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Fermés universels

 
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 02 Aoû 2007, 14:53    Sujet du message: Fermés universels Répondre en citant

On se donne une classe [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317] d'espaces topologiques stable par passage au sous-espace (si [tex:4c9c3f1317](X,\mathcal T)[/tex:4c9c3f1317] est dans [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317], et [tex:4c9c3f1317]X' \subset X[/tex:4c9c3f1317], alors [tex:4c9c3f1317]X'[/tex:4c9c3f1317], muni de la topologie induite, est dans [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317]).

On cherche à caractériser la sous-classe [tex:4c9c3f1317]\mathcal F[/tex:4c9c3f1317] des espaces [tex:4c9c3f1317](X, \mathcal T)[/tex:4c9c3f1317] de [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317] tels que :
Pour tout espace topologique [tex:4c9c3f1317](Y, \mathcal T')[/tex:4c9c3f1317] de [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317], pour tout [tex:4c9c3f1317]X' \subset Y[/tex:4c9c3f1317], si [tex:4c9c3f1317]X[/tex:4c9c3f1317] homéomorphe à [tex:4c9c3f1317]X'[/tex:4c9c3f1317] (muni de la topologie induite), alors [tex:4c9c3f1317]X'[/tex:4c9c3f1317] est un fermé de [tex:4c9c3f1317](Y,\mathcal T')[/tex:4c9c3f1317].
Ces espaces seront appelés les fermés universels (ou absolus) de [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317].

Par exemple :
* [tex:4c9c3f1317]\emptyset[/tex:4c9c3f1317] est un fermé universel de toute classe [tex:4c9c3f1317]\mathcal C[/tex:4c9c3f1317] stable par passage au sous-espace.

* Si on considère la classe de tous les espaces topologiques, [tex:4c9c3f1317]\emptyset[/tex:4c9c3f1317] est l'unique fermé universel. En effet, soit [tex:4c9c3f1317](X,\mathcal F)[/tex:4c9c3f1317] fermé universel dont la topologie est donné par ses fermés.

Soit [tex:4c9c3f1317]Y[/tex:4c9c3f1317] l'ensemble [tex:4c9c3f1317]X[/tex:4c9c3f1317] auquel on a adjoint un nouvel élément [tex:4c9c3f1317]a[/tex:4c9c3f1317].
Soit [tex:4c9c3f1317]\mathcal F'= \{ F \cup \{ a \}, F \in \mathcal F \} \cup \{ \emptyset \}[/tex:4c9c3f1317]. Il s'agit d'une topologie sur [tex:4c9c3f1317]Y[/tex:4c9c3f1317] (donnée par ses fermés), qui induit la topologie [tex:4c9c3f1317]F[/tex:4c9c3f1317] sur [tex:4c9c3f1317]X[/tex:4c9c3f1317]. [tex:4c9c3f1317]X[/tex:4c9c3f1317] est un fermé de [tex:4c9c3f1317]Y[/tex:4c9c3f1317] ([tex:4c9c3f1317]X \in \mathcal F'[/tex:4c9c3f1317]) ne contenant pas [tex:4c9c3f1317]a[/tex:4c9c3f1317], donc il est vide.


* Les espaces compacts sont fermés universels dans la classe des espaces séparés.
En effet, chacun sait que si [tex:4c9c3f1317](Y,\mathcal T)[/tex:4c9c3f1317] est séparé, et que [tex:4c9c3f1317]X[/tex:4c9c3f1317] en est une partie compacte, alors [tex:4c9c3f1317]X[/tex:4c9c3f1317] y est fermé.
Question 1 : Sont-ce les seuls ?

Question 2 : Quels sont les fermés universels des espaces métrisables ?
(J'ai cru un instant que c'étaient les espaces complètement métrisables, mais en fait ils ne le sont pas tous...)

Question 3 : Quels sont les fermés universels des evt, auxquels on adjoint l'espace vide ?

Question 4 : Des evn (auxquels on adjoint l'espace vide) ?
J'ai tout comme l'impression que ce sont les espaces de Banach et l'espace vide...
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Thibaut
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MessagePosté le: 06 Aoû 2007, 19:10    Sujet du message: Re: Fermés universels Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Question 2 : Quels sont les fermés universels des espaces métrisables ?
(J'ai cru un instant que c'étaient les espaces complètement métrisables, mais en fait ils ne le sont pas tous...)

C'est facile de montrer que ce sont les espaces métrisables, que toute métrique rend complet. Mais ça ne me convient pas tellement, comme caractérisation. Je n'arrive même pas à voir s'il y en a qui ne soient pas compacts. Ni à savoir s'il en existe que l'on peut métriser avec une distance qui le rende non borné.
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xavier
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MessagePosté le: 06 Aoû 2007, 21:34    Sujet du message: Répondre en citant

Pour les espaces métrisables, je crois bien qu'il n'y a que les espaces compacts. En effet, soit X un espace métrisable universellement fermé et (x_n) une suite d'éléments de X. Je suppose que (x_n) n'admet pas de valeur d'adhérence, et je veux arriver à une contradiction. Je choisis un espace topologique (métrisable) Y et des fermés F_n de Y dont la réunion n'est pas fermée. (Prendre par exemple Y=R et F_n=[1/n, 1].) Je considère maintenant le sous-ensemble F de X*Y obtenu comme réunion des {x_n}*F_n.
J'affirme d'abord que F est fermé dans X*Y. Pour cela on considère une suite convergente d'éléments de F ; elle est de la forme (x_phi(n), y_n) où phi est une fonction (quelconque) N -> N et y_n un élément des F_phi(n). Comme la suite x_phi(n) doit converger et que l'on a supposé que (x_n) n'a pas de valeur d'adhérence, il suit que phi est bornée. Ainsi quitte à passer à une sous-suite, on peut supposer que phi est constante. Mais alors, les y_n sont tous dans le même X_phi(n) et donc leur limite est aussi dans X_phi(n). Bref, tout cela montre que F est fermé.
Maintenant, c'est facile de conclure : la projection de F sur Y n'est rien d'autre que la réunion des F_n qui par hypothèse n'est pas fermée. Ainsi X n'est pas universellement fermé.

--
Xavier, qui imagine que la même preuve s'adapte dans un cas beaucoup plus général (celui des espaces séparés) en remplaçant les suites par des (ultra)filtres.
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xavier
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MessagePosté le: 06 Aoû 2007, 21:35    Sujet du message: Répondre en citant

Ah et puis, tiens, au risque de me répéter, pour ce genre de questions, je te recommande vraiment le forum de l'ENS... tu auras assurément des réponses beaucoup plus rapides et beaucoup plus détaillées.
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xavier
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MessagePosté le: 07 Aoû 2007, 7:36    Sujet du message: Répondre en citant

xavier a écrit:
Xavier, qui imagine que la même preuve s'adapte dans un cas beaucoup plus général (celui des espaces séparés) en remplaçant les suites par des (ultra)filtres.

Bon, ce n'est pas exactement ce que j'avais en tête, mais j'ai au moins l'impression qu'il y a une solution courte à partir de la notion de compactifié de Stone-Cech pour les espaces de Tychonoff (on peut séparer deux fermés).
Si X est un tel espace, on dispose de son compactifié de Stone-Cech : je te renvoie à la page Wikipédia anglophone pour une définition précise, mais grosso modo, c'est un espace topologique compact bX muni d'une injection X -> bX pour laquelle X est dense. Cela fournit en particulier une injection X*bX -> bX*bX et comme bX est compact, donc séparé, la diagonale de bX est fermé dans bX*bX. Je note Delta son image réciproque dans X*bX, c'est un fermé. Maintenant la projection X*bX -> bX envoie évidemment Delta sur X. Ainsi si on suppose que X est universellement fermé, il suit que X est fermé dans bX. Comme X est dense, on a X=bX, et donc X compact.

Bon, j'avoue que je ne sais pas à quel point on peut affaiblir l'hypothèse de séparation (et que bon, ça m'intéresse pas plus que ça d'y réfléchir).
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xavier
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MessagePosté le: 08 Aoû 2007, 19:31    Sujet du message: Répondre en citant

Ah ben zut, j'ai pas répondu à la bonne question... pour moi, un fermé universel c'est un espace topologique X tel que pour tout espace topologique Y la deuxième projection X*Y -> Y est fermée (i.e. envoie un fermé sur un fermé).

Bon, cela dit, ce que je raconte répond quand même partiellement à tes questions : si X est un espace de Tychonoff, alors on peut toujours le plonger de façon dense dans un espace compact. Ainsi, si X est un fermé universel dans ton sens (pour la classe des espaces de Tychonoff), alors il est compact.
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Thibaut
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MessagePosté le: 08 Aoû 2007, 20:31    Sujet du message: Répondre en citant

Je vais voir ça avec papier et stylo...
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xavier
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MessagePosté le: 08 Aoû 2007, 20:55    Sujet du message: Répondre en citant

Pour tes questions 3 et 4 aussi, il me semble que les classes que tu considères ne sont pas stables par passage au sous-objet. Enfin, peut-être que si finalement, mais peu importe. Le plus important est que ta formulation n'est pas du tout claire (à vouloir ne prendre que les homéomorphismes et pas des trucs qui préservent les structures supplémentaires, j'ai l'impression que tu t'embrouilles). Par exemple, considères-tu que l'intervalle ouvert ]0,1[ est dans la classe des evn... parce que, de fait, il est bien homéomorphe à R. Si c'est le cas, alors R lui-même n'est pas un fermé universel dans ton sens, justement parce qu'il est homéomorphe à ]0,1[ qui lui-même n'est pas fermé dans R.
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Thibaut
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 7:52    Sujet du message: Répondre en citant

Bon, Ok pour la compactification de Stone-Cech des espaces de Tychonov. Juste une question : pourquoi tout compact est de Tychonov ?

Ensuite, ceci entraîne que, les fermés universels des espaces de Tychonov sont précisément les compacts.

Pour les questions relatives aux ev, oui, j'ai dit n'importe quoi. Et effectivement, ma formulation n'est pas du tout claire. On peut toujours considérer le problème tel que je l'ai posé (en complétant les classes par leur sous-objets, parce qu'en fait il ne manquait pas que l'espace vide, loin de là), mais je crois qu'on va encore tomber sur les espaces compacts, pour peu qu'on ait suffisamment de séparation dans les hypothèses.

Sinon, j'aimerais bien restreindre mes homéomorphismes à des isomorphismes pour des structures supplémentaires, mais j'avoue ne pas savoir formuler ça de manière générale...

Et, tiens, promis, à la rentrée, je poste tout ça sur le forum de l'Ens.
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xavier
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 8:56    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
pourquoi tout compact est de Tychonov ?

Pour séparer un point x d'un fermé F par exemple, tu sépares x de chaque point y de F. Cela te donne donc des ouverts U_y et V_y respectivement autour de x et de y. Les V_y recouvrent F qui est compact et donc il suffit d'un nombre fini d'entre eux pour réaliser le recouvrement. Tu prends finalement pour V la réunion de ces V_y et pour U l'intersection des U_y correspondants. Pour deux fermés, ça doit marcher pareil.
Par contre, j'ai l'impression que pour les sous-espaces d'espaces compacts, c'est plus délicat (j'ai lu quelque part que c'était vrai, il me semble). En tout cas, je ne vois pas l'argument là maintenant.

Thibaut a écrit:
Sinon, j'aimerais bien restreindre mes homéomorphismes à des isomorphismes pour des structures supplémentaires, mais j'avoue ne pas savoir formuler ça de manière générale...

Ca doit pouvoir de dire avec des catégories, mais je ne vois pas frachement l'intérêt de vouloir à tout prix faire une question générale pour la spécialiser ensuite, si manifestement, ça entraîne des complications inessentielles.
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Thibaut
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 10:12    Sujet du message: Répondre en citant

xavier a écrit:
Pour séparer un point x d'un fermé F par exemple, tu sépares x de chaque point y de F. Cela te donne donc des ouverts U_y et V_y respectivement autour de x et de y. Les V_y recouvrent F qui est compact et donc il suffit d'un nombre fini d'entre eux pour réaliser le recouvrement. Tu prends finalement pour V la réunion de ces V_y et pour U l'intersection des U_y correspondants.

Ca me permet une séparation par des ouverts, mais j'ai besoin d'une séparation fonctionnelle.
Citation:
Pour deux fermés, ça doit marcher pareil.
Oui, il suffit de recommencer.
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xavier
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 10:48    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Ca me permet une séparation par des ouverts, mais j'ai besoin d'une séparation fonctionnelle.

Alors, c'est le lemme d'Urysohn. J'avoue que je ne sais plus comment on le démontre à l'instant présent.
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Thibaut
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 13:08    Sujet du message: Répondre en citant

Oki, je me doutais qu'il fallait procéder par récurrence, pour les rationnels et compléter.
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 13:30    Sujet du message: Répondre en citant

Puisque tu as l'air d'avoir trouvé une preuve, c'est comment qu'on fait précisément alors ?
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Thibaut
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MessagePosté le: 09 Aoû 2007, 13:40    Sujet du message: Répondre en citant

Par ici.

Je ne l'ai pas encore regardée dans les détails, mais je vais essayer de faire fonctionner l'idée de base tout seul.
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popolux
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MessagePosté le: 23 Mai 2008, 14:03    Sujet du message: Re: Fermés universels Répondre en citant

Thibaut a écrit:

C'est facile de montrer que ce sont les espaces métrisables, que toute métrique rend complet. Mais ça ne me convient pas tellement, comme caractérisation. Je n'arrive même pas à voir s'il y en a qui ne soient pas compacts. Ni à savoir s'il en existe que l'on peut métriser avec une distance qui le rende non borné.


On peut en effet montrer que si un espace est complet pour toutes ses métriques,alors il est compact.
Ps:t a posé ta question sur le forum de l ens comme conseillé?si oui,que t ont il répondu?
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Beuh??? Jvois vraiment pas
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Thibaut
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MessagePosté le: 23 Mai 2008, 14:57    Sujet du message: Re: Fermés universels Répondre en citant

popolux a écrit:
On peut en effet montrer que si un espace est complet pour toutes ses métriques,alors il est compact.

Il faudrait rajouter l'hypothèse de métrisabilité, quand même...

Citation:
Ps:t a posé ta question sur le forum de l ens comme conseillé?si oui,que t ont il répondu?
Euh, je ne sais plus.
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