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Espaces vectoriels topologiques et normes.

 
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Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 26 Juil 2008, 10:38    Sujet du message: Espaces vectoriels topologiques et normes. Répondre en citant

On considère [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] un [tex:594af4dbfb]\mathbb R[/tex:594af4dbfb]-ev, [tex:594af4dbfb]\mathcal T_v[/tex:594af4dbfb] l'ensemble des topologies qui en font un espace vectoriel topologique, et [tex:594af4dbfb]\mathcal T_n[/tex:594af4dbfb] le sous-ensemble des topologies normables.

1) Montrer que [tex:594af4dbfb]\mathcal T_v[/tex:594af4dbfb] ordonné par l'inclusion est un treillis complet, et expliciter ses bornes inf et bornes sup.
2) Montrer que [tex:594af4dbfb]\mathcal T_n[/tex:594af4dbfb] est une partie de [tex:594af4dbfb]\mathcal T_v[/tex:594af4dbfb] stable par bornes inf finies, mais pas par bornes inf quelconques (on suppose ici [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] de dimension infinie). Et quid des bornes sup ?

On pose [tex:594af4dbfb]{T_\inf} = \inf\limits_{T \in \mathcal T_n} T[/tex:594af4dbfb] et [tex:594af4dbfb]{T_\sup} = \sup\limits_{T \in \mathcal T_n} T[/tex:594af4dbfb], les bornes étant prises dans [tex:594af4dbfb]\mathcal T_v[/tex:594af4dbfb].
Ici, [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] est muni de [tex:594af4dbfb]T_\inf[/tex:594af4dbfb].

3) Montrer que les sev de dimension finie sont munis de la topologie des normes et sont fermés.
4) On suppose ici encore [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] de dimension infinie. Montrer qu'une partie de [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] est dense si et seulement si elle est de rang infini.
5) Montrer qu'un endomorphisme est continu si et seulement si son noyau est de dimension finie. Montrer que la seule forme linéaire continue est nulle.
6) Pour des espaces topologiques quelconques, on a les implications suivantes : [tex:594af4dbfb]\mathrm T_2 \Rightarrow \mathrm {KC} \Rightarrow \mathrm {UL} \Rightarrow \mathrm T_1[/tex:594af4dbfb], où [tex:594af4dbfb]\mathrm T_2[/tex:594af4dbfb] est la propriété de séparation par voisinage disjoints, [tex:594af4dbfb]\mathrm {KC}[/tex:594af4dbfb] désigne le fait que les compacts soient fermés, [tex:594af4dbfb]\mathrm {UL}[/tex:594af4dbfb] le fait que les suites convergentes aient une unique limite, et [tex:594af4dbfb]\mathrm T_1[/tex:594af4dbfb] désigne la propriété de fermeture des singletons.
Montrer que [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] vérifie [tex:594af4dbfb]\mathrm T_1[/tex:594af4dbfb] mais pas [tex:594af4dbfb]\mathrm {UL}[/tex:594af4dbfb].

A présent, [tex:594af4dbfb]E[/tex:594af4dbfb] est muni de [tex:594af4dbfb]T_\sup[/tex:594af4dbfb].
7) Montrer que les sev de dimension finie sont toujours munis de la topologie des normes et fermés.
8) Montrer que toutes les formes linéaires sont continues. Montrer que les endomorphismes injectifs sont encore continus. Et les autres ?
9) [tex:594af4dbfb]T_\sup[/tex:594af4dbfb] est-elle le plus grand élément de [tex:594af4dbfb]\mathrm T_v[/tex:594af4dbfb] ?
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MessagePosté le: 18 Avr 2011, 5:26    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour:

C'est mon premier message sur ce forum interessant
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