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question géo diff

 
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Auteur Message
popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Déc 2006
Messages: 87

MessagePosté le: 07 Mai 2008, 15:47    Sujet du message: question géo diff Répondre en citant

Bonjour, cette question s'adresse à ceux qui s'y connaissent en géo diff ou géo- algébrique ce qui n'est pas DU TOUT mon cas.

Etant donnée une fonction lipshitzienne de R dans R, on sait d'après rademacher qu'elle est dérivable presque partout. Existe -t-il une version du lemme de sard ?

A savoir : D = { x | f'(x) =0} , a-t-on : mesure de lebesgue (f(D))=0.

Je ne souhaite pas de démonstration particulièrement mais je voudrais juste savoir si le résultat est vrai, car j'en ai besoin dans une preuve et je n'ai rien trouvé dans la littérature (que je connais mal dans le domaine).

Merci de me dépanner
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Beuh??? Jvois vraiment pas
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 07 Mai 2008, 17:45    Sujet du message: Re: question géo diff Répondre en citant

popolux a écrit:
Bonjour, cette question s'adresse à ceux qui s'y connaissent en géo diff ou géo- algébrique
Tu filtres un peu trop là, non ? Mr. Green
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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CP_Nicolarf
Tendance maths et délires inquiétante


Inscrit le: 16 Mai 2007
Messages: 126
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MessagePosté le: 07 Mai 2008, 18:54    Sujet du message: Re: question géo diff Répondre en citant

popolux a écrit:
lipshitzienne


Ce pauvre mathématicien voit toujours son nom défiguré... Very Happy Very Happy
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Abou
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 18 Oct 2007
Messages: 347
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MessagePosté le: 07 Mai 2008, 21:40    Sujet du message: Répondre en citant

Il avait qu'a en avoir un plus simple! =) (Gauss ou Cauchy, c'est mieux déjà! =o)
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henri
Taupin(e) ou équivalent


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Messages: 705
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MessagePosté le: 07 Mai 2008, 23:34    Sujet du message: Répondre en citant

bon, à part le fait que je ne vois pas trop le rapport avec la géométrie algébrique (...) j'émets des réserves quant à la validité d'un tel énoncé. Dans le théorème de Sard, on utilise vraiment la continuité de f' pour des histoires de majoration uniforme. Bref, ce n'est absolument pas suffisant pour trancher, mais j'ai pas trop envie de chercher de contre-exemple en fait...
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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popolux
Légère tendance aux maths et aux délires


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Messages: 87

MessagePosté le: 08 Mai 2008, 2:51    Sujet du message: Répondre en citant

Je crois avoir réussi à montrer que c'est vrai, sauf erreur de ma part:


Soit f lipsChitzienne de [a,b] dans [a,b] de constante de lipschitz K :

(f est dérivable p.p)


Soit [tex:44906e06ba]A=\{x|f'(x)=0\}[/tex:44906e06ba], soit [tex:44906e06ba]\epsilon >0[/tex:44906e06ba], la mesure de lebesgue est extérieurement régulière donc il existe [tex:44906e06ba]]a_i,b_i[[/tex:44906e06ba] tel que :

[tex:44906e06ba]A \subset \bigcup_{i=1}^{n} ]a_i,b_i[[/tex:44906e06ba] et [tex:44906e06ba]\lambda(A)+\epsilon \geq \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)[/tex:44906e06ba]
par le théorème de rademacher on a [tex:44906e06ba]\forall (x,y) \in R^2 \, : f(x)-f(y)=\int_{x}^{y}f'(s)ds=\int_{A^C \cap ]x,y[}f'(s) ds[/tex:44906e06ba]
Il vient :

[tex:44906e06ba] \sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)| \leq \sum_{i=1}^n |\int_{A^C \cap ]x_i,y_i[}f'(s)ds |[/tex:44906e06ba] [tex:44906e06ba]\leq K \lambda (A^C \cap \bigcup_{i=1}^n ]a_i,b_i[)\leq \epsilon[/tex:44906e06ba]

Soit [tex:44906e06ba] z \in f(A)[/tex:44906e06ba] alors z=f(a) avec [tex:44906e06ba]a \in A[/tex:44906e06ba] alors [tex:44906e06ba] a \in [a_i,b_i] [/tex:44906e06ba] (pour un certain i) et de même

[tex:44906e06ba]|f(a_i)-f(a)| \leq |\int_{A^C \cap [a_i,a]}f'(s)ds|\leq K \lambda(A^C\cap [a_i,a])[/tex:44906e06ba][tex:44906e06ba]\leq K\lambda(A^C \cap \bigcup_{i=1}^n]a_i,b_i[)\leq K \epsilon[/tex:44906e06ba]

On en conclut donc [tex:44906e06ba]f(A) \subset \bigcup_{i=1}^n (f(a_i),f(b_i)) + [-K \epsilon,K \epsilon][/tex:44906e06ba]
On a utilisé la notation [tex:44906e06ba]A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}[/tex:44906e06ba]

Il ne reste plus qu'à faire tendre epsilon vers 0.


Ps : la preuve est ptet fausse... Mais bon, le résultat peut être vrai quand même!
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popolux
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MessagePosté le: 08 Mai 2008, 2:56    Sujet du message: Répondre en citant

Je m'en suis rendu compte en postant c'est faux :


[tex:277003bccd]Q +[-\epsilon,\epsilon]=R[/tex:277003bccd] pourtant Q est de mesure nulle... L'argument de faire tendre epsilon vers 0 marche pas, je vais chercher encore
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popolux
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MessagePosté le: 08 Mai 2008, 10:01    Sujet du message: Répondre en citant

Finalement je crois avoir montré que c'est vrai :


On prend le meme recouvrement de A à epsilon près:
[tex:ff658e15e5]f(A) \subset \bigcup f([a_i,b_i])[/tex:ff658e15e5]

Or par le tvi: (l'image d'un segment par f lipschitz donc continue est un segment)

[tex:ff658e15e5]f([a_i,b_i])=[m_i,M_i][/tex:ff658e15e5] avec [tex:ff658e15e5]m_i = f(x_i)[/tex:ff658e15e5] et [tex:ff658e15e5]M_i=f(y_i)[/tex:ff658e15e5]

ainsi [tex:ff658e15e5]\lambda(f([a_i,b_i]))=(M_i-m_i)=\int_{[x_i,y_i] \setminus A}f'(s)ds[/tex:ff658e15e5]

Donc par sigma sous addivité on récupère : [tex:ff658e15e5]\lambda(f(A)) \leq \sum_{i=1}^n \lambda (f([a_i,b_i]))[/tex:ff658e15e5] [tex:ff658e15e5]\leq\sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(x_i)) \leq K \sum_{i=1}^n \lambda([x_i,y_i] \setminus A)[/tex:ff658e15e5]
Donc comme [tex:ff658e15e5][x_i,y_i] \subset [a_i,b_i][/tex:ff658e15e5] on a bien [tex:ff658e15e5]\lambda(f(A)) \leq \epsilon[/tex:ff658e15e5]
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 08 Mai 2008, 10:22    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, tout à l'heure tu disais que ton recouvrement de [tex:02f4dff2fb]A[/tex:02f4dff2fb] était fini... Je suppose qu'il est en fait dénombrable (va recouvrir [tex:02f4dff2fb]\mathbb Z[/tex:02f4dff2fb], pourtant nulle part dense et de mesure nulle, bref ridiculement petit, avec une union finie de segments...)
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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henri
Taupin(e) ou équivalent


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Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 08 Mai 2008, 23:28    Sujet du message: Répondre en citant

ça m'étonnait qu'on puisse démontrer si simplement le théorème de Sard, mais en fait ce n'est qu'un variante du cas facile de ce théorème vu que f va de R dans R, et n'est plus une fonction définie sur un ouvert de R^n dans R^m.
Donc mes doutes précédents n'ont plus lieu d'être...
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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popolux
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MessagePosté le: 08 Mai 2008, 23:50    Sujet du message: Répondre en citant

a thibaut : oui c'est dénombrable car les composantes connexes d'un ouvert sont dénombrables.

a henri: oui ça ne pouvait se généraliser que de R^n dans R^n, j'aurai moi même eu des doutes dans le cas général.

a moi meme:Je suis une Tafioooooole!

Par contre de R dans R c'est aussi vrai pour f dérivable je crois et c'est beaucoup plus dur.
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