Maths et Délires

[Francixtra]

Bonjour a tous
Voila je travaille sur les polynomes de Bernoulli (http://perso.orange.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/bernoulli.pdf),
mais je dois démontrer que 1/2 est l'unique racine de B2n-1 dans ]0,1[, et que celle ci est simple.
Il faut aussi que je montre que B2n a une seule racine dans ]0,1/2[, et que celle ci est simple

Est ce que vous auriez des pistes pour avancer ?
Merci d'avance
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il est absolument possible qu'au dela de ce que perçoivent nos sens se cache des mondes insoupçonnés
A. Einstein

[Jill-Jênn]

On a eu un devoir commun dessus.

B_(2n-1) est symétrique par rapport à (1/2, 0)
et
B_(2n) est symétrique par rapport à x = 1/2.

Je pense que tu peux montrer à l'aide de la formule de récurrence que les racines sont simples.
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[PhilippeP]

[Francixtra]

Merci JJ et PhilippeP, j'avance ...

Pour montrer que la racine est simple, j'ai trouvé une astuce :
a est racine double de P(x) ssi P(a) = P'(a) =0

Plus qu'une partie de la solution a trover
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A. Einstein

[Thibaut]

[Jill-Jênn]

[PhilippeP]

[Thibaut]

[xavier]

[PhilippeP]

Toujours bien peser ses mots ! Ici, il y a des gens qui réfléchissent !

[Thibaut]

[PhilippeP]

[Francixtra]

J'ai reussi a montrer que (1/2,0) est centre de symetrie pour n impair,
et x=1/2 est axe de symetrie pour n pair (démonstration triviale ac les propriétés : http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Bernoulli ) (mci JJ)

On en tire que pour n impair : [tex:28088fc989]\frac{1}{2}[/tex:28088fc989] est racine
Pour n pair :
[tex:28088fc989]\int_{0}^{1/2} B_n(x) dx[/tex:28088fc989] = [tex:28088fc989]\int_{1/2}^{1} B_n(x) dx = 0[/tex:28088fc989]
d'où Il existe [tex:28088fc989]\alpha[/tex:28088fc989] de [tex:28088fc989] ]0,\frac{1}{2}[ / B_n(\alpha) = 0 [/tex:28088fc989]

Celle ci est simple

Cependant je n'arrive pas a montrer l'unicité de cette racine
J'ai essayé avec les variations, mais vu qu'il y a une periode 4, je n'y arrive pas par récurrence
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A. Einstein

[PhilippeP]

[Jill-Jênn]

Mais on peut réduire la périodicité à 2 en montrant par récurrence que :
Sur [tex:7f6e78e615]]0, 1/2[[/tex:7f6e78e615], [tex:7f6e78e615]\forall n \in \mathbb{N}^*[/tex:7f6e78e615]
[tex:7f6e78e615]B_{2n-1}[/tex:7f6e78e615] ne s'annule pas,
[tex:7f6e78e615]B_{2n}[/tex:7f6e78e615] est monotone.

Non ?
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[PhilippeP]

[Francixtra]

Merci beaucoup a tous, j'ai trouvé pour cette question

Cependant je suis tombé sur un autre os :
On note [tex:9ce05d4d74] b_n = B_n(0) [/tex:9ce05d4d74]
En utilisant la formule [tex:9ce05d4d74]\sum_{i=0}^{n-1} \binom{n}{i} b_i = 0 [/tex:9ce05d4d74],
démontrer que [tex:9ce05d4d74] (e^x-1) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b_k}{k!}~ x^k = x + o(x^n) [/tex:9ce05d4d74]

Ca doit pouvoir se démontrer en obtenant une formule pour n=1,2, ... puis pour n
en faisant la somme membres a membres, on devrait retomber sur la formule a utiliser, donc tout se simplifie sauf le [tex:9ce05d4d74] x + o(x^n) [/tex:9ce05d4d74]

PS : JJ tu peux te faire plaisir :p

[edit] correction de la formule
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A. Einstein

[PhilippeP]

[Francixtra]

Ah oui c'est exct
on a :
[tex:be78b8f97b] B_n(X) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}b_i X^{n-i} [/tex:be78b8f97b]

D'ou la formule a utiliser : [tex:be78b8f97b] \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n}{i}b_i = 0 [/tex:be78b8f97b]
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A. Einstein