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Un sangaku magnifique

 
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Auteur Message
Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 25 Fév 2008, 14:00    Sujet du message: Un sangaku magnifique Répondre en citant

Soit un polygone convexe à [tex:5ff4a5af80]n[/tex:5ff4a5af80]côtés inscrit dans un cercle. On choisit une triangulation du polygone et on trace les cercles inscrits dans chacun des triangles obtenus. Montrer que la somme des rayons des cercles inscrits est indépendante de la triangulation choisie.


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Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.
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Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 25 Fév 2008, 22:00    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Une façon de faire doit être de montrer ça pour un quadrilatère cyclique, puis par récurrence sur le nombre de côtés (montrer qu'il suffit de faire une suite de transformations élémentaires du type « changer une arète en l'autre diagonale du quadrilatère dans laquelle elle est » pour passer de n'importe quelle triangulation à n'importe quelle autre.
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Tom
Matheux (se)


Inscrit le: 14 Aoû 2007
Messages: 238

MessagePosté le: 26 Fév 2008, 18:09    Sujet du message: Répondre en citant

Peut-être peut-on utiliser la formule S=pr, S aire d'un triangle, p 1/2 périmètre, r rayon du cercle inscrit ; ensuite le sigma des Si est constant (aire du polygone) ; et on doit pouvoir conclure... mais j'ai pas vraiment le temps de chercher.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 28 Fév 2008, 12:57    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, comme le dit Toumaf, on commence par les quadrilatères (et, en fait, même par les triangles....), mais on n'a pas besoin de récurrence ni de transformations sur les triangulations.

Soit ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. On note d_A la distance algébrique de O à (BC) (.à.d. comptée + si O est à du même côté que A par rapport à (BC), et - sinon) et on définit de même d_B,d_C.
Evidemment, R et r sont les rayons des cercles circonscrits et inscrits.

Alors, on a le résultat classique suivant
R+r = d_A + d_B + d_C

Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre O.
En utilisant le résultat ci-dessus, on obtient que la somme des rayons des cercles inscrits dans les deux triangles déterminés par une des deux diagonales est égale à celle des deux triangles déterminés par l'autre diagonale.

Cela se généralise ensuite aux n-gones inscrits de la même façon. Pour une triangulation donnée, la somme S des rayons des cercles inscrits dans les triangles est égale à la somme S' des distances algébriques de O aux cotés de chacun des triangles moins (n-2)R (puisque la triangualtion utilise toujours n-2 triangles).
Or, toute diagonale d de la triangulation est utilisée pour deux triangles, et la distance de O à d interviendra alors une fois positivement et une fois négativement dans la somme S'.
Du coup, S' est juste la somme des distances algébriques de O aux côtés du n-gone, qui est clairement indépendante de la triangulation. Et Donc S est aussi indépendante de la triangulation choisie.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 28 Fév 2008, 13:54    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:

Alors, on a le résultat classique suivant
R+r = d_A + d_B + d_C


Il semblerait que cela s'appelle le théorème de Carnot.
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 28 Fév 2008, 14:51    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:
pierre a écrit:

Alors, on a le résultat classique suivant
R+r = d_A + d_B + d_C


Il semblerait que cela s'appelle le théorème de Carnot.


Exactement.

Jolie démonstration.
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Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 29 Fév 2008, 18:28    Sujet du message: Répondre en citant

Exercice subsidiaire, du coup : démontrer (joliement) le théorème de Carnot.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 29 Fév 2008, 18:56    Sujet du message: Répondre en citant

Toumaf a écrit:
Exercice subsidiaire, du coup : démontrer (joliement) le théorème de Carnot.
joliment*
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