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Fonctions continues de [0,1] dans [0,1]

 
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Auteur Message
Infophile
Légère tendance aux maths


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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 20:38    Sujet du message: Fonctions continues de [0,1] dans [0,1] Répondre en citant

Bonsoir Smile

Citation:
Soit [tex:69dfe18f20]f[/tex:69dfe18f20] et [tex:69dfe18f20]g[/tex:69dfe18f20], continue de [tex:69dfe18f20][0,1][/tex:69dfe18f20] dans [tex:69dfe18f20][0,1][/tex:69dfe18f20], telles que [tex:69dfe18f20]fog=gof[/tex:69dfe18f20].

Montrer qu'il existe [tex:69dfe18f20]x_0\in [0,1][/tex:69dfe18f20] tel que [tex:69dfe18f20]f(x_0)=g(x_0)[/tex:69dfe18f20].

Le résultat reste-t-il vrai pour des fonctions [tex:69dfe18f20]f[/tex:69dfe18f20] et [tex:69dfe18f20]g[/tex:69dfe18f20] dans [tex:69dfe18f20]\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})[/tex:69dfe18f20] ?


Bonne réflexion Wink
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 21:46    Sujet du message: Répondre en citant

C'est faux dans [tex:83d74a214c]\mathbb R[/tex:83d74a214c] : prendre [tex:83d74a214c]x \mapsto x+1[/tex:83d74a214c] et [tex:83d74a214c]x \mapsto x[/tex:83d74a214c].
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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jean
Légère tendance aux maths et aux délires


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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 22:26    Sujet du message: Répondre en citant

Ca parle de fonction de [0,1] dans [0,1]. f: x->x+1 fait ce qu'elle peut mais elle a un peu de mal à se couler dans ce moule :)
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henri
Taupin(e) ou équivalent


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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 22:34    Sujet du message: Répondre en citant

non pas la question d'après si tu lis bien
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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jean
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 22:43    Sujet du message: Répondre en citant

On peut effacer son post et se cacher, honteux? ;)
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xavier
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 22:52    Sujet du message: Répondre en citant

Sauf erreur, on doit pouvoir s'en sortir comme suit.
Je note [tex:897a1a5701]I_0 = [0,1][/tex:897a1a5701] et [tex:897a1a5701]I_1 = f(I_0) \cap g(I_0)[/tex:897a1a5701]. C'est évidemment un intervalle. Il est fermé puisque I_0 est compact et il vérifie [tex:897a1a5701]f(I_1) \subset f(I_0)[/tex:897a1a5701] et [tex:897a1a5701]f(I_1) \subset f \circ g(I_0) = g \circ f (I_0) \subset g(I_0)[/tex:897a1a5701], c'est-à-dire qu'il est stable par f. De même, il est stable par g. Par ailleurs [tex:897a1a5701]f \circ g (I_0) \subset f(I_0)[/tex:897a1a5701] et [tex:897a1a5701]f \circ g (I_0) = g \circ f (I_0) \subset g(I_0)[/tex:897a1a5701], ce qui donne [tex:897a1a5701]f \circ g(I_0) \subset I_1[/tex:897a1a5701] et assure que I_1 est non vide.
Je continue la construction en définissant [tex:897a1a5701]I_\alpha[/tex:897a1a5701] pour tout ordinal [tex:897a1a5701]\alpha[/tex:897a1a5701] : lorsque [tex:897a1a5701]\alpha = \beta + 1[/tex:897a1a5701], je pose [tex:897a1a5701]I_\alpha = f(I_\beta) \cap g(I_\beta)[/tex:897a1a5701] et si [tex:897a1a5701]\alpha[/tex:897a1a5701] est un ordinal limite, je pose [tex:897a1a5701]I_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} I_\beta[/tex:897a1a5701]. Bien entendu, tous les [tex:897a1a5701]I_\alpha[/tex:897a1a5701] sont des intervalles fermés et ils sont stables par f et g. De plus, ils sont tous non vides : pour les ordinaux successeurs, l'argument a déjà été donné, et pour les ordinaux limite, on utilise un argument de compacité. La suite stationne nécessairement à partir d'un certain ordinal et je note [a,b] la limite. On a alors [tex:897a1a5701]f([a,b]) = g([a,b]) = [a,b][/tex:897a1a5701]. Mais alors, il existe x tel que f(x) = b et donc [tex:897a1a5701]f(x) \geqslant g(x)[/tex:897a1a5701] et de même il existe y tel que f(y) = b et donc [tex:897a1a5701]f(y) \leqslant g(y)[/tex:897a1a5701]. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.

Maintenant question subsidiaire : sous les mêmes hypothèses, existe-t-il toujours x tel que f(x)=g(x)=x ?

--
Xavier, qu'avec plusieurs camarades, on avait réfléchi à cette dernière question un bon moment quand nous étions en première année de l'ENS.


Dernière édition par xavier le 16 Aoû 2007, 7:37; édité 1 fois
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 7:19    Sujet du message: Répondre en citant

Si c'est la solution la plus simple, je crois qu'on peut déplacer ça dans le coin "Maths supérieures".
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xavier
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 7:21    Sujet du message: Répondre en citant

En fait, je me suis rendu compte après coup qu'on n'a pas besoin d'utiliser les ordinaux puisqu'il est assez facile de voir que la suite stationne à partir de [tex:1e11a9a469]\omega[/tex:1e11a9a469]. Donc ça simplifie quand même pas mal la rédaction.

Celà dit, c'est vrai que ça ne va pas trop dans Maths olympiques.
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Cerise
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 7:27    Sujet du message: Répondre en citant

Voilà.
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Infophile
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 14:00    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour Smile

Il y a une solution plus simple en raisonnant par l'absurde.
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Thibaut
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 14:15    Sujet du message: Répondre en citant

Essayons :

Soit [tex:bc2147334e]x_0[/tex:bc2147334e] un point fixe de [tex:bc2147334e]f[/tex:bc2147334e] (il est bien connu que de telles fonctions en ont).

On a [tex:bc2147334e]f \circ g (x_0) = g \circ f (x_0)[/tex:bc2147334e], soit [tex:bc2147334e]f \circ g (x_0) = g(x_0)[/tex:bc2147334e]. Il vient que [tex:bc2147334e]x_1 = g(x_0)[/tex:bc2147334e] est également point fixe de [tex:bc2147334e]f[/tex:bc2147334e]. Par récurrence, les [tex:bc2147334e]x_n = g^n(x_0)[/tex:bc2147334e] sont tous points fixes de [tex:bc2147334e]f[/tex:bc2147334e]. Par compacité séquentielle, on extrait une sous-suite de [tex:bc2147334e](x_n)[/tex:bc2147334e] qui converge vers un certain [tex:bc2147334e]y[/tex:bc2147334e], qui est, par continuité, encore un point fixe de [tex:bc2147334e]f[/tex:bc2147334e]. Euh, mince, c'est pas forcément un point fixe de [tex:bc2147334e]g[/tex:bc2147334e]...
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jean
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 17:38    Sujet du message: Répondre en citant

Supposons que pour tout x dans [0,1] f(x)>g(x).
Il existe alors un eps dans R+* tel que pour tout x dans [0,1], f(x)-g(x)>=eps>0
En composant et par récurrence, on a alors :
Pour tout x dans [0,1] tout n dans N*, f^n(x)>=g^n(x)+n eps (j'espère que c'est bon sinon la tentative échoue).

On a alors un léger problème pour rester dans [0,1]...donc il existe un x dans [0,1] tel que f(x)=g(x).

Il faudrait rédiger mieux que ça mais ça semble fonctionner.
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xavier
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 18:25    Sujet du message: Répondre en citant

jean a écrit:
(j'espère que c'est bon sinon la tentative échoue).

Je pense que ça demande à être détaillé.
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Infophile
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 20:35    Sujet du message: Répondre en citant

Bonsoir Smile

J'ai la même méthode que jean.

En supposant que [tex:322856ae6c]\forall x\in [0,1], f(x)\neq g(x) [/tex:322856ae6c]alors on peut supposer [tex:322856ae6c]\forall x\in [0,1], f(x)>g(x)[/tex:322856ae6c].

La fonction [tex:322856ae6c]f-g[/tex:322856ae6c] est continue sur [tex:322856ae6c][0,1][/tex:322856ae6c] et atteint son minimum en [tex:322856ae6c]m>0[/tex:322856ae6c] donc [tex:322856ae6c]\forall x\in [0,1], f(x)\ge g(x)+m[/tex:322856ae6c]

Puis on montre par récurrence que [tex:322856ae6c]\forall n\in \mathbb{N}^{\ast}, f^n(x)\ge g^n(x)+nm[/tex:322856ae6c]

Et comme[tex:322856ae6c] g^n(x)\ge 0[/tex:322856ae6c] alors [tex:322856ae6c]\displaystyle \lim_{n\to +\infty}g^n(x)+nm=+\infty[/tex:322856ae6c] et donc on a une contradiction avec [tex:322856ae6c]f^n(x)\in [0,1][/tex:322856ae6c]
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xavier
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 20:48    Sujet du message: Répondre en citant

Infophile a écrit:
Puis on montre par récurrence que [tex:166a75716e]\forall n\in \mathbb{N}^{\ast}, f^n(x)\ge g^n(x)+nm[/tex:166a75716e]

Je maintiens que c'est l'étape importante (en particulier, c'est là que l'on l'utilise l'hypothèse de commutation) et que, dans une rédaction classique, elle mériterait d'être plus détaillée... même si effectivement, ça se fait sans trop de douleur.
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Thibaut
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 21:00    Sujet du message: Répondre en citant

Montrons par récurrence que [tex:a35023e4dd]\forall n \in \mathbb N, \forall x \in [0;1], f^n(x) \geq g^n(x) + nm[/tex:a35023e4dd]

Pour [tex:a35023e4dd]n \leq 1[/tex:a35023e4dd], c'est ok.
Soit [tex:a35023e4dd]n \geq 1[/tex:a35023e4dd], et supposons que c'est bon au rang [tex:a35023e4dd]n[/tex:a35023e4dd].
Pour [tex:a35023e4dd]x \in [0;1][/tex:a35023e4dd], on a :
[tex:a35023e4dd]f^{n+1}(x) = f^n (f(x)) \geq g^n(f(x)) + nm =[/tex:a35023e4dd][tex:a35023e4dd] f(g^n(x)) + nm \geq g(g^n(x)) + m + nm = g^{n+1}(x) + (n+1)m[/tex:a35023e4dd].
Donc c'est bon au rang [tex:a35023e4dd]n+1[/tex:a35023e4dd]

La récurrence conclut.
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Infophile
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MessagePosté le: 16 Aoû 2007, 21:05    Sujet du message: Répondre en citant

J'étais justement en train de taper la récurrence, merci Thibaut Wink

Bonne soirée !
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