Maths et Délires

[Thibaut]

Soit [tex:32825bc6de]K[/tex:32825bc6de] un corps, que l'on pourra supposer algébriquement clos si ça peut arranger les choses, et [tex:32825bc6de]n\in \mathbb N^*[/tex:32825bc6de].
Quelle est la dimension maximale (sur [tex:32825bc6de]K[/tex:32825bc6de]) d'une sous-algèbre commutative de [tex:32825bc6de]M_n(K)[/tex:32825bc6de] ?

Je sais majorer ça par [tex:32825bc6de]\frac {n(n+1)} 2[/tex:32825bc6de] par trigonalisation simultanée, minorer ça par [tex:32825bc6de]n[/tex:32825bc6de] on considérant les matrices diagonales, mais sinon... Je ne sais pas.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[Toumaf]

Il faut EX-Pé-RI-MEN-TER ! (je suppose le corps commutatif)

En gros mon idée serait de prendre une matrice de l'algèbre et de compter le nombre d'équations réellement distinctes qui sortent en écrivant qu'une quelconque matrice de l'algèbre commute avec la matrice fixée.

-> Pour n = 2, si on avait une algèbre commutative, après trigonalisation simultanée, on se ramène aux matrices triangulaires supérieures.
Or
(0 1)(0 0)=(0 1)
(0 0)(0 1)=(0 0)
et
(0 0)(0 1)=(0 0)
(0 1)(0 0)=(0 0)

Et ces matrices ne sont pas égales (sauf si K est de caractéristique 1 (enfin c'est exclu dans la plus grande majorité des définitions de corps) ).

--D'ailleurs, la trigonalisation simultanée marche-t'elle toujours en caractéistique 2? (Il me semble que beaucoup de résultats deviennent plus délicats dans ce cas.)--

-> Pour n = 3,
on prend une matrice
(g h i)
(0 j k)
(0 0 l)
et on cherche quelles matrices
(a b c)
(0 d e)
(0 0 f)
commutent avec elle.

Elles commutent si et seulement si

bg+dh = ah+bj
ai+bk+cl = cg+eh+fi
dk+el = ej+fk

d'où (si h,k \neq 0)

d=f+e(j-l)/k
a=f+e(j-l)/k+b(g-j)/h
et
fi+ei(j-l)/k+bi(g-j)/h+bk+cl=cg+eh+fi
soit
eh(i(j-l)-1)+bk(i(g-j)+1)=c(g-l)hk.
Cela donne une dernière équation si et seulement si on n'a pas simultanément
g=l ; (j-g)i=1 ; (j-l)i=1 (il n'y a là que deux équations en fait).

En résumé si on trouve dans l'algèbre une matrice
(g h i)
(0 j k)
(0 0 l)
telle que h \neq 0 ; k \neq 0 ; et {g \neq l ou (j-g)i \neq 1},
alors l'algèbre est de dimension au plus 3.

Sinon, toutes les matrices vérifient
h=0 ou k=0 ou {g=l et (j-g)i=1}.

Supposons qu'il existe une matrice A telle que h(A) \neq 0, et une matrice B telle que k(B) \neq 0. Alors soit k(A) \neq 0, soit h(B) \neq 0, soit k(A+B) \neq 0 et h(A+B) \neq 0.
En gros on peut obtenir une matrice telles que h et k soient non nuls.
De même si on a aussi une matrice C telle que {g \neq l ou (j-g)i \neq 1}, alors on pourra contruire une matrice qui ne vérifie pas

h=0 ou k=0 ou {g=l et (j-g)i=1}.

Donc l'une des trois conditions est vérifiée par toutes les matrices de l'algèbre.

En refaisant les mêmes calculs on doit pouvoir obtenir le nombre maximal de dimensions de l'algèbre pour n = 3 qui je pense est 3.

Dans le cas général, je pense que les n(n-1)/2 équations qu'on obtient sont libres sauf pour des valeurs particulières des coefficients de la matrice de référence choisie. Donc soit on a mal choisi la matrice de référence, i.e. elle a des particularités qui ne sont pas la règle dans l'algèbre ; soit toutes les matrices de l'algèbre ont une particularité (pas forcément la même), et on peut, quitte à additionner les matrices, créer une matrice avec comme particularités l'intersection des ensembles de particularités de chaque matrice de l'algèbre. Ainsi comme toutes les matrices sont particulières, elles doivent avoir une particuliarité en commun, et cela ajoute une équation "universelle", en plus d'enlever une équation qui provient de la matrice de référence.

Oui je sais, ce n'est pas clair que ça marche, ni qu'on obtient n à la fin, mais j'en suis convaincu.

[Daniel]

Je connais ce problème, qui est extrêmement difficile à mon avis.

Désolé de te décevoir Toumaf, mais la réponse est en fait [tex:d84939fb24]E\left(\frac {n^2}4 \right) + 1.[/tex:d84939fb24] ;)
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Blib.

[henri]

tu sais où il y a la preuve?
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[Igor]

Mh, c'est rigolo: par ailleurs la dimension maximale d'une sous-algèbre commutative [tex:17e5d29a4e]\mathcal{A}[/tex:17e5d29a4e] de
[tex:17e5d29a4e]\mathcal{M}_n(\mathcal{K})[/tex:17e5d29a4e] qui vérifie:
1. [tex:17e5d29a4e]\mathcal{A}[/tex:17e5d29a4e] est stable par tout élément de [tex:17e5d29a4e]\mathcal{M}_n(\mathcal{K})[/tex:17e5d29a4e],
2. Il existe [tex:17e5d29a4e]r \in \N^*[/tex:17e5d29a4e] tel que [tex:17e5d29a4e]\forall
(A_1,\ldots,A_r)\in\mathcal{A}^r, \quad A_r \cdots
A_1=0[/tex:17e5d29a4e],
vaut [tex:17e5d29a4e]E\left(\frac{n^2}{4}\right)[/tex:17e5d29a4e].

[Thibaut]

[Toumaf]

[Jill-Jênn]

[Thibaut]

[PhilippeP]

[henri]

oui
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[Thibaut]

Pas moi.
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Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[henri]

Voici quelques endroits (sérieux j'entends...) où il en est question :
http://www.ihes.fr/PREPRINTS/M03/Resu/resu-M03-26.html (ben oui, l'ihes, c'est quand même gage de sérieux )
et aussi là
http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0404185
Bonnes lectures...
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[PhilippeP]