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géométrie de sup

 
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yannick
Tendance maths et délires inquiétante


Inscrit le: 16 Mai 2007
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MessagePosté le: 29 Avr 2008, 20:43    Sujet du message: géométrie de sup Répondre en citant

bonsoir !
quelqu'un pourrait-il me dire où on postule (implicitement) l'axiome des parallèles quand on fait le chapitre de géométrie euclidienne en sup ?

et à la même occaz, s'il est possible de définir un équivalent des barycentres en géométrie hyperbolique (dans [tex:a7328e0b8e]\mathbb{H}[/tex:a7328e0b8e] par exemple)

et enfin si c'est une coïncidence que le théorème de Ceva soit aussi valable, bien que légèrement modifié, en géométrie hyperbolique (si je me suis pas trompé) dans [tex:a7328e0b8e]\mathbb{H}[/tex:a7328e0b8e]

et je crois que c'est tout pour ce soir
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 29 Avr 2008, 20:50    Sujet du message: Répondre en citant

Ça ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 29 Avr 2008, 20:51    Sujet du message: Répondre en citant

L'axiome des parallèles découle du fait le plan soit isomorphe à [tex:0a6fe20fa4]\mathbb R^2[/tex:0a6fe20fa4], donc affine euclidien.

Sinon, qu'appelles-tu [tex:0a6fe20fa4]\mathbb H[/tex:0a6fe20fa4] ? Si c'est l'algèbre des quaternions, ça m'a l'air d'être tout ce qu'il y a de plus euclidien.

Édit : Ah, peut-être que [tex:0a6fe20fa4]\mathbb H[/tex:0a6fe20fa4] est [tex:0a6fe20fa4]\{ z \in \mathbb C, Im (z) > 0 \}[/tex:0a6fe20fa4] muni de sa métrique (en fait un peu plus qu'une métrique, mais passons) hyperbolique ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal


Dernière édition par Thibaut le 30 Avr 2008, 0:21; édité 1 fois
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yannick
Tendance maths et délires inquiétante


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Messages: 105
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MessagePosté le: 29 Avr 2008, 20:58    Sujet du message: Répondre en citant

non, plutôt : [tex:cced38062e]\mathbb{H}=\{z \in \mathbb{C} | \Im(z) > 0 \}[/tex:cced38062e] edit: ok j'ai vu ton edit
et sinon, justement, pour quoi [tex:cced38062e]\mathbb{R}^2[/tex:cced38062e] est-il euclidien ? Enfin, où est-ce qu'on le dit ? Ou encore, en quoi toutes les defs qu'on pose impliquent-t-elles que l'axiome des parallèles soit vérifié dans [tex:cced38062e]\mathbb{R}^2[/tex:cced38062e]

@ J^2 = oui
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 30 Avr 2008, 0:50    Sujet du message: Répondre en citant

Quand je dis que [tex:91a95d775d]\mathbb R^2[/tex:91a95d775d] est affine euclidien, je ne veux pas dire qu'il satisfait les axiomes de la géométrie plane d'Euclide, mais que c'est un espace affine réel de dimension finie, avec un produit scalaire sur l'espace vectoriel associé.

On peut montrer que tout espace affine euclidien [tex:91a95d775d]E[/tex:91a95d775d] de dimension 2 vérifie les postulats d'Euclide, y compris celui-des parallèles.
Montrons-le (sous la forme suivante : "Étant donné une droite et un point, il existe une unique parallèle à la droite passant par le point" ; c'est le plus facile, car elle se prouve par des arguments de type affine seulement, alors que la version sur la somme des angles d'un triangle fait intervenir la structure euclidienne) :
Étant donné [tex:91a95d775d]M[/tex:91a95d775d] un point de [tex:91a95d775d]E[/tex:91a95d775d] et [tex:91a95d775d]D[/tex:91a95d775d] une droite vectorielle, on notera [tex:91a95d775d]M + D[/tex:91a95d775d] la droite affine de [tex:91a95d775d]E[/tex:91a95d775d] de direction [tex:91a95d775d]D[/tex:91a95d775d] et passant par [tex:91a95d775d]M[/tex:91a95d775d].
Alors, pour [tex:91a95d775d]\Delta[/tex:91a95d775d] une droite affine quelconque, et [tex:91a95d775d]M[/tex:91a95d775d] point quelconque de [tex:91a95d775d]D[/tex:91a95d775d], il est clair que l'unique parallèle à [tex:91a95d775d]\Delta[/tex:91a95d775d] passant par [tex:91a95d775d]M[/tex:91a95d775d] est [tex:91a95d775d]M + D[/tex:91a95d775d] où [tex:91a95d775d]D[/tex:91a95d775d] est la direction de [tex:91a95d775d]\Delta[/tex:91a95d775d].
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yannick
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MessagePosté le: 30 Avr 2008, 9:15    Sujet du message: Répondre en citant

ok ok
on est d'accord qu'un espace euclidien est euclidien ; ma question c'est plutôt de savoir quelle définition (je sais pas moi, celle des vecteurs, celle d'une espace vectoriel ou affine, la définition du parallélisme...) contient implicitement le postulat. Et par exemple si c'est possible en modifiant légèrement une def de se retrouver avec un ev hyperbolique
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musichien
Mathématicien(ne)


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MessagePosté le: 01 Mai 2008, 23:42    Sujet du message: Répondre en citant

Quand on se place sur un plan, dès qu'on l'identifie à R^2, tout devient "droit", les géodésiques sont des "droites", etc. Il faut faire autre chose pour obtenir quelque chose d'hyperbolique.

Je pense que ce que tu demandes est difficile, parce-que ce sont vraiment tous les axiomes en même temps qui définissent un espace vectoriel, et qui servent, ensemble, à avoir une notion de linéarité "pratique". Les quatre formules définissent chacune un aspect de la linéarité, et c'est parce-qu'on les a toutes qu'on peut ensuite parler par exemple de bases. Elles permettent d'avoir une structure assez fréquente, mais relativement "rigide", et justement, j'ai l'impression qu'en enlevant des axiomes, tu perds tout d'un coup, en ne gagnant quasiment rien... C'est-à-dire autant tout enlever et seulement garder "groupe abélien".

Je n'en sais pas grand-chose, ce que je te dis n'est qu'une opinion, mais je ne pense pas qu'on puisse dire qu'un seul axiome soit responsable de celui des parallèles, je crois que c'est les 4 ensembles, et que si tu cherches à en enlever un, autant enlever les 3 autres.
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Le roi de la solution pas claire
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