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Mon sac est dans mon sac.

 
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Auteur Message
LaPiNou
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 08 Juin 2009
Messages: 41

MessagePosté le: 17 Juin 2009, 14:16    Sujet du message: Mon sac est dans mon sac. Répondre en citant

Bonjour,

Je poste cette question ici parce que ça n'a rien à faire dans la section "mathématiques olympiques" :

Est-ce qu'un ensemble peut appartenir à lui même ?

Est-ce qu'on peut avoir des cycles du genre [tex:f7686dcf89]A\in B[/tex:f7686dcf89] [tex:f7686dcf89]B\in C[/tex:f7686dcf89] et [tex:f7686dcf89]C\in A[/tex:f7686dcf89] ?

ça me parait absurde au premier abord mais finalement il n'y a pas vraiment de raison pour que ce ne soit pas possible. si ?

Et si de tels ensembles existent, est-ce qu'ils sont utilisés "en pratique" ? Est-ce qu'il y a des structures construites à partir d'ensembles appartenant à eux-mêmes ?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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Messages: 6360
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MessagePosté le: 17 Juin 2009, 15:12    Sujet du message: Répondre en citant

Il me semble qu'en Caml, on peut créer un arbre binaire qui a pour sous-arbre gauche lui-même.
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 17 Juin 2009, 16:42    Sujet du message: Répondre en citant

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity : dans ZFC, un ensemble ne peut être un élément de lui-même, et il ne peut y avoir de "cycles".
Après en Caml (ou à peu près n'importe quel autre langage) c'est pas dur de créer une liste chaînée qui boucle sur elle-même hein...
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LaPiNou
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 08 Juin 2009
Messages: 41

MessagePosté le: 17 Juin 2009, 18:04    Sujet du message: Répondre en citant

D'accord, donc en fait l'existence de tels ensembles est interdite par l'axiome de régularité. Et en quoi cet axiome est-il utile ou nécessaire ?
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 17 Juin 2009, 18:53    Sujet du message: Répondre en citant

Wikipedia a écrit:
The axiom of regularity is arguably the least useful ingredient of Zermelo-Fraenkel set theory, since virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity (see Chapter III of [Kunen 1980]). However, it is used extensively in establishing results about well-ordering and the ordinals in general. In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.
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LaPiNou
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 08 Juin 2009
Messages: 41

MessagePosté le: 17 Juin 2009, 19:35    Sujet du message: Répondre en citant

Wikipedia a écrit:
The axiom of regularity is arguably the least useful ingredient of Zermelo-Fraenkel set theory, since virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity (see Chapter III of [Kunen 1980]). However, it is used extensively in establishing results about well-ordering and the ordinals in general. In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.

Ah ok, je n'avais pas fait attention pourtant j'avais lu l'article^^. merci
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super babouin
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 01 Juin 2006
Messages: 490
Localisation: Go back to where ye belong, ye demon from hell!

MessagePosté le: 18 Juin 2009, 1:03    Sujet du message: Re: Mon sac est dans mon sac. Répondre en citant

LaPiNou a écrit:
Bonjour,
Et si de tels ensembles existent, est-ce qu'ils sont utilisés "en pratique" ? Est-ce qu'il y a des structures construites à partir d'ensembles appartenant à eux-mêmes ?


Il me semble que de tels ensembles (appelés "atomes") sont utiles pour construire des modèles de théories bizarres (notamment vérifiant ZF privé de l'axiome de régularité et (insérez ici un axiome contredisant l'axiome du choix))
_________________
Alors Renvoyer p
Sinon gnature <- vrai
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