Maths et Délires
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Equation fonctionnelle intéressante

 
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Auteur Message
popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Déc 2006
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MessagePosté le: 11 Avr 2008, 21:49    Sujet du message: Equation fonctionnelle intéressante Répondre en citant

Soit x1,x2,...,xn une suite de réels positifs de somme 1
f une fonction continue telle que
x1 f(x) + x2 fof(x) + x3 fofof(x) +...+xn fofofofo...f(x) = x
Trouvez f
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Beuh??? Jvois vraiment pas
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 11 Avr 2008, 22:54    Sujet du message: Répondre en citant

On appelle quand même ça une suite, si n ne varie pas ?
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


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MessagePosté le: 12 Avr 2008, 0:06    Sujet du message: Répondre en citant

On appelle ça une séquence je crois, mais on va pas jouer sur les mots hein?
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Overlord
Être mi-geek mi-globzoule


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Messages: 2446
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MessagePosté le: 12 Avr 2008, 0:13    Sujet du message: Répondre en citant

Une suite finie.
_________________
Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait.

Il y a 11 catégories de gens sur Terre :
- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
- Ceux qui la connaissent et qui connaissent le binaire
- Ceux qui ne comprennent pas
Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi...
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 12 Avr 2008, 4:07    Sujet du message: Répondre en citant

Une suite finie de longueur [tex:c3993ac4f8]n[/tex:c3993ac4f8], un [tex:c3993ac4f8]n[/tex:c3993ac4f8]-uplet, c'est pas très différent...
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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mew3
Tendance maths et délires inquiétante


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MessagePosté le: 12 Avr 2008, 20:33    Sujet du message: Répondre en citant

Moi j'aurais dit une famille de n éléments Razz
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'"I'm the Doctor. I'm a Time Lord. I'm from the planet Gallifrey on the constellation of Kasterborous. I'm 903 years old, and I'm the man who's going to save your lives, and all six billion people on the planet below... Have you got a problem with that?"

Doctor Who, Voyage of the Damned
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popolux
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MessagePosté le: 14 Avr 2008, 12:10    Sujet du message: Répondre en citant

Bon je vais poser des questions de culture G puisque mon exo tout le monde s'en $$$$$$$$$ !

Twisted Evil
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 14 Avr 2008, 12:26    Sujet du message: Répondre en citant

Pour tout t'avouer, je dirais que ton énoncé n'est pas super-bien posé...

S'agit-il de trouver, [tex:e58105c74a](x_1, \ldots, x_n)[/tex:e58105c74a] étant une suite finie de réels positifs de somme [tex:e58105c74a]1[/tex:e58105c74a] fixée, toutes les fonctions continues [tex:e58105c74a]f : \mathbb R \to \mathbb R[/tex:e58105c74a], telles que, pour tout réel [tex:e58105c74a]x[/tex:e58105c74a], [tex:e58105c74a]\sum\limits_{k = 1}^n x_k f^{\circ k} (x) = x[/tex:e58105c74a] ?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 14 Avr 2008, 12:54    Sujet du message: Répondre en citant

Me semble que c'est ça aussi.
D'ailleurs, au début je n'avais pas compris que le n était fixé (d'où ma question).
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Thibaut
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MessagePosté le: 14 Avr 2008, 13:02    Sujet du message: Répondre en citant

Clairement, une telle fonction [tex:da36b96ea4]f[/tex:da36b96ea4] est injective, ni minorée ni majorée, c'est donc une bijection strictement monotone de [tex:da36b96ea4]\mathbb R[/tex:da36b96ea4] sur lui-même.

Supposons [tex:da36b96ea4]f[/tex:da36b96ea4] strictement croissante.
Soit [tex:da36b96ea4]X[/tex:da36b96ea4] l'ensemble des points fixes de [tex:da36b96ea4]f[/tex:da36b96ea4].
Alors [tex:da36b96ea4]X[/tex:da36b96ea4] n'est ni majoré ni minoré (s'il était majoré, en tant que fermé de [tex:da36b96ea4]\mathbb R[/tex:da36b96ea4], il aurait un plus grand élément [tex:da36b96ea4]M[/tex:da36b96ea4], et alors par continuité, [tex:da36b96ea4]\forall x > M, M < x < f (x)[/tex:da36b96ea4] ou [tex:da36b96ea4]\forall x > M, M < f (x) < x[/tex:da36b96ea4] et on a une contradiction dans les deux cas avec l'équation ; de même pour montrer que c'est non minoré).

Montrons que [tex:da36b96ea4]X[/tex:da36b96ea4] est dense (en tant qu'ensemble ordonné) :
Supposons que l'on ait [tex:da36b96ea4]x, y \in X[/tex:da36b96ea4] tels que [tex:da36b96ea4]X \cap ]x ; y[ = \emptyset[/tex:da36b96ea4].
Alors on a : [tex:da36b96ea4]\forall t \in ]x ; y[, x < t < f (t) < y[/tex:da36b96ea4] ou [tex:da36b96ea4]\forall t \in ]x ; y[, x < f (t) < t < y[/tex:da36b96ea4], et les deux contredisent l'équation fonctionnelle.
Comme [tex:da36b96ea4]X[/tex:da36b96ea4] n'est ni majoré ni minoré, il vient que [tex:da36b96ea4]X[/tex:da36b96ea4] est dense dans [tex:da36b96ea4]\mathbb R[/tex:da36b96ea4]. Mais c'est un fermé de [tex:da36b96ea4]\mathbb R[/tex:da36b96ea4], donc [tex:da36b96ea4]\mathbb R[/tex:da36b96ea4] tout entier, et [tex:da36b96ea4]f[/tex:da36b96ea4] est l'identité.

Reste donc à traiter le cas strictement décroissant.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 14 Avr 2008, 18:00    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:

Montrons que [tex:af120e4f66]X[/tex:af120e4f66] est dense (en tant qu'ensemble ordonné)


Oui, enfin, pour le coup, on peut faire plus simple :
si pour x fixé, on a [tex:af120e4f66]f(x) > x[/tex:af120e4f66] alors [tex:af120e4f66]x_if^{(i)}(x) > x_ix[/tex:af120e4f66] pour tout [tex:af120e4f66]i[/tex:af120e4f66] et, en sommant, on obtient [tex:af120e4f66]x>x[/tex:af120e4f66], ce qui est absurde.
On procède de même avec [tex:af120e4f66]f(x)<x[/tex:af120e4f66].
Et donc [tex:af120e4f66]f(x)=x[/tex:af120e4f66], pour tout [tex:af120e4f66]x[/tex:af120e4f66].

Thibaut a écrit:

Reste donc à traiter le cas strictement décroissant.


Voilà, oui.

Pierre.
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Thibaut
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MessagePosté le: 14 Avr 2008, 19:47    Sujet du message: Répondre en citant

pierre a écrit:
Oui, enfin, pour le coup, on peut faire plus simple :
si pour x fixé, on a [tex:95a5109545]f(x) > x[/tex:95a5109545] alors [tex:95a5109545]x_i f^{(i)}(x) > x_i x[/tex:95a5109545] pour tout [tex:95a5109545]i[/tex:95a5109545] et, en sommant, on obtient [tex:95a5109545]x>x[/tex:95a5109545], ce qui est absurde.

Ah, tiens oui, la stricte croissance suffit, pas besoin d'encadrer par deux points fixes...
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popolux
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MessagePosté le: 15 Avr 2008, 20:26    Sujet du message: Répondre en citant

Mon exercice n'est pas des plus passionnants j'en conviens mais en tout cas c'est toujours satisfaisant de voir qu'il en interesse certains. Donc bon courage à ceux qui cherchent..
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popolux
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MessagePosté le: 16 Avr 2008, 13:19    Sujet du message: Répondre en citant

Il faudrait une question intermédiaire bien que je crois que vous n'en ayez pas besoin:


Soit u_1, u_2,..., u_n une suite FINIE (ou séquence ou n-uplet ou etc...) et x_1, x_2,...,x_n les réels de l'exercice précédent (x_i positifs et somme des x_i =1).

Montrez que la suite récurrente linéaire définie par (u_0,u_1,...,u_n) et la relation :

u _{k+1}= somme des x_i u_{k-n+i} converge et trouvez sa limite

(En gros on fixe les n premiers termes et le terme d'après est la moyenne pondérée par les (x_i) des n termes précédents et ainsi de suite...)

PS : Quelqun pourrait m'indiquer la commande pour entrer du code latex dans les posts??
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 16 Avr 2008, 14:45    Sujet du message: Répondre en citant

popolux a écrit:
PS : Quelqun pourrait m'indiquer la commande pour entrer du code latex dans les posts??
Ben [tex] et [/tex], c'est gros comme une maison.
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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