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Sous-algèbre commutative de M_n(K)

 
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Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
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Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 21 Avr 2007, 9:36    Sujet du message: Sous-algèbre commutative de M_n(K) Répondre en citant

Soit [tex:32825bc6de]K[/tex:32825bc6de] un corps, que l'on pourra supposer algébriquement clos si ça peut arranger les choses, et [tex:32825bc6de]n\in \mathbb N^*[/tex:32825bc6de].
Quelle est la dimension maximale (sur [tex:32825bc6de]K[/tex:32825bc6de]) d'une sous-algèbre commutative de [tex:32825bc6de]M_n(K)[/tex:32825bc6de] ?

Je sais majorer ça par [tex:32825bc6de]\frac {n(n+1)} 2[/tex:32825bc6de] par trigonalisation simultanée, minorer ça par [tex:32825bc6de]n[/tex:32825bc6de] on considérant les matrices diagonales, mais sinon... Je ne sais pas.
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 22 Avr 2007, 15:14    Sujet du message: Répondre en citant

Il faut EX-Pé-RI-MEN-TER ! (je suppose le corps commutatif)

En gros mon idée serait de prendre une matrice de l'algèbre et de compter le nombre d'équations réellement distinctes qui sortent en écrivant qu'une quelconque matrice de l'algèbre commute avec la matrice fixée.

-> Pour n = 2, si on avait une algèbre commutative, après trigonalisation simultanée, on se ramène aux matrices triangulaires supérieures.
Or
(0 1)(0 0)=(0 1)
(0 0)(0 1)=(0 0)
et
(0 0)(0 1)=(0 0)
(0 1)(0 0)=(0 0)

Et ces matrices ne sont pas égales (sauf si K est de caractéristique 1 (enfin c'est exclu dans la plus grande majorité des définitions de corps) ).

--D'ailleurs, la trigonalisation simultanée marche-t'elle toujours en caractéistique 2? (Il me semble que beaucoup de résultats deviennent plus délicats dans ce cas.)--

-> Pour n = 3,
on prend une matrice
(g h i)
(0 j k)
(0 0 l)
et on cherche quelles matrices
(a b c)
(0 d e)
(0 0 f)
commutent avec elle.

Elles commutent si et seulement si

bg+dh = ah+bj
ai+bk+cl = cg+eh+fi
dk+el = ej+fk

d'où (si h,k \neq 0)

d=f+e(j-l)/k
a=f+e(j-l)/k+b(g-j)/h
et
fi+ei(j-l)/k+bi(g-j)/h+bk+cl=cg+eh+fi
soit
eh(i(j-l)-1)+bk(i(g-j)+1)=c(g-l)hk.
Cela donne une dernière équation si et seulement si on n'a pas simultanément
g=l ; (j-g)i=1 ; (j-l)i=1 (il n'y a là que deux équations en fait).

En résumé si on trouve dans l'algèbre une matrice
(g h i)
(0 j k)
(0 0 l)
telle que h \neq 0 ; k \neq 0 ; et {g \neq l ou (j-g)i \neq 1},
alors l'algèbre est de dimension au plus 3.

Sinon, toutes les matrices vérifient
h=0 ou k=0 ou {g=l et (j-g)i=1}.

Supposons qu'il existe une matrice A telle que h(A) \neq 0, et une matrice B telle que k(B) \neq 0. Alors soit k(A) \neq 0, soit h(B) \neq 0, soit k(A+B) \neq 0 et h(A+B) \neq 0.
En gros on peut obtenir une matrice telles que h et k soient non nuls.
De même si on a aussi une matrice C telle que {g \neq l ou (j-g)i \neq 1}, alors on pourra contruire une matrice qui ne vérifie pas

h=0 ou k=0 ou {g=l et (j-g)i=1}.

Donc l'une des trois conditions est vérifiée par toutes les matrices de l'algèbre.

En refaisant les mêmes calculs on doit pouvoir obtenir le nombre maximal de dimensions de l'algèbre pour n = 3 qui je pense est 3.

Dans le cas général, je pense que les n(n-1)/2 équations qu'on obtient sont libres sauf pour des valeurs particulières des coefficients de la matrice de référence choisie. Donc soit on a mal choisi la matrice de référence, i.e. elle a des particularités qui ne sont pas la règle dans l'algèbre ; soit toutes les matrices de l'algèbre ont une particularité (pas forcément la même), et on peut, quitte à additionner les matrices, créer une matrice avec comme particularités l'intersection des ensembles de particularités de chaque matrice de l'algèbre. Ainsi comme toutes les matrices sont particulières, elles doivent avoir une particuliarité en commun, et cela ajoute une équation "universelle", en plus d'enlever une équation qui provient de la matrice de référence.

Oui je sais, ce n'est pas clair que ça marche, ni qu'on obtient n à la fin, mais j'en suis convaincu.
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Daniel
Matheux (se)


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Messages: 292
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MessagePosté le: 22 Avr 2007, 15:22    Sujet du message: Répondre en citant

Je connais ce problème, qui est extrêmement difficile à mon avis.

Désolé de te décevoir Toumaf, mais la réponse est en fait [tex:d84939fb24]E\left(\frac {n^2}4 \right) + 1.[/tex:d84939fb24] ;)
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Blib.
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henri
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Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 22 Avr 2007, 16:06    Sujet du message: Répondre en citant

tu sais où il y a la preuve?
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Igor
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Messages: 697
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MessagePosté le: 22 Avr 2007, 19:02    Sujet du message: Répondre en citant

Mh, c'est rigolo: par ailleurs la dimension maximale d'une sous-algèbre commutative [tex:17e5d29a4e]\mathcal{A}[/tex:17e5d29a4e] de
[tex:17e5d29a4e]\mathcal{M}_n(\mathcal{K})[/tex:17e5d29a4e] qui vérifie:
1. [tex:17e5d29a4e]\mathcal{A}[/tex:17e5d29a4e] est stable par tout élément de [tex:17e5d29a4e]\mathcal{M}_n(\mathcal{K})[/tex:17e5d29a4e],
2. Il existe [tex:17e5d29a4e]r \in \N^*[/tex:17e5d29a4e] tel que [tex:17e5d29a4e]\forall
(A_1,\ldots,A_r)\in\mathcal{A}^r, \quad A_r \cdots
A_1=0[/tex:17e5d29a4e],
vaut [tex:17e5d29a4e]E\left(\frac{n^2}{4}\right)[/tex:17e5d29a4e].
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 22 Avr 2007, 21:15    Sujet du message: Répondre en citant

Toumaf a écrit:
(je suppose le corps commutatif)
Ouais, quand même...
Citation:
(sauf si K est de caractéristique 1 (enfin c'est exclu dans la plus grande majorité des définitions de corps) ).
Rassure-moi, le seul "corps" de caractéristique 1, c'est bien [tex:935a11afc3]\{ 0 \}[/tex:935a11afc3] ?

Citation:
--D'ailleurs, la trigonalisation simultanée marche-t'elle toujours en caractéistique 2? (Il me semble que beaucoup de résultats deviennent plus délicats dans ce cas.)--
Euh, j'avoue que j'ai pas vérifié quelles hypothèses on avait utilisé l'an dernier pour faire ça...

Daniel : Pas mal... Tu as des exemples à ta disposition ?
A part pour [tex:935a11afc3]n \leq 3[/tex:935a11afc3] ?
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Toumaf
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Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 22 Avr 2007, 22:45    Sujet du message: Répondre en citant

Daniel a écrit:
Je connais ce problème, qui est extrêmement difficile à mon avis.

Désolé de te décevoir Toumaf, mais la réponse est en fait [tex:5bebb69c37]E\left(\frac {n^2}4 \right) + 1.[/tex:5bebb69c37] ;)


Oui, bon, c'était sans doute abusif de généraliser à partir de seulement deux valeurs, même pas toutes deux démontrées...
D'ailleurs est-ce que ton résultat est "pour tout n il existe un corps K et une sous K algèbre de Mn(K) de dimension [tex:5bebb69c37]E\left(\frac {n^2}4 \right) + 1.[/tex:5bebb69c37]", ou bien "pour tout corps commutatif K, pour tout n, il existe une sous K algèbre de Mn(K) de dimension [tex:5bebb69c37]E\left(\frac {n^2}4 \right) + 1.[/tex:5bebb69c37]"?

(pourquoi m'as-tu mis en gras?)

Thibaut a écrit:
Toumaf a écrit:
(je suppose le corps commutatif)

Ouais, quand même...


En même temps va prouver que le meilleur cas est quand le corps est commutatif. Il n'est pas impossible qu'on ait une sous algèbre commutative de Mn(K), sans que K soit commutatif. (même si je n'y crois pas trop)


Thibaut a écrit:
Rassure-moi, le seul "corps" de caractéristique 1, c'est bien {0}?


Oui, oui, bien sûr :)
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 23 Avr 2007, 10:57    Sujet du message: Répondre en citant

Toumaf a écrit:
(pourquoi m'as-tu mis en gras?)
Pour bien montrer à qui il s'adresse, il fait souvent ça je crois.
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 23 Avr 2007, 12:54    Sujet du message: Répondre en citant

Toumaf a écrit:
Il n'est pas impossible qu'on ait une sous algèbre commutative de Mn(K), sans que K soit commutatif. (même si je n'y crois pas trop)

Sachant que la sous-algèbre est implicitement supposée unitaire, [tex:8e5f566d7f]K.1[/tex:8e5f566d7f] en est un sous-corps. Commutatif puisque l'algèbre l'est.
Bon, après, libre à toi de considérer des algèbres non-unitaires (et pas forcément associatives, tant que tu y es ?) sur des corps pas forcément commutatifs, et là, faut plus s'étonner si on trouve un foutoir indescriptible...
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PhilippeP
Légère tendance aux maths


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MessagePosté le: 23 Avr 2007, 17:27    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Toumaf a écrit:
(sauf si K est de caractéristique 1 (enfin c'est exclu dans la plus grande majorité des définitions de corps) ).
Rassure-moi, le seul "corps" de caractéristique 1, c'est bien [tex:8bb7afb1d2]\{ 0 \}[/tex:8bb7afb1d2] ?

Vous avez déjà rencontré des auteurs pour qui [tex:8bb7afb1d2]\{ 0 \}[/tex:8bb7afb1d2] est un corps ?
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henri
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MessagePosté le: 23 Avr 2007, 18:58    Sujet du message: Répondre en citant

oui
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 23 Avr 2007, 18:59    Sujet du message: Répondre en citant

Pas moi.
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henri
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Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 23 Avr 2007, 23:16    Sujet du message: Répondre en citant

Voici quelques endroits (sérieux j'entends...) où il en est question :
http://www.ihes.fr/PREPRINTS/M03/Resu/resu-M03-26.html (ben oui, l'ihes, c'est quand même gage de sérieux Very Happy)
et aussi là
http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0404185
Bonnes lectures...
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PhilippeP
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Messages: 34

MessagePosté le: 24 Avr 2007, 0:37    Sujet du message: Répondre en citant

henri a écrit:
Voici quelques endroits (sérieux j'entends...) où il en est question :
http://www.ihes.fr/PREPRINTS/M03/Resu/resu-M03-26.html (ben oui, l'ihes, c'est quand même gage de sérieux Very Happy)
et aussi là
http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0404185
Bonnes lectures...

+1,
mais ce sera sans moi ! Laughing
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