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Modélisation du comportement thermique d'une plaque

 
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Auteur Message
Chevêche
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 07 Oct 2005
Messages: 718
Localisation: Au fond d'un bois, ou vers le clocher des Jacobins

MessagePosté le: 02 Aoû 2007, 17:10    Sujet du message: Modélisation du comportement thermique d'une plaque Répondre en citant

Bon je ne sais pas trop si ce post est à sa place mais enfin bon...
Alors voilà, j'ai commencé à réfléchir un peu à mon TIPE de l'année prochaine histoire d'occuper mes longs après-midis de vacances Wink . Après réflexion, je pense faire quelque chose autour de la modélisation du comportement d'une plaque rectangulaire chauffée aux bords. Enfin, du moins, je vais essayer de voir si ça donne quelque chose, avec un peu (mais pas trop quand même Laughing ) de physique, et surtout des maths et/ou de l'info. J'ai donc concocté mon petit programme de base en Caml, en modélisant la plaque par une matrice, et en la faisant évoluer en remplaçant la valeur en un point par la moyenne des cases environnantes, et ceci un certain nombre de fois.
Au niveau mathématique, je me suis donc posée quelques questions :
Y-a-t-il forcément un état d'équilbre?
Est-il unique? Dépend-il de la manière dont on a effectué les moyennes (au hasard ou "dans l'ordre")?
Par contre, je ne sais pas du tout par où partir pour tenter une démonstration, mis à part que "quand j'essaie sur des petits cas, ça à l'air de pas trop mal marcher". Est-ce que vous pourriez quelques pistes sur des moyens pour démontrer quelque chose sur une matrice évoluant de la sorte?

PS : Une modélisation graphique avec des couleurs pourrait être sympathique. Sur le manuel de Caml light, il y a des instructions pour utiliser une fenêtre graphique, mais ça ne marche pas quand j'essaie sur mon ordi (je n'arrive même pas à obtenir une fenêtre graphique blanche). Est-ce que quelqu'un a déjà utilisé l'interface graphique de Caml? Faut-il charger une bibliothèque graphique?
_________________
"Debout au bord du lac se tenait une fine jument alezane, sa délicate silhouette se reflétant entre le bleu gris du ciel et l'herbe rase des prémisses de l'été."

"La rage l'emplit soudain, une bête noire montant en lui grignotant les intestins, la vidant, la dépeçant de toute matière, coquille vide animée par une furie sombre, pantin aux mains de l'irraison."
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Chevêche
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 07 Oct 2005
Messages: 718
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MessagePosté le: 02 Aoû 2007, 17:14    Sujet du message: Répondre en citant

Je vous mets le code de mes programmes (version 1 "dans l'ordre", version 2 "random").
let evol i j k ti=

let plaque=make_matrix (j+2) (k+2) ti in
for z=0 to (k+1) do plaque.(0).(z)<-100; done;
for z=0 to (k+1) do plaque.(j+1).(z)<-100; done;
for z=1 to k do plaque.(z).(0)<-100; done;
for z=1 to k do plaque.(z).(k+1)<-100; done;


let tourreg plaque =
for x=1 to k do
for y=1 to j do
let s= (plaque.(y-1).(x-1)+plaque.(y-1).(x)+plaque.(y-1).(x+1)+plaque.(y).(x+1)+plaque.(y+1).(x+1)+plaque.(y+1).(x)+plaque.(y+1).(x-1)+plaque.(y).(x-1)) in
plaque.(y).(x)<-(s/8);
done;
done
in

for w=1 to i do
tourreg plaque;
done;
plaque;;




let evolrandom i j k ti=
let plaque=make_matrix (j+2) (k+2) ti in
for z=0 to (k+1) do plaque.(0).(z)<-100; done;
for z=0 to (k+1) do plaque.(j+1).(z)<-100; done;
for z=1 to k do plaque.(z).(0)<-100; done;
for z=1 to k do plaque.(z).(k+1)<-100; done;


let tourrandom plaque =
let x=(random__int (k))+1 and y=(random__int (j))+1 in
let s= (plaque.(y-1).(x-1)+plaque.(y-1).(x)+plaque.(y-1).(x+1)+plaque.(y).(x+1)+plaque.(y+1).(x+1)+plaque.(y+1).(x)+plaque.(y+1).(x-1)+plaque.(y).(x-1)) in
plaque.(y).(x)<-(s/8);
in

for w=1 to i do
tourrandom plaque;
done;
plaque;;
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Igor
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Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 02 Aoû 2007, 17:58    Sujet du message: Répondre en citant

Une personne de ma classe a fait un TIPE sur ça cette année et plus généralement sur ce problème inscrit dans le cadre du mouvement Brownien.

Physiquement, dans un modèle continu, ton problème consiste à résoudre de l'équation de la chaleur. En régime permanent, cela revient à résoudre l'équation [tex:7f643289bf]\bigtriangleup T=0[/tex:7f643289bf] (si tu ne sais pas ce qu'est le laplacien, disons pour fixer les idées qu'en se plaçant en coordonnées cartésiennes, cela revient à résoudre l'équation [tex:7f643289bf]\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0[/tex:7f643289bf]) avec des conditions aux limites (température sur le bord de la plaque). Tu verras en spé qu'il existe une unique solution satisfaisant aux conditions aux limites.

Pour une version discrète, on peut citer une question d'un exo d'oral (Ulm/Lyon/Cachan) de l'année dernière:

Soit A=(a_{i,j}) une matrice de M_n(R) telle que [tex:7f643289bf]\forall i,j \in \{2,\ldots,n-1\}[/tex:7f643289bf], [tex:7f643289bf]4a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i+1,j}+a_{i,j-1}+a_{i,j+1}[/tex:7f643289bf]. Montrer que les [tex:7f643289bf]4n-2[/tex:7f643289bf] coefficients bordant A déterminent les autres.
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jean
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 02 Aoû 2007, 22:41    Sujet du message: Répondre en citant

Quand tu fais la moyenne d'une case puis d'une case voisine, il faut prendre l'ancienne valeur de la première case et surtout pas la nouvelle. L'ordre dans lequel tu fais le calcul n'a donc aucune importance!
Je peux t'expliquer pourquoi mais j'aimerais que tu vois pourquoi tout seul ;)
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 02 Aoû 2007, 23:36    Sujet du message: Répondre en citant

L'équation de la chaleur qui nous intéresse ici c'est plutôt [tex:9a483a4fd2]\frac{\partial T}{\partial t}-K\Delta T=0[/tex:9a483a4fd2], puisqu'on veut une évolution temporelle. Maintenant, Fourier est ton ami...
Au passage, je remarque aussi qu'avec le laplacien discret qui prend les 8 voisins et non seulement quatre, il faut faire attenton à pondérer l'influence des termes "des coins", qui sont plus éloignés et influent donc moins.
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henri
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Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 03 Aoû 2007, 12:56    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
Fourier est ton ami...

Effectivement, il faut chercher une solution dans un premier temps sous la forme f(t).g(x), tu vas alors trouver avec l équation de la chaleur une solution, et il faudra après vérifier les conditions aux limites. Ainsi, tu trouveras des termes du style a_n cos(n_t) sh(n_x) (je dis bien du style parce que je ne me souviens plus trop de l expression de la solution). Mais alors, par linéarité, la somme de telles solutions l est aussi, et donc, en developpant en série de Fourier la bonne fonction, tu obtiendras l exression des a_n qui te manquait jusqu à présent.
Mais c est peut-etre un peu trop proche du cours pour un tipe, non?

Au fait, désolé pour les apostrophe, mais je suis sur un clavier allemand et j ai déjà bien galéré pour les accents et pour les remplacements du type a-q ou m-ö etc...
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Chevêche
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Messages: 718
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MessagePosté le: 03 Aoû 2007, 17:52    Sujet du message: Répondre en citant

jean a écrit:
Quand tu fais la moyenne d'une case puis d'une case voisine, il faut prendre l'ancienne valeur de la première case et surtout pas la nouvelle. L'ordre dans lequel tu fais le calcul n'a donc aucune importance!
Je peux t'expliquer pourquoi mais j'aimerais que tu vois pourquoi tout seul ;)


Si on fait les moyennes en utilisant les "anciennes" valeurs, c'est plutôt évident que l'ordre n'a pas d'importance, (puisqu'on ne modifie pas la matrice au fur et à mesure), non? Même en utilisant les valeurs calculées au fur et à mesure, l'ordre n'a apparemment aucune importance. Est-ce qu'on peut le démontrer par l'absurde, avec un argument du style, étant donné deux matrices avec les mêmes "bords" et vérifiant [tex:9766fe0495] \forall i,j \in \{2,\ldots,n-1\}, 4a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i+1,j}+a_{i,j-1}+a_{i,j+1}[/tex:9766fe0495], si on suppose qu'il existe une case différente sur les deux matrices (située à la même position), alors il y a au moins une case qui borde la case précedente qui est différente sur les deux matrices, ce qui nous fait deux cases différentes en tout. Alors, soit on suppose que ce sont les seules, mais c'est impossible si on considère une case voisine, sinon on réitère le processus pour se "propager" vers le bord, et on montre finalement que les "bords" sont différents. Euh, c'est pas super clair Rolling Eyes (et en plus pas vraiment rigoureux Laughing )...

Pour la pondération des coins (lors des moyennes), il y a des règles physiques à respecter, ou on peut choisir au pif?

Et est-ce que c'est trop près du cours de spé pour être intéressant à exploiter?
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 03 Aoû 2007, 19:04    Sujet du message: Répondre en citant

Chevêche a écrit:
Pour la pondération des coins (lors des moyennes), il y a des règles physiques à respecter, ou on peut choisir au pif?
Euh le facteur ça doit être 1/2 je crois. (Il faut écrire dT/dx = Delta T / Delta x puis voir que les coins sont 1/sqrt 2 plus loin et comme c'est des dérivées secondes il doit y avoir un carré qui se balade à vue de nez...)
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jean
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Messages: 72

MessagePosté le: 03 Aoû 2007, 19:38    Sujet du message: Répondre en citant

"Si on fait les moyennes en utilisant les "anciennes" valeurs, c'est plutôt évident que l'ordre n'a pas d'importance, (puisqu'on ne modifie pas la matrice au fur et à mesure), non?"

Bien sûr! Ce que je voulais que tu 'sentes', c'est pourquoi il faut prendre les anciennes valeurs et *pas* les nouvelles.
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antony
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MessagePosté le: 03 Aoû 2007, 22:42    Sujet du message: Re: Modélisation du comportement thermique d'une plaque Répondre en citant

Au fait,

Chevêche a écrit:
PS : Une modélisation graphique avec des couleurs pourrait être sympathique. Sur le manuel de Caml light, il y a des instructions pour utiliser une fenêtre graphique, mais ça ne marche pas quand j'essaie sur mon ordi (je n'arrive même pas à obtenir une fenêtre graphique blanche). Est-ce que quelqu'un a déjà utilisé l'interface graphique de Caml? Faut-il charger une bibliothèque graphique?

Code:
#open "graphics" ;;
open_graph "640x480" ;;
devrait marcher.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 04 Aoû 2007, 9:42    Sujet du message: Répondre en citant

En fait, si on s'intéresse seulement à l'état d'équilibre de la plaque, on peut très bien prendre les nouvelles valeurs plutôt que les anciennes.
Sous certaines conditions (et je crois que cette EDP la vérifie), on a convergence vers l'état d'équilibre quelque soit l'ordre dans lequel on effectue les itérations, tant que, pour tous [tex:0e9656ea91](i,j)[/tex:0e9656ea91] et [tex:0e9656ea91](i',j')[/tex:0e9656ea91] dans la grille, après chaque fois qu'on effectue une itération en [tex:0e9656ea91](i,j)[/tex:0e9656ea91] viendra un moment où on fera une itération en [tex:0e9656ea91](i',j')[/tex:0e9656ea91].
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Chevêche
Taupin(e) ou équivalent


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Messages: 718
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MessagePosté le: 04 Aoû 2007, 10:34    Sujet du message: Re: Modélisation du comportement thermique d'une plaque Répondre en citant

antony a écrit:
Au fait,

Chevêche a écrit:
PS : Une modélisation graphique avec des couleurs pourrait être sympathique. Sur le manuel de Caml light, il y a des instructions pour utiliser une fenêtre graphique, mais ça ne marche pas quand j'essaie sur mon ordi (je n'arrive même pas à obtenir une fenêtre graphique blanche). Est-ce que quelqu'un a déjà utilisé l'interface graphique de Caml? Faut-il charger une bibliothèque graphique?

Code:
#open "graphics" ;;
open_graph "640x480" ;;
devrait marcher.

Ca marche nickel, merci.
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