Maths et Délires

[Salque]

Le groupe des permutations de 4 éléments et le groupe des rotations du cube sont-ils isomorphes ? Ils en ont bien l'air, parce qu'ils ont tous les deux les mêmes nombres d'éléments de chaque ordre...
François Lo Jacomo a écrit, dans son livre, qu'ils n'étaient pas isomorphes parce qu'il existait 9 permutations d'ordre 2 mais seulement 3 rotations du cube d'ordre 2. Mais c'est faux : il a oublié les rotations autour des axes passant par les milieux des arêtes...

Au fait, de façon plus générale : si deux groupes ont le même nombre d'éléments de chaque ordre, sont-ils forcément isomorphes ? Si oui, comment le démontre-t-on (parce que si c'est vrai, c'est un très joli résultat !) ? Si non, quel est le contre-exemple ?
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[Salque]

Bon, voici une bijection entre les deux groupes qui est *censee* etre un isomorphisme... mais le probleme, c'est que je suis quasiment sur de m'etre plante quelque part ^^. Pouvez-vous me dire si mon isomorphisme marche ou pas ? Est-ce que deja, au moins, chaque permutation apparait une et une seule fois, et est-ce que chaque permutation est de meme ordre que la rotation a laquelle elle est censee correspondre ?
Je note F, B, U, D, R, L les faces du cube (Front, Back, Up, Down, Right, Left) ; pour noter une rotation, je note la permutation qu'elle effectue sur les faces sous forme de produit de permutations cycliques.

[Daniel]

[musichien]

(attention, je sais ce qu'est un groupe! ouéééé!! ) eeeuuh, c'est quoi un ordre?
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Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement)

[Salque]

[Salque]

Bon, apres quelques breves recherches sur Mathworld, j'ai trouve que le groupe des rotations d'un octaedre (donc d'un cube, c'est la meme chose) etait isomorphe au groupe des symetries du tetraedre, qui, lui, est trivialement isomorphe au groupe des permutations de 4 elements. La reponse a ma premiere question est donc "oui"... reste a en parler a Francois.
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[antony]

[Igor]

Effectivement, c'est faux dans le cas de G non abélien: le cardinal de ^G est égal au nombre de classes de conjugaison de G (qui est bien égal au cardinal de G dans le cas abélien).

*Edit: d'ailleurs ^G n'est pas l'ensemble des caractères de G, mais l'ensemble des caractères irréducibles de G*

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Pour la démo, cf ici. Elle n'y figure cependant pas explicitement:

On note R(G) le C ev des fonctions de classe (c-à-d les applications G-> C constantes sur une classe de conjugaison) sur G. On a directement dim R(G)= nombre de classe de conjugaison.

Le théorème 2.3.3 (page 18 ) montre que l'ensemble des caractères irréductibles forme une famille libre dans R(G), et la partie 3 du théorème 2.4.2 (page 21) montre que le cardinal de cet ensemble est égal au nombre de classe de conjugaison, d'où le résultat.
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[antony]

Je me disais bien que j'avais peut-être écrit une bêtise... Mais ce qui me gêne encore plus, c'est qu'après réflexion, c'est vraiment pas clair que ^G et ^H sont isomorphes (cf. la fin de mon post précédent). Bref, ça reste à voir...

[Salque]

Bon, j'ai vérifié mon isomorphisme sur l'ordinateur - j'y ai passé toute la matinée (c'est-à-dire toute la période entre mon réveil, vers midi, et mon déjeuner, qui ne va pas tarder ) ! Le temps de taper des lignes et des lignes de code, de les vérifier, de s'apercevoir qu'elles ne marchent pas, de comprendre pourquoi elles ne marche pas, de les corriger, de refaire le cycle deux ou trois fois par fonction (sachant qu'il y a une quinzaine de fonctions au total), de rentrer les données, de s'apercevoir que mon isomorphisme n'en est pas un (mais je m'y attendais... si l'ordinateur avait répondu #t, là, je me serais mis à chercher le bug dans mon programme ^^), de chercher où il foire, de s'apercevoir qu'il est faux à peu près partout, de passer cinq minutes à fixer l'écran et à déprimer, puis de construire peu à peu un isomorphisme qui marche en s'appuyant fortement sur l'aide de l'ordinateu... pfiou, c'est fatiguant tout ça !!!
Voici donc l'isomorphisme correct :

[antony]

En fait je vois que j'ai vraiment raconté n'importe quoi... Si G n'est pas abélien, le morphisme que je donne de G dans ^^G n'est pas injectif (puisque l'évaluation d'un caratère en n'importe quel commutateur est toujours 1).

Et puis zut... finalement, j'avais peut-être raison de croire que mon idée était foireuse... bon, je crois que j'ai plus envie de chercher un contre-exemple qu'une démo, maintenant

[Daniel]

Pour le contre-exemple, un programme fera l'affaire.. ;)
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Blib.

[antony]

Il semblerait que l'on peut prendre comme contre-exemple Z_2*Z_8 (produit cartésien) et le groupe modulaire <s,t|s^8=t^2=ts^5t^-1s^-1=1> (i.e. le groupe dont les éléments s'écrivent comme produits de s, t, s^-1, t^-1 et avec pour seules simplifications non triviales (i.e. à part tt^-1=ss^-1=1) celles indiquées après le |).

ordre 1 : 1 elt
ordre 2 : 3 elt
ordre 4 : 4 elt
ordre 8 : 8 elt

[AnalyX]

je dois dire quelque chose d'horrible mais le groupe des rotations du cube c'est en bloquant le cube et en faisant des rotations selon les axes ? Donc engendré par deux éléments et isomorphe au groupe symétrique de {1,..,4} ...

[abbesanchez]

Le groupe des déplacements du cube (= celui des rotations du cube si je me trompe pas) est isomorphe au groupe des permutations à 4 éléments. En fait, les déplacements du cube s'interprètent canoniquement comme permutation des (4) grandes diagonales!
Le groupes des isométries du cube est en particulier isomorphe à Z/2Z*S_4.

[Salque]

[antony]

Ah ben maintenant pour moi ça fait trop longtemps que j'ai plus fait de maths :) (même si on parle de fibrations en neurogéométrie de la vision, ce qui est quand même assez marrant (et très intéressant)...) Donc si tu as une nouvelle interprétation particulièrement éclairante des faits en questions je veux bien savoir...