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Maximum d'une fonction à 3 variables

 
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Auteur Message
Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 03 Juin 2010, 18:59    Sujet du message: Maximum d'une fonction à 3 variables Répondre en citant

Salut,

Je n'ai pas vu la théorie autour des fonctiosn à 3 variables. Dans le cadre des TIPE (de Sup), je suis amené à déterminer le max sur [0, 1] de cette fonction

[tex:9b4a4dbbfa]f(x,y, z) = \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}[/tex:9b4a4dbbfa]

(pour les curieux, c'est lié aux intégrales de Beukers pour la démo de [tex:9b4a4dbbfa]\zeta(3)[/tex:9b4a4dbbfa])

Malheureusement, cette expression n'étant pas symétrique, ça va être difficile d'utiliser les inégalités classiques. Par ailleurs, j'ai pensé à une substitution trigonométrique , [tex:9b4a4dbbfa]x = \sin^2a, y = \sin^2b, z = \sin^2c[/tex:9b4a4dbbfa].

On est donc ramené à déterminer le max de

[tex:9b4a4dbbfa]f(a,b,c) = \frac{1}{12}\frac{\sin^2 2a \sin^2 2b \sin^2 2c}{1-(1-\sin^2 a\sin^2 b)\sin^2 c}[/tex:9b4a4dbbfa]

En fait, il vaut [tex:9b4a4dbbfa](\sqrt{2}-1)^4 = \tan^4 \frac{\pi}{8}[/tex:9b4a4dbbfa]

Avez-vous des idées ? J'ai bien des identités et inéqualities trigonométriques, mais dans l'hypothèse où [tex:9b4a4dbbfa]a+b+c = \pi[/tex:9b4a4dbbfa] ...
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antony
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MessagePosté le: 04 Juin 2010, 16:08    Sujet du message: Répondre en citant

d/dx=0, d/dy=0, d/dz=0 ? Very Happy
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


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Messages: 426

MessagePosté le: 04 Juin 2010, 16:47    Sujet du message: Répondre en citant

Comme je l'ai précisé, je n'ai pas vu la méthode de l'étude d'une fonction à 3 variables (seulement de 2 même si je sais que la méthode à 3 variables est similaire) et je n'ai pas envie de la voir ... J'ai envie de minimiser le plus possible le HP pour ce TIPE (je ne suis qu'en Sup, déjà que je fais déjà de HP avec les intégrales à 3 variables ...). J'aimerai faire ça de manière "olympique" ... Je pense qu'il y a moyen à l'aide de ces changements de variables ...
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Overlord
Être mi-geek mi-globzoule


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MessagePosté le: 04 Juin 2010, 16:52    Sujet du message: Répondre en citant

(Question bête, y a quoi de différent entre 2 et 3 ? En général pour beaucoup de choses, y a que quatre cas : 0, 1, n, et infty Very Happy)

De toutes façons, d/dx = 0 ne suffit pas, et ça va être dégueu à calculer jusqu'au bout Mr Red
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super babouin
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MessagePosté le: 04 Juin 2010, 22:44    Sujet du message: Répondre en citant

Overlord a écrit:
(Question bête, y a quoi de différent entre 2 et 3 ? En général pour beaucoup de choses, y a que quatre cas : 0, 1, n, et infty Very Happy):


Polynômes de degré n mumble mumble groupe symétrique d'odre n mumble mumble polyèdres réguliers... Very Happy
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Overlord
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MessagePosté le: 04 Juin 2010, 23:12    Sujet du message: Répondre en citant

(c'est pour ça que j'ai rajouté "en général" avant de poster Very Happy)
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antony
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MessagePosté le: 09 Juin 2010, 15:11    Sujet du message: Répondre en citant

Guillaume : C'est pas très compliqué à prouver, la généralisation...
Déjà on voit que f = 0 au bord du cube unité, sauf éventuellement en (0,0,1), mais en fait si aussi becoz 1-z < 1-(1-xy)z. Du coup c'est une fonction continue sur un compact qui admet donc bien un maximum dans le cube unité (euh ça se fait en sup ça ? enfin je crois que oui), maximum atteint dans l'intérieur du cube. Soit x0,y0,z0 les coordonnées (d'un) de ce(s) maximum(s). Alors en particulier les fonctions (dérivables) g: x -> f(x, y0, z0), h: y -> f(x, y0, z0) et i: z -> f(x0, y0, z) atteignent leurs maximums en x0, y0 et z0 respectivement, ce qui implique que (d/dx, d/dy, d/dz)f(x0, y0, z0)=0... Bonne chance pour la suite des calculs Very Happy
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 10 Juin 2010, 14:18    Sujet du message: Répondre en citant

C'est le TIPE pour Centrale, c'est ça ?

Mr Blue
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Toumaf
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MessagePosté le: 30 Juin 2010, 13:26    Sujet du message: Répondre en citant

La methode qu'Antony preconise marche (avec l'aide de n'importe quel logiciel de calcul formel (j'ai utilise Mathematica) )

Et on obtient apres moult calculs

x=y=Sqrt[2] - 1
z=1/Sqrt[2]

f(x,y,z) = 17 - 12 Sqrt[2] = (Sqrt[2] - 1)^4

comme annonce par Guillaume.

On regarde les expression de x,y,z droit dans les yeux, et on se rend compte que les ecrire [tex:509366782e]\sin^2[/tex:509366782e] est une mauvaise idee (a mon avis). Je crois en effet qu'il doit y avoir une approche trigo, mais je n'ai pas eu de bonne idee (quelques essais infructueux).[/tex]
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 14 Juil 2010, 17:57    Sujet du message: Répondre en citant

Oué pour le changement de variables, je n'ai abouti à rien, même si je suis convaincu que c'est possible Smile.

Finalement pour le TIPE j'ai juste mis "D'après Maple on a max = ..." Very Happy
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