Maths et Délires

[strife2]

Salut, comment montrer que :

[tex:2ecdb7a21d]1^{2007} + 2^{2007} + 3^{2007} + ... + 2006^{2007}[/tex:2ecdb7a21d] est divisible par 2007 ?
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Ancien de Grésillon.

[Guillaume.B]

En utilisant le fait que pour tout entier [tex:800029343e]d[/tex:800029343e] : [tex:800029343e]d^{2007} + (2007 - d)^{2007}[/tex:800029343e][tex:800029343e]= 2007(d^{2006} - d^{2005}(2007 - d) + ... + (2007 - d)^{2006})[/tex:800029343e]

Tu sommes ces égalités de [tex:800029343e]d = 1[/tex:800029343e] à [tex:800029343e]d = 1003[/tex:800029343e], et tu prouves le résultat désiré.

Au passage, tu peux remplacer 2007 par n'importe quel nombre impair. La démo est analogue à celle ci-dessus.
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Union Tinh Võ Đạo de France : http://www.uniontvdfrance.com

Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.

[Salque]

Dans le cas 2007 premier, on peut aussi utiliser le théorème de Fermat
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[strife2]

Guillaume : il sort d'où ce théorème ?

Sinon avec Fermat ça donne quoi ?
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Ancien de Grésillon.

[Guillaume.B]

Bah, :

[tex:2bf4beed12]a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + ... - ab^{n - 2} + b^{n - 1}) [/tex:2bf4beed12] lorsque [tex:2bf4beed12]n[/tex:2bf4beed12] est impair. Ici [tex:2bf4beed12]a = d[/tex:2bf4beed12] et [tex:2bf4beed12]b = 2007 - d[/tex:2bf4beed12]
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Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.

[strife2]

Ah ouais.

Merci.
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Ancien de Grésillon.

[Salque]

Avec Fermat, on a pour tout a, a^(2007) = a (mod 2007), d'où il est facile de voir que la somme est nulle modulo 2007... mais attention, ça marche uniquement dans le cas où 2007 est un nombre premier
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[Abou]

À priori si 2007 est premier, il l'est toujours!


(Désolé)

[Guillaume.B]

Il voulait sûrement dire si on remplace 2007 par un nombre premier.
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Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.

[Salque]

2+0+0+7 = 9

(En l'occurrence, 2007 = 3^2 * 223)
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[Abou]

J'ai pas dit qu'il était premier hein

[strife2]

Ok merci à toi aussi Ilia.
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Ancien de Grésillon.

[Tom]

On utilise ça pour montrer que la somme des n puissances p-ième est divisible par n(n-1)/2. Ou un truc du genre.
D'ailleurs c'est Jill-Jênn qui m'avait filé cet exo. J'avais bien trimé dessus :)
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JJ never dies

[Thibaut]

Dans le message "Dans le cas 2007 premier, on peut aussi utiliser le théorème de Fermat" et les quelques suivantes, 2007 n'était pas un nom de variable ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[Abou]

Si si, enfin c'est ce que j'ai compris, d'où ma remarque à prendre dans le sens ironique.

[Jill-Jênn]

[Tom]

A la fin de l'année dernière. Tu m'as dit que le prof de TS avait donné ça à ses élèves. Ou un truc comme ça.
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JJ never dies

[Jill-Jênn]

Oui oui je m'en suis souvenu
Sacré Rousset.
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya