Maths et Délires

[LaPiNou]

Je ne vois aucune erreur à priori mais ça m'étonne qu'on n'utilise même pas le fait que p soit premier ! Il n'y aurait pas un contre exemple ? En tout cas la démo me semble correcte. Très belle solution!

Pour la remarque de Thomas, effectivement Y(n+1) est congru à -Y(n), donc Y(n+2) est congru à Y(n) , il suffit de prendre les couples (X(2n), Y(2n))

[Thomas B]

et on peut effectivement en déduire une relation de récurrence sur les x(2n) et les y(2n), mais elle a l'air très moche donc ça n'a pas beaucoup d'intérêt.
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"Tout ce qui est hideux est négatif."
"L'éléphant est énorme, mais le mammouth est n+1-orme."

[un_passant]

jolie solution Noé ! Par contre j'arrive pas du tout à voir comment tu as trouvé les relations de récurrence. Tu peux expliquer ?

[LaPiNou]

[un_passant]

Salut,

pour la première formule c'est quand même moins mystérieux, en gros il a mis l'équation sous forme canonique (moi aussi j'avais fait un truc de ce genre).

Sinon LaPiNou, si un jour tu as des infos sur la provenance de l'exo et sur pourquoi p devait être premier congru à 3 mod 4...

[Noé]

En effet pour le début c'est simplement la forme canonique.
Par contre, pour les relations de récurrence, ce n'est pas du hasard. J'ai utilisé un truc qui a l'air de marcher souvent, même si jusqu'à maintenant je n'ai pas eu le courage d'essayer de prouver qu'il marchait à tous les coups . Donc en effet, c'est quand même du bidouillage .
Si [tex:15ab0917e1](X;Y)[/tex:15ab0917e1] est solution de l'équation [tex:15ab0917e1](p+2)X^2-(p+1)Y^2=p^2[/tex:15ab0917e1], alors on peut dire que quand [tex:15ab0917e1]X[/tex:15ab0917e1] et [tex:15ab0917e1]Y[/tex:15ab0917e1] deviennent grands, le rapport [tex:15ab0917e1]\frac {Y}{X}[/tex:15ab0917e1] tend vers [tex:15ab0917e1]\sqrt{\frac{p+2}{p+1}}[/tex:15ab0917e1].
Le développement en fractions continues de [tex:15ab0917e1]\sqrt{\frac{p+2}{p+1}}[/tex:15ab0917e1] est [tex:15ab0917e1][1,2p+2,2,2p+2,2...][/tex:15ab0917e1] (je rapelle qu'il est périodique pour toute racine d'une équation de degré 2 a coefficients rationnels). Donc je pose [tex:15ab0917e1]\frac {Y_n}{X_n}=[1,2p+2,2,...,2p+2,2][/tex:15ab0917e1] (avec n périodes), et là je recherche les relations de récurrence entre les [tex:15ab0917e1]X_{n+1}[/tex:15ab0917e1] et [tex:15ab0917e1]X_{n+1}[/tex:15ab0917e1] et les [tex:15ab0917e1]X_n[/tex:15ab0917e1] et [tex:15ab0917e1]Y_n[/tex:15ab0917e1], et j'obtiens celles que j'ai données. Ensuite, il suffit de prendre son courage à deux mains et de tout développer pour voir que miraculeusement, [tex:15ab0917e1](p+2)X_{n+1}^2-(p+1)Y_{n+1}^2=(p+2)X_n^2-(p+1)Y_n^2[/tex:15ab0917e1] (je vous l'avais dit, c'est du bidouillage) !

[LaPiNou]

[LaPiNou]

[un_passant]

Vas-y ! (j'espère qu'ils sont moins durs que celui-là..)

Noé : merci pour ton explication, c'est intéressant... un de ces jours j'essaierai de comprendre pourquoi ça marche.

[LaPiNou]

Bon, j'en poste deux, un facile et un moins facile :

[un_passant]

en effet le premier n'est pas trop dur. Je me penche sur le deuxième.

[un_passant]

(-5,-1) et (-5,1) ?

[LaPiNou]

ah benh non, ça marche pas !

[un_passant]

oups! pardon j'avais laissé traîné un 2 quelque part, du coup ça change tout... donc en fait : pas de solution. Do you agree ?

[un_passant]

attends attends je suis pas sûr en fait...

[un_passant]

Si finalement c'est bon.

[LaPiNou]

bah si y en a des solutions ! Mets ta démarche qu'on puisse voir où ça cloche.

[un_passant]

Bon. Alors déjà, si le système a exactement 3 solutions, c'est que la première équation en a exactement 2 (mettons x_1 et x_2) tandis que la deuxième équation a une solution dans un cas (quand on prend x_2) et deux dans l'autre (avec x_1).

Si (1) a deux solutions, elles s'écrivent x_1=a-sqrt(a^2+3a-1) et x_2=a+sqrt(a^2+3a-1).

Maintenant, vu que le discriminant de (2) est 4(b^2-x), il faut qu'on ait b^2-x_2=0 , ie :

a+sqrt(a^2+3a-1)=b^2

On s'aperçoit alors que a^2+3a-1 est un carré ssi a=-5 ou a=2. Mais dans les deux cas a+sqrt(a^2+3a-1) n'est pas un carré. Donc pas de solution.

(bon d'accord c'est mal rédigé, mais je vois pas où ça cloche)

[LaPiNou]

presque ça, sauf que les solutions de la première équation c'est :
[tex:68ff003c35]x_1=-a-\sqrt{a^2+3a-1}[/tex:68ff003c35] et [tex:68ff003c35]x_2=-a+\sqrt{a^2+3a-1}[/tex:68ff003c35] Tu as oublié le signe moins.

[un_passant]

ah oui... Bon ben (2,-1) et (2,1) alors. Merci en tout cas!