Maths et Délires

[Tom]

Bonjour,
mon prof nous a donné une fort jolie démonstration de Cayley-Hamilton "valable dans n'importe quel anneau commutatif". Je me demandais comment définir un polynôme annulateur dans un anneau commutatif, vu que si je ne dis pas de bêtises, A[X] n'est pas forcément principal (et donc dans le morphisme d'anneau P -> P(f), le ker n'est plus un idéal principal, forcément).
Comment s'en sort-on ? Ou ai-je loupé une étape ?
Merci :)
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JJ never dies

[henri]

Ben y a aucune différence pour définir un polynôme annulateur, c'est juste un P tel que pour tout vecteur x, P(f)(x)=0. En revanche, l'ensemble des polynômes annulateurs de f n'est pas un idéal principal, donc pour définir un polynôme minimal...
Au passage, A[X] est principal ssi A est un corps (considère l'idéal engendré par a \in A non inversible et X)
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[Tom]

Oui je parlais du minimal bien sur ^_^
Donc en fait ce que dit Cayley dans ce cas là c'est juste que le pol caractéristique annule l'endo. Ouais, c'était pas si compliqué, je suis bête parfois :p

JJ > Tu sais que je viens de comprendre les notations m_i et c_j (exposants ds les sev propres du cours). c_j comme caractéristique, m_i comme minimal :p
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JJ never dies

[Jill-Jênn]

[jean]

Peut on avoir une idée de la démonstration qu'il vous a donnée?

[popolux]

il y a une démo marrante de cayley hamilton dans n'importe quel anneau commutatif sans aucun effort calculatoire:

-D'abord on le fait pour les matrice diagonales (dans C) (trivial)
-Ensuite on l'a pour les diagonalisables
-Ensuite par densité pour toutes les matrices complexes

On se place dans l'anneau commutatif des polynomes à n^2 indéterminées à coefficients entiers :
A la matrice de coefficient a(i,j) = x_(i,j) (l'indéterminée i,j)

Notons P polynome caractéristique de A (qui est un élément de A[X])
alors P(A) est une matrice dont tous les coefficients sont des polynomes à n^2 indéterminées : Q_(i,j)(x_(1,1),...,x_(n,n) .
Or d'après C-H dans le cas complexes , Q_(i,j) évalué en n'importe quel n^2 uplet de complexes est nul donc Q_(i,j) est nul (Sur un anneau infini on peut identifier fonction polynomiale et polynome,après on peut utiliser par exemple Z[X,Y] est isomorphe à (Z[X])[Y] et faire une récurrence descendante)
Donc P(A)=O
Si on est dans un anneau B commutatif quelconque et B = b_(i,j) une matrice quelconque :
On utilise le morphisme (on remplace 1 par 1_{B} et x_i,j par b_i,j) d'anneau existant entre
Z[X11,...,Xnn] et Z[b11,...,bnn] pour conclure.

En gros en le faisant sur C qui est suffisament gros on démontre certaines relations
purement algébriques indépendantes de la structure algébrique choisie et après on "évalue" ces relations pour un anneau commutatif quelconque par le biais d'un morphisme d'anneau.


Sinon on peut aussi démontrer la formule de la comatrice pour un anneau commutatif quelconque et l'appliquer de la même façon pour prouver C-H
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Beuh??? Jvois vraiment pas

[Tom]

Nous on l'a fait avec la formule de la comatrice (qui est clairement valable sur n'importe quel anneau commutatif si on ne divise pas par le det).

Ensuite tu considères [tex:c86833637d]M = {}^t A - T In[/tex:c86833637d] : tu appliques la formule de la comatrice à M.
d'où ( une matrice )[tex:c86833637d]*({}^t A - T In)[/tex:c86833637d] = [tex:c86833637d]\chi (T) In[/tex:c86833637d]
Tu évalues les n^2 expressions polynomiales (sur chaque coef) en A.
Cela te donne une égalité entre matrices de taille n^2.

Ensuite en notant (e_1,...,e_n) les colonnes canoniques, tu multiplies à droite par la colonne (e_1,...,e_n) : dans le terme de gauche, tu vois que (la matrice de droite)*(la mat colonne (e_1,...)) est nulle (on reconnait les colonnes de A) ; dans le terme de l'égalité à droite, tu as X(A)*I_n^2.
Tu conclus.
(Si tu veux bien voir, écris avec les coef mais j'ai pas trop de l'habitude de latex donc...).
La démo prend environ deux tiers de page.
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JJ never dies

[Jill-Jênn]

[Tom]

Tu as toujours écris petit...
Bon, disons une demi-page : on coupe la poire en deux.
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JJ never dies

[stephane-si]

c'est aussi valable dans les anneaux non commutatifs?

[henri]

y a aucun intérêt, parce que les polynômes sur des anneaux commutatifs, rien ne marche
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]

[Thibaut]

Si tu veux faire des polynômes sur un anneau pas commutatif, alors soit tu veux que l'indéterminée commute avec les scalaires et dans ce cas tu as des bugs avec l'évaluation, soit tu ne le demandes pas et dans ce cas tes polynômes ont une tête affreuse... Genre un monôme du second degré doit s'écrire [tex:5ca0386f42]a X a' X a''[/tex:5ca0386f42]...
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal