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Exo de TD

 
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Auteur Message
Igor
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 16 Sep 2005, 20:45    Sujet du message: Exo de TD Répondre en citant

Soient a1...an des réels strictement positifs qui vérifient a1>=...>=an et soient b1...bn des réels.
On sait que pour tout k entre 1 et n on a: a1+...+ak<=b1+...+bk.
Montrer que: a1^2+...+an^2 <= b1^2+...+bn^2.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 16 Sep 2005, 20:50    Sujet du message: Répondre en citant

Hawi c'est l'exo que tu as passé à Bao-Anh qui l'a passé à Robin qui me l'a passé Mr. Green
Même que c'est super long à démontrer Mr. Green
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
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MessagePosté le: 17 Sep 2005, 6:49    Sujet du message: Répondre en citant

T'es sûr que les b_i ne sont pas aussi décroissants?

Pierre, que Abel et Mégamath Al.36....
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
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MessagePosté le: 17 Sep 2005, 7:41    Sujet du message: Répondre en citant

le cas des bi décroissant est le cas "le plus dur" ie si c'est vrai pour c'est fini mais en fait, ça sert pas ni dans ma démonstration ni celle d'igor.
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moi!
Légère tendance aux maths


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Messages: 38
Localisation: heiiiin????

MessagePosté le: 17 Sep 2005, 8:32    Sujet du message: Répondre en citant

salut Very Happy

je pense que (bn) est decroissante aussi Shocked

on peut meme generaliser pour les exposants Laughing

apres, "abel summation" fera tres bien l'affaire

seif qui l'a deja vu quelques part.... Wink
_________________
[b][i]mathematics,mathematics,mathematics, that such mathematics?No,even more![/b][/i]-[u]Grigore Moisil[/u]
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 17 Sep 2005, 12:59    Sujet du message: Répondre en citant

Je répète : dans l'énoncé, la suite (bi) n'est avec aucune autre condition et la décroissance n'est que le cas le plus dur car on peut toujours ordonner la suite (bi) de manière décroissante et on se ramène alors au cas (bi) décroissant même si on s'en fout.
Quant à la généralisation, ça à l'air de marcher avec ma démonstration.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
Localisation: paris

MessagePosté le: 19 Sep 2005, 22:59    Sujet du message: Répondre en citant

Miquel a torché l'exo en mélangeant une multiplication non trouvable naturellement, un télescopage puis un Cauchy-Schwarz qui torche tout. Moi je dis sssssssssssprit tordu.
Les méthodes naturelles sur cet exo font appel à des méthodes itératives de type algorithme.
Si quelqu'un trouve une méthode qui torche encore plus vite, je dis bravo. Je remarquerais tout de même que malgré le fait qu'il faut prouver la bonne marche de l'algo la démonstration que j'ai est à peu près aussi longue que celle de Miquel (idem pour Igor, sans doute Esther Elbaz).
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thn
Matheux (se)


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Messages: 260

MessagePosté le: 20 Sep 2005, 6:55    Sujet du message: Répondre en citant

c'est ça l'art du dja vu... Very Happy

remarque elle l'avait deja fait l'an dernier, car raf m'en parlait de ce cauchy schwarz
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Igor
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 20 Sep 2005, 18:33    Sujet du message: Répondre en citant

Oué, voici l'idée de ma démo:

S'il existe k (entre 1 et n-1) tel que a_k<=b_{k+1} alors c'est bon.
S'il en existe un, on prend le k minimal, que l'on note k. Alors on fait un lissage en remplaçant b_k par a_k et b_{k+1} par b_{k+1}+b_k-a_k, ce qui garde les inégalités de départ et diminue la somme des (b_i)^2. Puis on recommence cette étape autant de fois que nécéssaire.
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 303

MessagePosté le: 20 Sep 2005, 20:35    Sujet du message: Répondre en citant

Igor a écrit:
Alors on fait un lissage


Je resterai dans l'Histoire.... Laughing
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


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Messages: 303

MessagePosté le: 21 Sep 2005, 18:27    Sujet du message: Répondre en citant

abbesanchez a écrit:
Miquel a torché l'exo en mélangeant une multiplication non trouvable naturellement, un télescopage puis un Cauchy-Schwarz qui torche tout.


Tu peux détailler?
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abbesanchez
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MessagePosté le: 22 Sep 2005, 7:36    Sujet du message: Répondre en citant

Elle multiplie chaque membre des inégalités avec la suite bi par (a_i-a_i+1) (en posant a_n+1=0). La suite est plus ou moins naturelle :
- elle somme tout
- elle échange les signes sommes
- calculs... (un télescopage au cas où un élève normal pense à multiplier)
- on aboutit au final à une majoration de la somme des a_i² par celle des a_i*b_i
- en faisant un Cauchy-Schwarz, elle conclut immédiatement.
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