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Connexe par X

 
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 03 Mai 2008, 11:42    Sujet du message: Connexe par X Répondre en citant

Soit [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] un espace topologique, et [tex:c8ca4e9ae9]x, x'[/tex:c8ca4e9ae9] deux points distincts de [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9].

Pour [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] espace topologique, et [tex:c8ca4e9ae9]s : X \to Y[/tex:c8ca4e9ae9] continue, on dira que [tex:c8ca4e9ae9]s[/tex:c8ca4e9ae9] est un [tex:c8ca4e9ae9](X, x, x')[/tex:c8ca4e9ae9]-chemin (ou un [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-chemin lorsque [tex:c8ca4e9ae9]x, x'[/tex:c8ca4e9ae9] sont sous-entendus) dans [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9], de [tex:c8ca4e9ae9]s (x)[/tex:c8ca4e9ae9] à [tex:c8ca4e9ae9]s (x')[/tex:c8ca4e9ae9].

On pose [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R_X^Y = \{ (y, y') \in Y^2, \exists s : X \to Y, \text { $s$ est un $X$-chemin de $y$ \`a $y'$} \}[/tex:c8ca4e9ae9], relation sur [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9].
On dira que [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9], ou [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-connexe, lorsque [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R_X^Y = Y^2[/tex:c8ca4e9ae9].

Quelques exemples :
- Si [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] est discret, alors tout espace est [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-connexe.
- Lorsque [tex:c8ca4e9ae9]X = [0, 1][/tex:c8ca4e9ae9] muni de sa topologie naturelle, [tex:c8ca4e9ae9]x = 0[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]y = 1[/tex:c8ca4e9ae9], un [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-chemin est un chemin au sens habituel, la notion de connexité par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] coïncide à celle de la connexité par arcs.
- Si [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9], alors la notion de [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-connexité et celle de [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9]-connexité coïncident. Exemple : [tex:c8ca4e9ae9]X = [0, 1][/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]Y = \mathbb S_n[/tex:c8ca4e9ae9] (peu importe les choix des [tex:c8ca4e9ae9]x, x'[/tex:c8ca4e9ae9])
- Lorsque [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] est l'espace de Sierpinski ([tex:c8ca4e9ae9]\{ 0, 1 \}[/tex:c8ca4e9ae9] muni de la topologie [tex:c8ca4e9ae9]\{ \emptyset, \{ 0 \}, \{ 0, 1 \} \}[/tex:c8ca4e9ae9]), alors tout espace [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-connexe a la topologie grossière.

Quelques propriétés :
- Si [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]f : Y \to Y'[/tex:c8ca4e9ae9] continue et surjective, alors [tex:c8ca4e9ae9]Y'[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9].
- Si [tex:c8ca4e9ae9]x[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]x'[/tex:c8ca4e9ae9] sont dans la même composante connexe de [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9], alors tout espace connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe.
- Par contre, si [tex:c8ca4e9ae9]x[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]x'[/tex:c8ca4e9ae9] ne sont pas dans la même composante connexe de [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9], alors tout espace est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9].
- On a équivalence entre :
a) il existe un [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-chemin de [tex:c8ca4e9ae9]y[/tex:c8ca4e9ae9] à [tex:c8ca4e9ae9]y'[/tex:c8ca4e9ae9] dans [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9],
b) pour tout espace [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R_Y^Z \subseteq \mathcal R_X^Z[/tex:c8ca4e9ae9].
- On a équivalence entre :
a) il existe un [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-chemin de [tex:c8ca4e9ae9]y'[/tex:c8ca4e9ae9] à [tex:c8ca4e9ae9]y[/tex:c8ca4e9ae9] dans [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9],
b) pour tout espace [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R_Y^Z \subseteq \ ^t\!\mathcal R_X^Z[/tex:c8ca4e9ae9], où [tex:c8ca4e9ae9]^t\mathcal R[/tex:c8ca4e9ae9] désigne l'inverse de la relation [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R[/tex:c8ca4e9ae9].
- Soit [tex:c8ca4e9ae9]Y = X \times \{0, 1 \} / \{ (x', 0), (x, 1) \}[/tex:c8ca4e9ae9] (on identifie dans [tex:c8ca4e9ae9]X \times \{ 0, 1 \}[/tex:c8ca4e9ae9] les deux points [tex:c8ca4e9ae9](x', 0)[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9](x, 1)[/tex:c8ca4e9ae9] via un quotient topologique). On a alors équivalence entre :
a) Il existe un [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9]-chemin de [tex:c8ca4e9ae9](x, 0)[/tex:c8ca4e9ae9] à [tex:c8ca4e9ae9](x', 1)[/tex:c8ca4e9ae9] dans [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9]
b) pour tout espace [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]R_X^Z[/tex:c8ca4e9ae9] est transitive.

Dorénavant, on ne considérera la connexité par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] que pour des espaces [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] qui sont connexes, et tels que pour tout espace [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R_X^Z[/tex:c8ca4e9ae9] est une relation d'équivalence.
Les classes d'équivalences de [tex:c8ca4e9ae9]R_X^Z[/tex:c8ca4e9ae9] sur [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9] sont alors appelées composantes connexes par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] de [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9],

On a alors :
- Si [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] est un espace, avec [tex:c8ca4e9ae9](Y_i)_{i \in I}[/tex:c8ca4e9ae9] est un recouvrement de [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] par des parties connexes par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] et d'intersection non vide, alors [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9].
- Si [tex:c8ca4e9ae9]Y[/tex:c8ca4e9ae9] est localement connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9], alors ses composantes connexes par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] sont ouvertes et fermées.
- Soit [tex:c8ca4e9ae9]X'[/tex:c8ca4e9ae9] la composante connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] de [tex:c8ca4e9ae9]x[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]x'[/tex:c8ca4e9ae9] (clairement, ils sont dans la même...). Alors la notion de connexité par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] et celle de connexité par [tex:c8ca4e9ae9]X'[/tex:c8ca4e9ae9] coïncident.

Du coup, on pourra dorénavant supposer que [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] est connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9].

Petite propriété anecdotique :
- Si [tex:c8ca4e9ae9]x[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]x'[/tex:c8ca4e9ae9] ne peuvent être séparés par des voisinages disjoints, alors pour tout espace [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9] connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] et pour tous [tex:c8ca4e9ae9]z, z' \in Z[/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]z[/tex:c8ca4e9ae9] et [tex:c8ca4e9ae9]z'[/tex:c8ca4e9ae9] ne peuvent être séparés par des voisinages disjoints.


À présent, quelques questions :

* Existe-t-il un [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] tel que la notion de connexité coïncide avec celle de connexité par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] ?
Je conjecture qu'il n'existe pas de tel espace "universellement connexe", mais n'ai aucune idée de comment qu'on peut prouver ça.

* Quelqu'un aurait-il d'un exemple de [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] tel que pour tout [tex:c8ca4e9ae9]Z[/tex:c8ca4e9ae9], [tex:c8ca4e9ae9]\mathcal R_X^Z[/tex:c8ca4e9ae9] est une relation d'équivalence, et tel que [tex:c8ca4e9ae9]\{ 0 \} \times [-1, 1] \cup \{ (x, \sin (1/x)), x \in \mathbb R^* \}[/tex:c8ca4e9ae9] soit connexe par [tex:c8ca4e9ae9]X[/tex:c8ca4e9ae9] ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal


Dernière édition par Thibaut le 04 Mai 2008, 8:52; édité 6 fois
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Toumaf
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 3:09    Sujet du message: Répondre en citant

1) Supposons qu'il existe un espace [tex:2830a8fe0f](X,x,x')[/tex:2830a8fe0f] "universellement connexe". Alors [tex:2830a8fe0f]x[/tex:2830a8fe0f] et [tex:2830a8fe0f]x'[/tex:2830a8fe0f] sont dans la même composante connexe, sinon tout espace est connexe par X, en particulier des espaces non connexes.

2) On définit une famille d'espaces topologiques sur le modèle de la "longue demi-droite" en arbitrairement long : Soit [tex:2830a8fe0f]\beta[/tex:2830a8fe0f] un ordinal. On note [tex:2830a8fe0f]D(\beta)[/tex:2830a8fe0f] l'ensemble [tex:2830a8fe0f]\beta \times [0,1[[/tex:2830a8fe0f], muni de la topologie de l'ordre lexicographique. On remarque que [tex:2830a8fe0f]D(\beta)[/tex:2830a8fe0f] est connexe : pour le montrer, on regarde une partition en deux ouverts, puis ce qu'il se passe en l'inf de l'ouvert qui ne contient pas [tex:2830a8fe0f](0,0)[/tex:2830a8fe0f].

3) Soit [tex:2830a8fe0f]\lambda[/tex:2830a8fe0f] le cardinal de X. On note [tex:2830a8fe0f]\lambda^+[/tex:2830a8fe0f] son successeur en tant que cardinal, et [tex:2830a8fe0f]\lambda^++1[/tex:2830a8fe0f] le successeur de [tex:2830a8fe0f]\lambda^+[/tex:2830a8fe0f] en tant qu'ordinal, i.e. l'ordinal suivant le cardinal suivant [tex:2830a8fe0f]\lambda[/tex:2830a8fe0f] Very Happy.

4) Alors [tex:2830a8fe0f]D(\lambda^++1)[/tex:2830a8fe0f] n'est pas connexe par [tex:2830a8fe0f](X,x,x')[/tex:2830a8fe0f] : supposons qu'il existe une application continue [tex:2830a8fe0f]s : X \rightarrow D(\lambda^++1)[/tex:2830a8fe0f] telle que [tex:2830a8fe0f]s(x) = (0,0)[/tex:2830a8fe0f] et [tex:2830a8fe0f]s(x') = (\lambda^+,0)[/tex:2830a8fe0f].
Alors si [tex:2830a8fe0f]s[/tex:2830a8fe0f] évite une valeur [tex:2830a8fe0f](\alpha,t)[/tex:2830a8fe0f] avec [tex:2830a8fe0f]\alpha < \lambda^+[/tex:2830a8fe0f] et [tex:2830a8fe0f]0 \leq t < 1[/tex:2830a8fe0f], les ouverts [tex:2830a8fe0f]s^{-1}([(0,0),(\alpha,t)])[/tex:2830a8fe0f] et [tex:2830a8fe0f]s^{-1}([(\alpha,t),\infty[)[/tex:2830a8fe0f] partitionnent X, et contiennent respectivement (ou pas) [tex:2830a8fe0f]x[/tex:2830a8fe0f] et [tex:2830a8fe0f]x'[/tex:2830a8fe0f], ce qui contredit 1). Ainsi [tex:2830a8fe0f]s[/tex:2830a8fe0f] doit prendre toutes les valeurs de l'intervalle [tex:2830a8fe0f][(0,0),(\lambda^+,0)][/tex:2830a8fe0f], soit plus de [tex:2830a8fe0f]\lambda^+[/tex:2830a8fe0f] valeurs.

5) Contradiction : la multiplication des pains, ok, mais pas la multiplication des points, non mais oh !



Ci dessous, deux-trois remarques assez inutiles.
------------------------------------------------
En fait, on a l'équivalence entre les deux points suivants (tu n'affirmes qu'un sens)
1) La X-connexité équivaut à la Y-connexité.
2) X est connexe par Y et Y est connexe par X.
On doit même avoir équivalence implication par implication.

On peut peut-être alors chercher des représentants des classes d'équivalence d'espaces topologiques (doublement pointés) pour la relation X ~ Y.

ex : pour être dans la classe du segment [0,1], il faut et il suffit d'être connexe par arcs et qu'il existe une application de soi dans le segment qui envoie ses deux points respectivement sur 0 et 1.

Un exemple d'espace connexe par arcs non équivalent à [0,1] : le "segment à trois bouts", i.e. [0,1]x{0,1}/~, où ~ identifie (t,0) avec (t,1) pour tout t>0, avec pour deux points choisis (0,0) et (0,1). Aucun espace séparé avec au moins deux points n'est connexe par cet espace-là.

Plus généralement :
Soit X un espace topologique, et x, x' tels que tout voisinage de x rencontre tout voisinage de x'. Alors aucun espace topologique séparé n'est connexe par X. Donc X n'est pas "universellement connexe".
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Thibaut
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 9:01    Sujet du message: Répondre en citant

Toumaf a écrit:
5) Contradiction : la multiplication des pains, ok, mais pas la multiplication des points, non mais oh !
Mouarf...
J'avais un autre argument : si ça existait, ça se saurait ! Mais je préfère l'argument de cardinalité, j'avoue.
Sinon, existe-t-il (ou plutôt, pourquoi n'existe-t-il pas, parce que je conjecture que telle est la réponse) un espace connexe [tex:3bbdbeb382]X[/tex:3bbdbeb382] tel que tout espace [tex:3bbdbeb382]\mathrm T_1[/tex:3bbdbeb382], connexe et de cardinalité dénombrable soit connexe par [tex:3bbdbeb382]X[/tex:3bbdbeb382] ?

En fait, on a l'équivalence entre les deux points suivants (tu n'affirmes qu'un sens)
1) La X-connexité équivaut à la Y-connexité.
2) X est connexe par Y et Y est connexe par X.
On doit même avoir équivalence implication par implication.

C'est pas, à très peu de choses près, ce que je dis là ?
Thibaut a écrit:
- On a équivalence entre :
a) il existe un [tex:3bbdbeb382]X[/tex:3bbdbeb382]-chemin de [tex:3bbdbeb382]y[/tex:3bbdbeb382] à [tex:3bbdbeb382]y'[/tex:3bbdbeb382] dans [tex:3bbdbeb382]Y[/tex:3bbdbeb382],
b) pour tout espace [tex:3bbdbeb382]Z[/tex:3bbdbeb382], [tex:3bbdbeb382]\mathcal R_Y^Z \subseteq \mathcal R_X^Z[/tex:3bbdbeb382].


Toumaf a écrit:
Un exemple d'espace connexe par arcs non équivalent à [0,1] : le "segment à trois bouts", i.e. [0,1]x{0,1}/~, où ~ identifie (t,0) avec (t,1) pour tout t>0, avec pour deux points choisis (0,0) et (0,1). Aucun espace séparé avec au moins deux points n'est connexe par cet espace-là.

Un autre : [tex:3bbdbeb382][0, 1][/tex:3bbdbeb382] muni de la topologie cofinie.
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Toumaf
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 10:50    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
- Si [tex:bc944dd192]x[/tex:bc944dd192] et [tex:bc944dd192]x'[/tex:bc944dd192] sont dans la même composante connexe de [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192], alors tout espace connexe par [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] est connexe.
- Par contre, si [tex:bc944dd192]x[/tex:bc944dd192] et [tex:bc944dd192]x'[/tex:bc944dd192] ne sont pas dans la même composante connexe de [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192], alors tout espace est connexe par [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192].


Il faut remplacer les composantes connexes par les "quasi-composantes connexes" qui sont les intersections d'ouverts-fermés contenant un point, autrement dit l'ensemble des points [tex:bc944dd192]x'[/tex:bc944dd192] tels que toute application continue de [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] dans [tex:bc944dd192]\{0,1\}[/tex:bc944dd192] vérifie [tex:bc944dd192]f(x)=f(x')[/tex:bc944dd192]. Il faut faire le même remplacement dans mon post.
Et cela force à considérer les espace [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] non-connexes, qui ne sont pas tous inintéressants.


En effet, je n'avais pas vu que tu avais déjà écrit à peu de choses près ce que j'ai dit, et que ce que j'ai dit est faux.

Question : "être connexe" équivaut-il à "être connexe par [tex:bc944dd192](X,x,x')[/tex:bc944dd192] pour tout [tex:bc944dd192](X,x,x')[/tex:bc944dd192] tel que [tex:bc944dd192]x[/tex:bc944dd192] et [tex:bc944dd192]x'[/tex:bc944dd192] soient dans la même quasi-composante connexe" ? (le sens retour est assez simple.)

Pour ton exemple de [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] connexe tel que "être T_1, connexe, dénombrable" implique "être connexe par [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192]", il existe, d'après la construction suivante :
On considère la famille [tex:bc944dd192](T_i,x_i,x'_i)_{i\in I}[/tex:bc944dd192] de tous les espaces topologiques bipointés, T_1, connexes, dénombrable (c'est cette dernière hypothèse qui implique qu'on a bien une famille). On pose [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] le quotient de l'union disjointe de tous ces espaces par l'identification de tous les [tex:bc944dd192]x_i[/tex:bc944dd192] d'une part, et tous les [tex:bc944dd192]x'_i[/tex:bc944dd192] d'autre part. Je pense que ça répond à ta demande.

------------------------------------

Par ailleurs ne peut-on pas définir une notion de "connexité vers [tex:bc944dd192]Y[/tex:bc944dd192]" (Nom pourri, je sais) par :
1) [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] est connexe vers [tex:bc944dd192]Y[/tex:bc944dd192] ssi toute application continue [tex:bc944dd192]X \rightarrow Y[/tex:bc944dd192] est monovaluée.
ou bien
2) [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] est connexe vers [tex:bc944dd192](Y,y,y')[/tex:bc944dd192] ssi aucune application continue [tex:bc944dd192]X \rightarrow Y[/tex:bc944dd192] ne prend les deux valeurs [tex:bc944dd192]y[/tex:bc944dd192] et [tex:bc944dd192]y'[/tex:bc944dd192].
ou bien
3) [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] est connexe vers [tex:bc944dd192](Y,A)[/tex:bc944dd192] (avec [tex:bc944dd192]A\subset Y[/tex:bc944dd192]) si aucune application continue [tex:bc944dd192]f : X \rightarrow Y[/tex:bc944dd192] ne vérifie [tex:bc944dd192]A \subset f(X)[/tex:bc944dd192].
ou plus général :
4) [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] est connexe vers [tex:bc944dd192](Y,\{A_i,i\in I\})[/tex:bc944dd192] (avec [tex:bc944dd192](A_i)_{i\in I}[/tex:bc944dd192] une famille de parties de [tex:bc944dd192]Y[/tex:bc944dd192]) si [tex:bc944dd192]X[/tex:bc944dd192] est connexe vers [tex:bc944dd192](Y,A_i)[/tex:bc944dd192] pour tout [tex:bc944dd192]i\in I[/tex:bc944dd192] au sens de la définition 3).

Ces quatre définitions permettent de retrouver la connexité usuelle en prenant pa exemple :

1) Y discret
2) Y non-connexe, y,y' dans des quasi-composantes connexes distinctes.
3) [tex:bc944dd192]A={y,y'}[/tex:bc944dd192] dans le 2).
4) Y non-connexe et [tex:bc944dd192]\{A_i\}[/tex:bc944dd192] l'ensemble des paires de points de Y.


Dernière édition par Toumaf le 04 Mai 2008, 14:47; édité 1 fois
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Thibaut
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 12:04    Sujet du message: Répondre en citant

Toumaf a écrit:
Il faut remplacer les composantes connexes par les "quasi-composantes connexes" qui sont les intersections d'ouverts-fermés contenant un point, autrement dit l'ensemble des points [tex:ee6536d808]x'[/tex:ee6536d808] tels que toute application continue de [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] dans [tex:ee6536d808]\{0,1\}[/tex:ee6536d808] vérifie [tex:ee6536d808]f(x)=f(x')[/tex:ee6536d808]. Il faut faire le même remplacement dans mon post.
Ah oui, tiens, très juste, je suis allé un peu trop vite.

Citation:
Question : "être connexe" équivaut-il à "être connexe par [tex:ee6536d808](X, x, x')[/tex:ee6536d808] pour tout [tex:ee6536d808](X,x,x')[/tex:ee6536d808] tel que [tex:ee6536d808]x[/tex:ee6536d808] et [tex:ee6536d808]x'[/tex:ee6536d808] soient dans la même quasi-composante connexe" ? (le sens retour est assez simple.)

Euh, c'est clairement faux. Tu veux peut-être demander si "être connexe" équivaut à "être connexe par [tex:ee6536d808](X,x,x')[/tex:ee6536d808] pour au moins un [tex:ee6536d808](X, x, x')[/tex:ee6536d808] tel que [tex:ee6536d808]x[/tex:ee6536d808] et [tex:ee6536d808]x'[/tex:ee6536d808] soient dans la même quasi-composante connexe" ?

Citation:
Pour ton exemple de [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] connexe tel que "être T_1, connexe, dénombrable" implique "être connexe par [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808]", il existe, d'après la construction suivante :
On considère la famille [tex:ee6536d808](T_i,x_i,x'_i)_{i\in I}[/tex:ee6536d808] de tous les espaces topologiques bipointés, T_1, connexes, dénombrable (c'est cette dernière hypothèse qui implique qu'on a bien une famille). On pose [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] le quotient de l'union disjointe de tous ces espaces par l'identification de tous les [tex:ee6536d808]x_i[/tex:ee6536d808] d'une part, et tous les [tex:ee6536d808]x'_i[/tex:ee6536d808] d'autre part. Je pense que ça répond à ta demande.

Euh, dans ton espace, les deux points ne sont pas séparés par des ouverts disjoints (car dans ton union, tu auras certainement placé [tex:ee6536d808]\mathbb N[/tex:ee6536d808] muni de la topologie cofinie).
Pourtant, il existe des espaces dénombrables, connexes et séparés. Ils ne peuvent être connexes par le [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] que tu construis.

Citation:
Par ailleurs ne peut-on pas définir une notion de "connexité vers [tex:ee6536d808]Y[/tex:ee6536d808]" (Nom pourri, je sais) par :
1) [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] est connexe vers [tex:ee6536d808]Y[/tex:ee6536d808] ssi toute application continue [tex:ee6536d808]X \rightarrow Y[/tex:ee6536d808] est monovaluée.
ou bien
2) [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] est connexe vers [tex:ee6536d808](Y,y,y')[/tex:ee6536d808] ssi aucune application continue [tex:ee6536d808]X \rightarrow Y[/tex:ee6536d808] ne prend les deux valeurs [tex:ee6536d808]y[/tex:ee6536d808] et [tex:ee6536d808]y'[/tex:ee6536d808].
ou bien
3) [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] est connexe vers [tex:ee6536d808](Y,A)[/tex:ee6536d808] (avec [tex:ee6536d808]A\subset Y[/tex:ee6536d808]) si aucune application continue [tex:ee6536d808]f : X \rightarrow Y[/tex:ee6536d808] ne vérifie [tex:ee6536d808]A \subset f(X)[/tex:ee6536d808].
ou plus général :
4) [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] est connexe vers [tex:ee6536d808](Y,\{A_i,i\in I\})[/tex:ee6536d808] (avec [tex:ee6536d808](A_i)_{i\in I}[/tex:ee6536d808] une famille de parties de [tex:ee6536d808]Y[/tex:ee6536d808]) si [tex:ee6536d808]X[/tex:ee6536d808] est connexe vers [tex:ee6536d808](Y,A_i)[/tex:ee6536d808] pour tout [tex:ee6536d808]i\in I[/tex:ee6536d808] au sens de la définition 3).

Ces trois définitions permettent de retrouver la connexité usuelle en prenant par exemple :

1) Y discret
2) Y non-connexe, y,y' dans des quasi-composantes connexes distinctes.
3) [tex:ee6536d808]A={y,y'}[/tex:ee6536d808] dans le 2).
4) Y non-connexe et [tex:ee6536d808]\{A_i\}[/tex:ee6536d808] l'ensemble des paires de points de Y.
Tiens, je vais réfléchir à ça...
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 13:36    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:

Citation:
Question : "être connexe" équivaut-il à "être connexe par [tex:a46a29476c](X, x, x')[/tex:a46a29476c] pour tout [tex:a46a29476c](X,x,x')[/tex:a46a29476c] tel que [tex:a46a29476c]x[/tex:a46a29476c] et [tex:a46a29476c]x'[/tex:a46a29476c] soient dans la même quasi-composante connexe" ? (le sens retour est assez simple.)

Euh, c'est clairement faux. Tu veux peut-être demander si "être connexe" équivaut à "être connexe par [tex:a46a29476c](X,x,x')[/tex:a46a29476c] pour au moins un [tex:a46a29476c](X, x, x')[/tex:a46a29476c] tel que [tex:a46a29476c]x[/tex:a46a29476c] et [tex:a46a29476c]x'[/tex:a46a29476c] soient dans la même quasi-composante connexe" ?


Oui, j'ai en effet échangé des quantificateurs.

Thibaut a écrit:

Euh, dans ton espace, les deux points ne sont pas séparés par des ouverts disjoints (car dans ton union, tu auras certainement placé [tex:a46a29476c]\mathbb N[/tex:a46a29476c] muni de la topologie cofinie).
Pourtant, il existe des espaces dénombrables, connexes et séparés. Ils ne peuvent être connexes par le [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] que tu construis.


Oui, en fait j'ai fait à peu près le contraire de ce qu'on voulait.

Soit [tex:a46a29476c](T_i)_{i\in I}[/tex:a46a29476c] une famille d'espaces topologiques. On pose [tex:a46a29476c]J=\{ (i,t,t') | i\in I, t,t'\in T_i \}[/tex:a46a29476c], puis pour tout [tex:a46a29476c]j =(i,t,t') \in J[/tex:a46a29476c], on pose [tex:a46a29476c]U_j = T_i[/tex:a46a29476c], [tex:a46a29476c]u_j = t[/tex:a46a29476c], [tex:a46a29476c]u'_j=t'[/tex:a46a29476c]. (En gros je considère tous les espaces topologiques bipointés avec pour espace de base un des [tex:a46a29476c]T_i[/tex:a46a29476c]). Alors en posant [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] le produit des [tex:a46a29476c]U_j[/tex:a46a29476c], muni de la topologie produit, [tex:a46a29476c]x=(u_j)_{j\in J} \in X[/tex:a46a29476c] et [tex:a46a29476c]x'=(u'_j)_{j\in J} \in X[/tex:a46a29476c], les applications de projection donnent des [tex:a46a29476c](X,x,x')[/tex:a46a29476c]-chemins entre deux points quelconques d'un quelconque des [tex:a46a29476c]T_i[/tex:a46a29476c], donc tous les [tex:a46a29476c]T_i[/tex:a46a29476c] sont connexes par [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c].

Dans le cas où on prend pour [tex:a46a29476c](T_i)[/tex:a46a29476c] la famille de tous les espaces topologiques connexes de cardinal inférieur à [tex:a46a29476c]\lambda[/tex:a46a29476c], [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] est connexe en tant que produit de connexes. Ca doit donner un exemple pour ta famille à toi. (Et je ne vois pas pourquoi il y aurait besoin de [tex:a46a29476c]T_1[/tex:a46a29476c]-itude.)

Thibaut a écrit:

Citation:
Par ailleurs ne peut-on pas définir une notion de "connexité vers [tex:a46a29476c]Y[/tex:a46a29476c]" (Nom pourri, je sais) par : [...]
Tiens, je vais réfléchir à ça...


En fait ça s'approche de la question suivante : soient [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c], [tex:a46a29476c]Y[/tex:a46a29476c] deux espaces topologiques. On note [tex:a46a29476c]im(X\rightarrow Y) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))[/tex:a46a29476c] l'ensemble des images de [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] par des applications continues. A quoi ressemble [tex:a46a29476c]im(X\rightarrow Y)[/tex:a46a29476c] ?
Pour [tex:a46a29476c]Y[/tex:a46a29476c] discret, [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] est connexe si et seulement si [tex:a46a29476c]im(X\rightarrow Y) = \{ \{y\} | y\in Y \}[/tex:a46a29476c]. Plus généralement, l'ensemble des quasi-composantes connexes de [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] est de cardinal [tex:a46a29476c]\lambda[/tex:a46a29476c] si et seulement si [tex:a46a29476c]im(X\rightarrow Y) = \{ A \subset Y | A \neq \empty, card(A) \leq \lambda \}[/tex:a46a29476c] (à condition que [tex:a46a29476c]card(Y) > \lambda[/tex:a46a29476c].
Autre remarque : si [tex:a46a29476c]A \in im(X\rightarrow Y)[/tex:a46a29476c] n'est pas connexe, alors toute union non-vide de composantes connexes de [tex:a46a29476c]A[/tex:a46a29476c] est dans [tex:a46a29476c]im(X\rightarrow Y)[/tex:a46a29476c].

Existe-t-il un espace topologique [tex:a46a29476c]X[/tex:a46a29476c] tel que [tex:a46a29476c]im(X\rightarrow [0,1]) = \{ \{y\} | y\in [0,1] \}[/tex:a46a29476c] ?
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 13:55    Sujet du message: Répondre en citant

Ok, je préfère les produits que les sommes pour les espaces universellement connexes.

Toumaf a écrit:
Existe-t-il un espace topologique [tex:30bf101ada]X[/tex:30bf101ada] tel que [tex:30bf101ada]im(X\rightarrow [0,1]) = \{ \{y\} | y\in [0,1] \}[/tex:30bf101ada] ?

Oh oui, des tas.
Les singletons, évidemment.
L'espace de Sierpinski, aussi.
Plus généralement, les espaces tels qu'il n'existe pas deux points séparés par des ouverts disjoints, comme un ensemble infini muni de la topologie cofinie.
Les espaces ultraconnexes, ou hyperconnexes, encore.
Si tu veux des espaces séparés, prends les espaces connexes séparés dénombrables.
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MessagePosté le: 04 Mai 2008, 15:39    Sujet du message: Re: Connexe par X Répondre en citant

Thibaut, dans son premier message, un peu remanié par Toumaf, a écrit:
- Si [tex:23fd329d82]Y[/tex:23fd329d82] est connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]f : Y \to Y'[/tex:23fd329d82] continue et surjective, alors [tex:23fd329d82]Y'[/tex:23fd329d82] est connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82].
- Si [tex:23fd329d82]x[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]x'[/tex:23fd329d82] sont dans la même quasi-composante connexe de [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82], alors tout espace connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] est connexe.
- Par contre, si [tex:23fd329d82]x[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]x'[/tex:23fd329d82] ne sont pas dans la même quasi-composante connexe de [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82], alors tout espace est connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82].

[...]

Dorénavant, on ne considérera la connexité par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] que pour des espaces [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] qui sont quasi-connexes (i.e. tels ques [tex:23fd329d82]x[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]x'[/tex:23fd329d82] soient dans la même quasi-composante connexe), et tels que pour tout espace [tex:23fd329d82]Z[/tex:23fd329d82], [tex:23fd329d82]\mathcal R_X^Z[/tex:23fd329d82] est une relation d'équivalence.
Les classes d'équivalences de [tex:23fd329d82]R_X^Z[/tex:23fd329d82] sur [tex:23fd329d82]Z[/tex:23fd329d82] sont alors appelées composantes connexes par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] de [tex:23fd329d82]Z[/tex:23fd329d82],

On a alors :
- Si [tex:23fd329d82]Y[/tex:23fd329d82] est un espace, avec [tex:23fd329d82](Y_i)_{i \in I}[/tex:23fd329d82] est un recouvrement de [tex:23fd329d82]Y[/tex:23fd329d82] par des parties connexes par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] et d'intersection non vide, alors [tex:23fd329d82]Y[/tex:23fd329d82] est connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82].
- Si [tex:23fd329d82]Y[/tex:23fd329d82] est localement connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82], alors ses composantes connexes par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] sont ouvertes et fermées.
- Soit [tex:23fd329d82]X'[/tex:23fd329d82] la composante connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] de [tex:23fd329d82]x[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]x'[/tex:23fd329d82] (clairement, ils sont dans la même...). Alors la notion de connexité par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] et celle de connexité par [tex:23fd329d82]X'[/tex:23fd329d82] coïncident. FAUX

exemple : le sous-espace du "segment à trois bouts" donné par [tex:23fd329d82]X = \{0^+,0^-\}\cup\{\frac1n | n\in\mathbb{N}^*\}[/tex:23fd329d82], [tex:23fd329d82]x = 0^+[/tex:23fd329d82], [tex:23fd329d82]x' = 0^-[/tex:23fd329d82]. Deux points [tex:23fd329d82]y,y'[/tex:23fd329d82] d'un espace [tex:23fd329d82]Y[/tex:23fd329d82] sont dans la même composante connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] si et seulement si ils sont limites d'une même suite. Donc [tex:23fd329d82]X' = \{0^+,0^-\}[/tex:23fd329d82] est discret, et les notions de connexité par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]X'[/tex:23fd329d82] ne coïncident pas.

En revanche on a clairement "connexité par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82]" implique "connexité par [tex:23fd329d82]X'[/tex:23fd329d82]".

Thibaut a écrit:

À présent, quelques questions :

* Quelqu'un aurait-il d'un exemple de [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] tel que pour tout [tex:23fd329d82]Z[/tex:23fd329d82], [tex:23fd329d82]\mathcal R_X^Z[/tex:23fd329d82] est une relation d'équivalence, et tel que [tex:23fd329d82]\{ 0 \} \times [-1, 1] \cup \{ (x, \sin (1/x)), x \in \mathbb R^* \}[/tex:23fd329d82] soit connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] ?


Je généralise ta question en "étant donné un espace bi-pointé [tex:23fd329d82](X,x,x')[/tex:23fd329d82], existe-t-il [tex:23fd329d82](\tilde X,\tilde x, \tilde x')[/tex:23fd329d82] tel que pour tout [tex:23fd329d82]Z[/tex:23fd329d82], [tex:23fd329d82]R_{\tilde X}^Z[/tex:23fd329d82] soit la clôture transitive réflexive de [tex:23fd329d82]R_X^Z[/tex:23fd329d82] ?" (il suffit alors de prendre n'importe quel [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] tel que ton exemple soit connexe par [tex:23fd329d82]X[/tex:23fd329d82] pour conclure.)

Voici une construction qui, je crois, marche :

1) Clôture réflexive : [tex:23fd329d82]\tilde X = X \times X[/tex:23fd329d82] ; [tex:23fd329d82]\tilde x = (x,x')[/tex:23fd329d82] ; [tex:23fd329d82]\tilde {x'} = (x',x)[/tex:23fd329d82].
2) Clôture transitive : soient [tex:23fd329d82]Y_n = X \times \{1,\ldots,n\} /[/tex:23fd329d82]~, où [tex:23fd329d82](x',k)[/tex:23fd329d82]~[tex:23fd329d82](x,k+1)[/tex:23fd329d82] pour [tex:23fd329d82]1 \leq k \leq n-1[/tex:23fd329d82]. Soient [tex:23fd329d82]y_n = (x,1) \in Y_n[/tex:23fd329d82] et [tex:23fd329d82]y'_n = (x',n) \in Y_n[/tex:23fd329d82]. On prend pour [tex:23fd329d82]\tilde X[/tex:23fd329d82] le produit des [tex:23fd329d82]Y_n[/tex:23fd329d82], et [tex:23fd329d82]\tilde x = (y_n)[/tex:23fd329d82], [tex:23fd329d82]\tilde x' = (y'_n)[/tex:23fd329d82].

Il faut alors combiner les deux pour conclure. Mais je ne suis pas certain de ma construction.
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