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Thibaut
Geek mutant fou


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Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 25 Jan 2007, 16:26    Sujet du message: Répondre en citant

Lundi, examen d'Algorithmique et Programmation :
Un problème sur l'algorithme LLL et application à la factorisation de polynômes, un deuxième sur les algorithmes rapides de calcul de transformées de Fourier discrètes pour des tailles qui ne sont pas des puissances de 2.


Ce matin, examen de Topologie et Calcul Différentiel :

Exercice 1 :

Soit [tex:fc223de14a]L[/tex:fc223de14a] isomorphisme de [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a] espace de Banach sur [tex:fc223de14a]F[/tex:fc223de14a] espace vectoriel normé. Que dire de [tex:fc223de14a]F[/tex:fc223de14a] ?

Exercice 2 :

Soient [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a] et [tex:fc223de14a]F[/tex:fc223de14a] deux espaces de Banach et [tex:fc223de14a]f : E \rightarrow F[/tex:fc223de14a] une application de classe [tex:fc223de14a]C^1[/tex:fc223de14a]. On dit que [tex:fc223de14a]b \in F[/tex:fc223de14a] est une valeur régulière de [tex:fc223de14a]f[/tex:fc223de14a] si pour tout [tex:fc223de14a]x \in E[/tex:fc223de14a] tel que [tex:fc223de14a]f(x)=b[/tex:fc223de14a], on a [tex:fc223de14a]Df(x)\in \mathit{Isom} (E; F)[/tex:fc223de14a]. Soit [tex:fc223de14a]K[/tex:fc223de14a] un compact de [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a].

1. Soit [tex:fc223de14a]b[/tex:fc223de14a] une valeur régulière de [tex:fc223de14a]f[/tex:fc223de14a]. Montrer que [tex:fc223de14a]f^{\langle -1 \rangle} \langle\lbrace b \rbrace\rangle[/tex:fc223de14a] est discret (c'est-à-dire que sa topologie induite est discrète).

2. Que dire de [tex:fc223de14a]f^{\langle -1 \rangle} \langle\lbrace b \rbrace\rangle \cap K[/tex:fc223de14a] ?

Exercice 3 :

Soit [tex:fc223de14a]E = \lbrace 0, 1, ..., 9 \rbrace[/tex:fc223de14a] et [tex:fc223de14a]\phi[/tex:fc223de14a] l'application de [tex:fc223de14a]E^{\mathbb N^*} \rightarrow [0, 1][/tex:fc223de14a] définie par [tex:fc223de14a]\phi ((x_k)_{k \geq 1}) = 0, x_1 x_2 x_3 ...[/tex:fc223de14a] (développement décimal).

1. Cette application est-elle surjective ? injective ?

2. Est-elle continue pour la topologie produit de [tex:fc223de14a]E^{\mathbb N^*}[/tex:fc223de14a] ?

3. Soit une bijection [tex:fc223de14a]\psi[/tex:fc223de14a] continue de [tex:fc223de14a]E^{\mathbb N^*} \rightarrow [0, 1][/tex:fc223de14a], que dire de [tex:fc223de14a]\psi^{-1}[/tex:fc223de14a] ?

4. Montrer qu'il n'existe pas de telle bijection continue [tex:fc223de14a]\psi[/tex:fc223de14a].

Problème :

On se donne un ensemble [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a]. Soit [tex:fc223de14a]S[/tex:fc223de14a] un ensemble non vide formé de paires [tex:fc223de14a]((x_n)_{n \geq 1}, \^x)[/tex:fc223de14a] où [tex:fc223de14a](x_n)_{n \geq 1}[/tex:fc223de14a] est une suite de [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a] et [tex:fc223de14a]\^x \in E[/tex:fc223de14a].

1. Soit [tex:fc223de14a]F \subset E[/tex:fc223de14a]. On dit que [tex:fc223de14a]F[/tex:fc223de14a] est un fermé de [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a] si et seulement si pour tout élément [tex:fc223de14a]((x_n)_{n \geq 1}, \^x)[/tex:fc223de14a] de [tex:fc223de14a]S[/tex:fc223de14a], tel que [tex:fc223de14a]\forall n \geq 1, x_n \in F[/tex:fc223de14a], on a [tex:fc223de14a]\^x \in F[/tex:fc223de14a]. Donner une condition suffisante simple [tex:fc223de14a](C)[/tex:fc223de14a] sur l'ensemble [tex:fc223de14a]S[/tex:fc223de14a] pour que ceci définisse bien les fermés d'une topologie [tex:fc223de14a]\mathcal T[/tex:fc223de14a] sur [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a]. On suppose cette condition vérifiée par la suite.

2. a. Soit [tex:fc223de14a]((x_n)_{n \geq 1}, \^x) \in S[/tex:fc223de14a]. Montrer que la suite [tex:fc223de14a](x_n)[/tex:fc223de14a] converge vers [tex:fc223de14a]\^x[/tex:fc223de14a] pour la topologie [tex:fc223de14a]\mathcal T[/tex:fc223de14a].
b. Une suite convergente de [tex:fc223de14a]\mathcal T[/tex:fc223de14a], associée à sa limite [tex:fc223de14a]\^x[/tex:fc223de14a], fait-elle toujours partie de [tex:fc223de14a]S[/tex:fc223de14a] à partir d'un certain rang ?

3. a. La topologie [tex:fc223de14a]\mathcal T[/tex:fc223de14a] est-elle séparée ?
b. Les points sont-ils fermés ?

4. a. Soit [tex:fc223de14a]\mathcal T_{\mathcal E}[/tex:fc223de14a] une topologie sur [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a]. Soit [tex:fc223de14a]S[/tex:fc223de14a] formé de toutes les suites convergentes et leur limite (pour [tex:fc223de14a]\mathcal T_{\mathcal E}[/tex:fc223de14a]). Démontrer que [tex:fc223de14a]\mathcal T[/tex:fc223de14a] est la plus fine des topologies pour laquelle toutes les suites de [tex:fc223de14a]S[/tex:fc223de14a] convergent vers le [tex:fc223de14a]\^x[/tex:fc223de14a] associé.

b. A-t-on toujours [tex:fc223de14a]\mathcal T = \mathcal T_{\mathcal E}[/tex:fc223de14a] ?

c. Déterminer les suites convergentes de la topologie de Zariski sur [tex:fc223de14a]\mathbb N[/tex:fc223de14a].

d. Déterminer la topologie [tex:fc223de14a]\mathcal T[/tex:fc223de14a] associée aux suites convergentes de la topologie de Zariski sur [tex:fc223de14a]\mathbb N[/tex:fc223de14a].

Exercice 4 :

Soit [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a] l'espace de Banach [tex:fc223de14a]\lbrace f\in C^1([0, 1], \mathbb R), f(0) = f(1) = 0 \rbrace[/tex:fc223de14a], et [tex:fc223de14a]F = C^0([0, 1], \mathbb R). On note [tex]U = \lbrace f \in E, \Vert f' \Vert < 1 \rbrace[/tex:fc223de14a], ouvert de [tex:fc223de14a]E[/tex:fc223de14a].

1. Soit [tex:fc223de14a]f \in U[/tex:fc223de14a]. Montrer que la fonction [tex:fc223de14a]\mathit{Id}+f[/tex:fc223de14a] est un [tex:fc223de14a]C^1[/tex:fc223de14a]-difféomorphisme de [tex:fc223de14a][0, 1][/tex:fc223de14a] sur lui-même.

2. On note [tex:fc223de14a]\Phi : \begin{matrix} U & \rightarrow & F\\ f & \mapsto & (\mathit{Id}+f)^{-1}\end{matrix}[/tex:fc223de14a].
a. Montrer que [tex:fc223de14a]\Phi[/tex:fc223de14a] est continue.
b. Montrer que [tex:fc223de14a]\Phi[/tex:fc223de14a] est Fréchet-différentiable et déterminer sa différentielle.
c. [tex:fc223de14a]\Phi[/tex:fc223de14a] est-elle de classe [tex:fc223de14a]C^1[/tex:fc223de14a] ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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Thibaut
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MessagePosté le: 03 Fév 2007, 0:17    Sujet du message: Répondre en citant

Hier, examen de Compilation, grotesque du début à la fin... Cf aussi Délires et Rires >> Perles des profs.


Tous documents autorisés. Il fait partie des questions de lever les éventuelles imprécisions et erreurs dans les questions. : - )

I. Lambda-calcul

Le lambda-calcul pur a été introduit dans le cours 6. On a vu que chaque bêta-réduction de l'expression [tex:bd97bfeb97]\big(\lambda x.(x\ x)\quad \lambda x.(x\ x)\big)[/tex:bd97bfeb97] donne la même expression.

Question 1 [tex:bd97bfeb97](*)[/tex:bd97bfeb97]

Donner une lambda-expression telle que toute application d'une bêta-réduction donne une expression plus complexe ou plus longue ou les deux.


On définit :
[tex:bd97bfeb97]T = \lambda a.\lambda b.a[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]F = \lambda a.\lambda b.b[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{IF} = \lambda t.\lambda x.\lambda y.((t\ x)\ y)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{PAIR} = \lambda l.\lambda r.\lambda s.((s\ l)\ r)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{LEFT} = \lambda p.(p\ T) = \lambda p.(p\ \lambdal.\lambda r.l)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{RIGHT}= \lambda p.(p\ F) = \lambda p.(p\ \lambdal.\lambda r.r)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{ZERO} = \lambda f.\lambda x.x[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{INC} = \lambda n.\lambda f.\lambda x.\big( (n\ f)\quad (f\ x)\big)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{ONE} = (\mathit{INC}\ \mathit{ZERO}) = \lambda f.\lambda x.(f\ x)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{TWO} = (\mathit{INC}\ \mathit{ONE}) = \lambda f.\lambda x.(f\ (f\ x))[/tex:bd97bfeb97]
...
[tex:bd97bfeb97]\mathit{SUM} = \lambda m.\lambda n.\big( (n\ \mathit{INC})\quad m\big) = \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.\big( (m\ f)\quad ((n\ f)\ x) \big)[/tex:bd97bfeb97]
[tex:bd97bfeb97]\mathit{MUL} = \lambda m.\lambda n.\big( (m\ (n\ \mathit{INC}))\quad \mathit{ZERO}\big) = \lambda m.\lambda n.\lambda f.\lambda x.\big( \big( (m\ f) \quad (n\ f)\big) \quad x \big)[/tex:bd97bfeb97]

Question 2 [tex:bd97bfeb97](**)[/tex:bd97bfeb97]
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