, pour tout P inversible f_P : X->P^(-1)XP est continue, on peut supposer que M est triangulaire supérieure (car dans tous les cas M est trigonalisable, et f_P envoie un arc sur un arc). Mais alors, il existe clairement un arc qui relie M à la matrice qui a les mêmes coefficients diagonaux que M et des 0 partout ailleurs (il suffit de faire varier les autres coefficients de manière continue vers 0, ce qui ne change pas le déterminant), et cette autre matrice est reliée par un arc à In (il suffit de faire varier chaque coefficient diagonal de manière continue vers 1 sans le faire passer par 0, ce qui est possible car C* est cpa).

Par contre ça ne marche pas pour GLn(R).

antony, qui ai eu ça avec Pierre Dehornoy l'an dernier...
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 26 Oct 2006, 15:09    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
parce que la démonstration la plus naturelle fait appel à un théorème d'homéomorphisme concernant les actions de groupe topologique donnant ainsi la connexité de GL+ et celle de GL- avec meme un homéomorphisme entre le deux si mes souvenirs sont bons.

Fait voir ?
Ceci dit, trouver un homéomorphisme entre GL_n+(IR) et GL_n-(IR) n'a rien de sorcier... On doit même pouvoir demander qu'il soit compatible avec la multiplication par une matrice de GL_n+(IR)...

Citation:
en considérant l'application det(zA+(1-z)B) ou A et B sont deux matrices complexes inversibles.
Essayons voir avec A=I_n...
det (z.I+(1-z)B) = (1-z)^n.det(B-z/(z-1).I) = (1-z)^n.P_B(z/(z-1)) (P_B polynôme caractéristique de B), qui a une tête à ne s'annuler que lorsque z/(z-1) est racine de P_B, ie ne s'annule pour z€[0;1] que si B admet une VP dans IR*+. Et si par hasard c'est le cas, tu intercales une autre matrice A, c'est ça ?

Antony : effectivement, ta méthode me paraît être la plus simple. En fait, en colle, j'avais utilisé celle-là surtout parce qu'on m'avait demandé avant la connexité de SL_n(IR), où elle ne s'applique pas (faute de trigonalisabilité)...
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 26 Oct 2006, 19:23    Sujet du message: Répondre en citant

En colle, j'avais aussi eu le cas reel, mais seulement apres le cas complexe.
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 27 Oct 2006, 13:06    Sujet du message: Répondre en citant

Tiens, un exo en rapport : Montrer que SO_3(IR) est simple, en utilisant sa connexité.

Citation:
Indications :
* Montrer que si H groupe topologique, alors la composante connexe de l'élément neutre en est un sous-groupe distingué.
* Montrer que si H sous-groupe connexe non trivial de SO_3(IR), alors S contient un demi-tour.
* Montrer que SO_3(IR) engendré par les demi-tours, et que ceux-ci forment une classe de conjugaison de SO_3(IR).
* Conclure

_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 27 Oct 2006, 14:16    Sujet du message: Répondre en citant

J'ai retrouvé "ma" solution pour montrer que GLn(R) a deux composantes cpa.

Il suffit de montrer que {M€GLn(R), det M >0} est cpa. Comme cet ensemble est invariant par homothétie, il suffit en fait de montrer que SLn(R) est cpa (parce qu'une homothétie peut se faire "continûment", vous voyez ce que je veux dire ?). Soit M€SLn(R). La GramSchmidtification de l'image de la base canonique par M peut elle aussi se faire "continûment" (et à aucun moment le déterminant du n-uplet de vecteurs ne change) ; et si à chaque n-uplet de vecteurs qu'on obtient au cours de cette GramSchmidtification on associe la matrice qui envoie la base canonique sur ce n-uplet, on obtient finalement un arc qui relie M à une matrice orthogonale (euh... j'ai été clair ou pas ?).

Enfin bref ; il suffit maintenant de montrer que O+n(R) est cpa.

Or, si M€O+n(R), quitte à prendre la bonne base on peut supposer qu'elle s'écrit sous forme de blocs diagonaux (R(theta_1);...;R(theta_k);1;...;1) où les R(theta_i) sont des matrices 2*2 de rotation ; il reste alors à faire varier continûment chaque theta_i vers 0, ce qui ne change pas le déterminant et montre que M est bien relié par un arc à In.

Voilà voilà...
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 27 Oct 2006, 17:40    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
"parce qu'une homothétie peut se faire "continûment", vous voyez ce que je veux dire ?"
Une homothétie de rapport positif... Sinon, pour n impair, tu montrerais que GL_n(IR) est connexe, ce qui n'est pas.
Sinon, je suis d'accord...
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 27 Oct 2006, 18:54    Sujet du message: Répondre en citant

Oui oui, j'ai oublié ce détail.
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
henri
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 22 Oct 2005
Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 28 Oct 2006, 15:03    Sujet du message: Répondre en citant

alors pour le théorème dont je parlais, voila l'énoncé :
soit G un groupe topologique localement compact et dénombrable à l'infini, opérant continument et transitivement (donc il existe une orbite valant G) sur un espace E localement compact. Alors la bijection G/Gx->E est un homeomorphisme. (je rappelle que j'ai noté Gx le stabilisateur de x)

Alors, a partir de ce théoreme, on l'applique à G = GL+(n,R) opérant transitivement sur R^n-{0}, ouvert dans R^n, donc localement compact, et le stabilisateur de (1,0,...,0) est homeomorphe a GL+(n-1,R)*R^{n-1} (ecrire bien la matrice). D'apres notre gentil thm, le quotient GL+(n,R)/GL+(n-1,R)*R^{n-1} est homeomorphe a R^n
-{0}, puis on récurre a partir de la connexité de GL+(1,R) (homeomorphe a R*+))

Voila, quant a la démonstration du thm, c'est pas tres facile... elle doit surement etre sur internet. Sinon, elle figure dans le livre de Mneimné et Testard sur les groupes de Lie classiques
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Visiter le site web du posteur MSN Messenger
abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
Localisation: paris

MessagePosté le: 13 Nov 2006, 18:30    Sujet du message: Répondre en citant

Y a une démonstration assez "simple" (disons plutôt sympathique) de la connexité par arc (et donc de la connexité) de Gl (n,C). Cependant, il faut admettre la surjectivité de l'exponentielle (de mémoire ça se fait en utilisant les blocs de Jordan et le logarithme d'un unipotent). Il suffit en effet de dire que Gl (n,C) est image par exp du connexe par arc M (n,C) donc est connexe par arc.

Citation:
Remarque : pour montrer que SL_n(R) et SL_n(C) sont connexes par arcs, on peut utiliser le fait qu'ils sont simples (ce qui est loin d'être trivial et utilise également fortement les transvections) et que dans un groupe topologique, la composante connexe et la composante connexe par arcs de l'élément neutre sont des sous-groupes distingués (ce qui n'est pas très difficile à montrer).

Berk. Non seulement c'est tordu mais en plus c'est faux : le centre de SL_n(K) n'est pas trivial en général (par exemple, n pair et on considère -I_n). Par contre, il est vrai qu'on peut utiliser ce genre d'arguments pour remplacer la connexité.
L'année dernière, dans mon TIPE, j'avais la flemme de définir les connexes (après plus de 10 pages de résultats classiques de topologie) et j'ai pu court-circuiter l'utilisation de la connexité dans mes exemples. J'avais une intégrale sur un groupe G (=SL_n(K) ici) invariantes par translation à gauche. Je voulais prouver l'invariance à droite (unimodularité). Il s'agissait de prouver qu'un certain homomorphisme continu mod de G dans ((R+)^*,*) était la fonction 1. On pouvait passer par des trucs pas beaux proches de la connexité. Cependant, en invoquant le fait que le groupe dérivé de G est G lui-même, j'ai eu une démonstration évidente : f(xyx^-1*y^-1)=f(x)f(y)f(x)^-1f(y)^-1=1 donc f = 1 sur les commutateurs donc sur G!.
En utilisant ce même argument de groupe dérivé, on peut prouver que PSL(n,K)=SL(n,K) quotienté par son centre est simple!
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
henri
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 22 Oct 2005
Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 15 Déc 2006, 14:17    Sujet du message: Répondre en citant

abbesanchez a écrit:
Y a une démonstration assez "simple" (disons plutôt sympathique) de la connexité par arc (et donc de la connexité) de Gl (n,C). Cependant, il faut admettre la surjectivité de l'exponentielle (de mémoire ça se fait en utilisant les blocs de Jordan et le logarithme d'un unipotent). Il suffit en effet de dire que Gl (n,C) est image par exp du connexe par arc M (n,C) donc est connexe par arc.


Oui, c'est vrai que c'est pas bete de passer par la surjectivité de l'exponentielle. Je crois me souvenir aussi qu'on introduit le développement (fini) du ln d'un unipotent, quant aux blocs de Jordan par contre, il me semblait qu'on s'en servait plutot pour montrer que l'image de l'exp (sur R) est l'ensemble des carrés des matrices réelles. il faudrait revérifier... Very Happy
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Visiter le site web du posteur MSN Messenger
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 15 Déc 2006, 14:28    Sujet du message: Répondre en citant

On les utilise quand même (ou en tous cas la décomposition en sous-espaces caractéristiques), pour se ramener du cas général au cas d'une matrice à une seule valeur propre, puis au cas unipotent.
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
Montrer les messages depuis:   
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures Toutes les heures sont au format GMT + 2 Heures
Page 1 sur 1

 
Sauter vers:  
Vous ne pouvez pas poster de nouveaux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas voter dans les sondages de ce forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Traduction par : phpBB-fr.com