Maths et Délires

[Jill-Jênn]

On l'a eu en cours, mais ça ressemble plus à un exercice olympique, alors je voulais partager
1) Montrer que [tex:afd1bb6b08]0,12345678910...[/tex:afd1bb6b08] est irrationnel.
2) Montrer que [tex:afd1bb6b08]0,2357111317...[/tex:afd1bb6b08] est irrationnel.

Par contre je ne regarderai pas les réponses de ce topic tant que je n'aurai pas fait la deuxième question (d'ailleurs c'est pas sûr qu'elle soit seulement olympique)
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[antony]

1. Tout plein de zéros tout partout...
2. La première solution qui me passe par la tête utilise le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progessions arithmétiques, mais je me demande si on peut faire plus simple.
En effet, si c'était un rationnel, alors le développement décimal est périodique, et donc il existe une suite finie de chiffres n'apparaissant pas dans le développement décimal. On peut supposer que cette suite se termine par un 1. Alors il existe un nombre premier se terminant par cette suite finie (utiliser le théorème de Dirichlet avec une raison 10^n, n assez grand), et n'apparaissant donc pas dans le développement décimal, CQFD.

[Jill-Jênn]

Zut, pas posté sur le bon forum. On peut le déplacer (puis, ne plus tenir compte de ce message, pour éviter la boucle infinie... ) ?
3) Montrer que [tex:ef8af4ad6a]0,01101010001010001...[/tex:ef8af4ad6a] est irrationnel.
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[antony]

Hein, il est défini comment, ce réel ?

[Thibaut]

Je suppose que c'est [tex:a5612ad0ab]\sum\limits_{k \in \mathcal P} b^{-k}[/tex:a5612ad0ab], où [tex:a5612ad0ab]b \in \mathbb N^*[/tex:a5612ad0ab] est la base de numération, et [tex:a5612ad0ab]\mathcal P[/tex:a5612ad0ab] est l'ensemble des nombres premiers.

Facile : [tex:a5612ad0ab]\mathcal P[/tex:a5612ad0ab] n'est pas un ensemble ultimement périodique (je crois que c'est le terme consacré), ie union finie de suites arithmétiques et de singletons.
Et ce dernier fait découle des deux trivialités suivantes :
* [tex:a5612ad0ab]\mathcal P[/tex:a5612ad0ab] est infini
* [tex:a5612ad0ab]\mathcal P[/tex:a5612ad0ab] ne contient aucune suite arithmétique.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[Toumaf]

J'aurais plutôt, pour le dernier, utilisé le fait que ce nombre contient des suites arbitrairement longues de zéros.

[Tom]

Ou qu'il n'existe aucune suite arithmétique ne contenant que des nombres premiers (an+b voir le b-ième terme).
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JJ never dies

[Thibaut]

Ça, c'est ce que j'ai dit.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[Tom]

Désolé

[Cerise]

[Thibaut]

Oh, mince.
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