Maths et Délires

[Thibaut]

Comme chacun le sait depuis sa plus tendre enfance, un espace connexe par arcs est connexe.

On a une sorte de réciproque : un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs (par exemple, les ouverts connexes d'espaces vectoriels topologiques localement convexes ; ils sont même connexes par arcs polygonaux, et en dimension finie, connexes par arcs [tex:3389b2b7b8]C^\infty[/tex:3389b2b7b8] lisses)

Cependant, il n'est pas difficile de trouver des espaces connexes non connexes par arcs.
Exemple : [tex:3389b2b7b8]\left\{\left(x, \sin(\frac 1 x)\right), x\in \mathbb R^*\right\} \cup \{0\} \times [-1; 1][/tex:3389b2b7b8].
On remarque qu'il n'est pas localement connexe.

Question : dans la définition de la connexité, la topologie de [tex:3389b2b7b8]\mathbb R[/tex:3389b2b7b8] n'intervient pas, alors qu'elle apparaît clairement dans la définition de la connexité par arcs. Alors pourquoi y a-t-il l'air d'avoir si peu de différences entre les deux notions ? Est-ce parce que je cherche seulement dans des espaces qui sont des parties d'evn ?

Comme différences, je cherche :
* Un espace connexe non réduit à un point dont les composantes connexes par arcs sont des singletons (ça existe ?)
* Un espace localement connexe, non localement connexe par arcs (ça aussi ?)

* Plus généralement, un espace connexe qui n'est "vraiment pas" connexe par arcs, le sens précis du "vraiment pas" étant laissé à l'appréciation de chacun.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[xavier]

Je pense que l'exemple usuel d'un espace séparé connexe dénombrable devra te convaincre. L'ensemble sous-jacent est Z et les ouverts sont engendrés par les suites arithmétiques dont la raison est non nulle et est première à l'un des termes. J'espère que je me rappelle bien, et je te laisse faire les vérifications nécessaires.

Je pense que ton problème est surtout que tu cherches des exemples parmi les espaces métriques, lesquels font aussi intervenir R dans leur définition.
Dans un autre registre, il y a aussi la longue ligne qui peut illustrer un autre problème de R. Je rappelle que la longue ligne c'est la mise bout à bout de [tex:2cae7b5af1]\aleph_1[/tex:2cae7b5af1] intervalles [0,1[. Cet espace par exemple est connexe, mais pas connexe par arcs (en gros, parce qu'il n'existe pas de suites indénombrables strictement croissantes de réels).

Par ailleurs, je trouve que l'utilisation de ce forum est un peu détourné. Par exemple, pour le genre de questions que tu poses, le conti sciences.maths dans le forum de l'ENS est beaucoup plus adapté.

[Thibaut]

[musichien]

Euh, quelqu'un m'avait vaguement expliqué, mais c'est quoi la connexité tout court?

Il me semble me souvenir que la connexité par arcs, c'est la connexité "normal" ( ) c'est-à-dire la même que pour un graphe, mais que la connexité, j'avais pas bien pigé (il était roumain aussi ).

Ou c'est peut-être l'inverse.
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Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement)

[Thibaut]

[musichien]

[Igor]

Très en gros, sans rentrer dans les détails, U est un ouvert si pour tout élément x de U, il existe une boule centrée en x qui reste incluse dans U [la boule peut éventuellement être très petite]. Par exemple, dans R, ]-1,1[ est ouvert, mais ]-1,1] n'est pas ouvert.

F est fermé ssi son complémentaire est ouvert. Il y a aussi une caractérisation séquentielle, qui est parfois plus pratique: F est fermé ssi toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F. Par exemple, [-1,1] est fermé, mais ]-1,1] n'est ni fermé, ni ouvert.

"Mais euh, en fait, je vois pas trop ce que tu veux dire, parce-que j'imagine qu'un cube, c'est connexe, et pourtant on peut bien le partitionner par des frites alternativement ouvertes et fermées (pour qu'elles soient disjointes), non? "

Il faut que les parties soient ou toutes ouvertes ou toutes fermées.

[musichien]

[antony]

Il y a une autre définition, que je trouve un peu plus intuitive :
Un ensemble E est connexe si toute fonction continue de E dans {0,1} est constante.

[musichien]

Faut-il comprendre la connexité comme la continuité de la fonction dont l'espace est la représentation?

(comment pourrir une discussion... désolé thibaut )
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Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement)

[Thibaut]

La fonction dont l'espace est la représentation ?
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Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[antony]

Tu veux sans doute dire qu'un espace est connexe s'il est image d'un espace "sympa" (typiquement... connexe, et c'est bien là qu'est le problème de ta définition) par une fonction continue ?

[xavier]

[Thibaut]

[musichien]

[xavier]

Pour en revenir à ma remarque sur le forum de l'ENS, je ne sais pas si tu le lis, mais il y a coïncidamment en ce moment-même une discussion sur la différence entre connexité et connexité par arcs... où tu pourras trouver plusieurs compléments de réponse à ta question.

[Thibaut]

Mouarf... En cherchant un peu sur le net, j'ai trouvé cet article, où ils présentent une topologie un poil plus grossière, évidemment connexe, mais qui reste séparée, et en plus localement connexe, ce que n'est pas la première.

Incroyables, ces bidouillages...
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