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une équa diff

 
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yannick
Tendance maths et délires inquiétante


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MessagePosté le: 21 Mai 2007, 17:49    Sujet du message: une équa diff Répondre en citant

bon, je sais pas si c'est trivial ou au programme de prépa, mais à tout hasard :
[tex:b7676d356d] f \times f''=c \in \mathbb{R}, \quad avec\quad f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}[/tex:b7676d356d]
je rajoute que à priori, une telle fonction existe nécessairement, parce que c'une équa de physique, sinon, c'est mauvais signe.
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xavier
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MessagePosté le: 21 Mai 2007, 18:18    Sujet du message: Répondre en citant

Sans être très rigoureux (mais bon, ça convient très bien pour un problème de physique), voici comment on peut s'y prendre pour résoudre une telle équation. En multipliant par f' des deux côtés et en faisant passer f à droite, j'obtiens l'égalité :
[tex:4f55ea697e]f' \times f'' = c \: \frac{f'}f[/tex:4f55ea697e]
que je peux intégrer. Il vient alors :
[tex:4f55ea697e](f')^2 = 2 c \: \ln f + k[/tex:4f55ea697e]
où k est une certaine constante. Maintenant, pour résoudre ça, je refais une manip analogue, en écrivant l'équation sous la forme :
[tex:4f55ea697e]\frac{f'}{\sqrt{2 c \: \ln(f) + k}} = 1[/tex:4f55ea697e]
et j'intègre des deux côtés. Le problème, c'est que pour finir le calcul, il faudrait connaître une primitive de [tex:4f55ea697e]\frac 1 {\sqrt{2c\:\ln(x)+k}}[/tex:4f55ea697e], et je ne sais pas faire (et Maple non plus dirait-on). Enfin, si on sait faire ça, la solution s'obtient en prenant la réciproque de la primitive calculée (à supposer que l'on sache inverser cette fonction). Cela dit, ça peut quand même donner une bonne idée de l'allure des solutions.
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yannick
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MessagePosté le: 21 Mai 2007, 20:36    Sujet du message: Répondre en citant

en fait, c'était pour calculer la trajectoire d'un objet qui part avec une vitesse initiale, ne position et qui gravite autour d'un point ce qui peut donner une ellipse !)
bon, pour
[tex:d510257508] \frac{f'}{\sqrt{2c\:\ln(f)+k}}=1[/tex:d510257508]
je vais aviser, ....peut être que quelqu'un a déjà eu l'idée de trouver la solution de ça, donc, peut être quelque part sur internet....mais bon, de toutes façons, c'était le prélude à des calculs assez interminables...
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Thibaut
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MessagePosté le: 21 Mai 2007, 22:02    Sujet du message: Répondre en citant

yannick a écrit:
en fait, c'était pour calculer la trajectoire d'un objet qui part avec une vitesse initiale, ne position et qui gravite autour d'un point ce qui peut donner une ellipse !)
L'étude est faite en sup. Grâce à des études de symétries et à un paramétrage correct du problème, on arrive à s'en sortir sans avoir à résoudre d'équations monstrueuses comme celle-ci.

D'ailleurs, tu veux bien me montrer comment tu y es arrivé ?
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yannick
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 7:42    Sujet du message: Répondre en citant

euh, voyons voir, je vais chercher mes papiers...
si on prend les notations habituelles, x, y, vx, vy, ax, ay dans un repère orthonormé dans un plan, on obtient :
[tex:cdf20d733a]a=\frac{G \times M_t}{d^2}\quad \mbox{o\`u Mt est le poids de l'attracteur}[/tex:cdf20d733a]
et si on projette sur les axes, on obtient, (je crois) :
[tex:cdf20d733a]a_x=\frac{G \times M_t}{x^2}[/tex:cdf20d733a]
oups ! j'avais oublié le carré (c'était une occupation de cours de philo sur la science)
et ensuite :
[tex:cdf20d733a]a_x=\frac{d^2 x}{dt^2} [/tex:cdf20d733a] et si on prend maintenant les notations :
x=f, on obtient alors :
[tex:cdf20d733a] f'' \times f^2 = c \in \mathbb{R}^{*+}[/tex:cdf20d733a]
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Thibaut
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 7:58    Sujet du message: Répondre en citant

Erreur, au niveau de la projection :
[tex:8c9f4e13b0]d^2 = x^2+y^2[/tex:8c9f4e13b0]
Et [tex:8c9f4e13b0]a_x = - \frac {G.M_t.x} {(x^2+y^2)^{3/2}}[/tex:8c9f4e13b0]
Et [tex:8c9f4e13b0]a_y = - \frac {G.M_t.y} {(x^2+y^2)^{3/2}}[/tex:8c9f4e13b0]

Tu ne crois quand même pas que tu peux découpler si facilement les mouvements selon un axe et selon l'autre, si ?
Une partie de la solution consiste à se placer en coordonnées polaires.
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yannick
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 13:26    Sujet du message: Répondre en citant

j'allais justement modifier ça...
effectivement, c'était un peu rapide...enfin bon, la deuxième equa diff est bien aussi !
j'en profite pour demander quel est :
[tex:62319aca64]\int \frac{1}{f'} [/tex:62319aca64] ?
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Thibaut
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 13:36    Sujet du message: Répondre en citant

A priori, il n'y a pas de raison qu'une primitive de [tex:d089ce8318]\frac 1 {f'}[/tex:d089ce8318] s'exprime simplement à l'aide de [tex:d089ce8318]f[/tex:d089ce8318] et ses dérivées, des fonctions usuelles (identité, inverse, exponentielle, logarithme, sinus, arctangente), et des opérations usuelles (somme, produit, composition).
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henri
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 13:43    Sujet du message: Répondre en citant

ben [tex:c20726fbed]\frac{1}{f}[/tex:c20726fbed]... Mr. Green
En fait, je ne suis pas très sûr que ça s'exprime simplement en fonction de [tex:c20726fbed]f[/tex:c20726fbed] (et de [tex:c20726fbed]f^{-1}[/tex:c20726fbed]), mais je me trompe peut-être
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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henri
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 13:44    Sujet du message: Répondre en citant

la réponse de thibaut remplace donc mon "je ne suis pas très sûr" en "je suis sûr que non"...
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Thibaut
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 18:47    Sujet du message: Répondre en citant

D'un autre côté, ce que j'ai présenté de manière péremptoire n'est que le reflet de mon intuition...
Allez, cherchons un exemple...
[tex:155a46a3b5]f : x \mapsto x.(\ln x - 1)[/tex:155a46a3b5]
Alors [tex:155a46a3b5]f' = \ln[/tex:155a46a3b5], et si on appelle [tex:155a46a3b5]\mathit {li}[/tex:155a46a3b5] (logarithme intégral) je ne sais plus quelle primitive de [tex:155a46a3b5]\frac 1 \ln[/tex:155a46a3b5], c'est parce qu'elle ne s'écrit pas comme décrit dans mon post ci-dessus. Après, ça non plus, je ne sais pas le prouver...
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yannick
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 19:02    Sujet du message: Répondre en citant

oki
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antony
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MessagePosté le: 22 Mai 2007, 23:26    Sujet du message: Répondre en citant

C'est la primitive de 2 à x.
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Thibaut
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MessagePosté le: 23 Mai 2007, 0:14    Sujet du message: Répondre en citant

Ce n'est pas la définition que j'ai vue sur Maple. Ils ont l'air d'utiliser [tex:aa3026875f]\mathit {li} : [0; 1[ \cup ]1;+\infty[ \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \int_0^x \frac {dt} {\ln t}[/tex:aa3026875f] si [tex:aa3026875f]x<1, x \mapsto \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_0^{1-\varepsilon}\frac {dt} {\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac {dt} {\ln t}[/tex:aa3026875f] sinon. Et ils ont l'air de qualifier ça de valeur principale de Cauchy de l'intégrale.
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MessagePosté le: 23 Mai 2007, 13:38    Sujet du message: Répondre en citant

he bé, vous m'en voyez ravi ! Ca fait un exemple qui marche ça ?
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