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Ovi's log, volume III (Jan 2007)
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Overlord
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MessagePosté le: 03 Jan 2007, 11:32    Sujet du message: Ovi's log, volume III (Jan 2007) Répondre en citant

Elements Finis :

Modélisation Stochastique :

<loading data>
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Overlord
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MessagePosté le: 04 Jan 2007, 16:15    Sujet du message: Répondre en citant

Elements finis

[pas pu garder les questionnaires, de mémoire modulo fautes]

Q1. On considère un carré [0,2]x[0,2] divisé en quatre éléments carrés 1x1, numérotés :

Code:

7----8----9
|    |    |
| II | IV |
4----5----6
|    |    |
| I  | III|
1----2----3


où 1,...,9 sont les 9 noeuds

on considère le transfert de chaleur stationnaire sur ce carré, sur les côtés haut et droite la température est imposée à zéro, les deux autres côtés sont isolés (flux nul)

le coeff de diff thermique k est unitaire, le terme source f est unitaire.

a) Unités de k, f ?
b) Ecrire le problème fort et le problème faible
c) Donner les fonctions de formes bilinéaires tau_i des 4 noeuds sur l'élément I (le carré [0,1]x[0,1])
d) Donner les dérivées des tau_i en x et y sur l'élément I
e) Ecrire les matrices locales et terme de droite locaux de chaque élément
f) Déterminer les composantes à calculer afin de trouver la température aux noeuds inconnus (1, 2, 4, 5)
g) Assembler les matrices et vecteurs locaux afin d'obtenir le système discret
h) Résoudre le système discret afin d'obtenir la temp en 1, 2, 4, 5

Q2. On considère le problème : trouver u de 0,1 dans R tq
- (k(x)u'(x))' + u(x) = f
u'(0)=u'(1)=0
avec 0 < k_* <= k(x) <= k^* < infini forall x
k est continue
f est L^2

a) Ecrire le problème faible
b) C'est quoi un problème bien posé ? Celui-ci l'est-il ?
c) Montrer que la forme a bilinéaire associée au problème faible est continue, de constante de continuité sqrt(2) max(k*,1)
d) Montrer que la forme a est coercive, de constante de coercivité min(k*,1)
e) Sachant que pour v = interpolation et uh = solution éléments finis, on a ||u-v||_{H^1} <= Dh, montrer qu'il existe C constante tq ||u-uh||_{H^1} <= Ch
f) Pour une forme b linéaire, continuité si il existe c tq |b(u)| <= c ||u||, montrer qu'on peut déduire ça de la déf habituelle en eps delta
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antony
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MessagePosté le: 04 Jan 2007, 22:57    Sujet du message: Répondre en citant

2a. [tex:a0632994f4]u(x)-u(0)-\int_0^x\frac{\int_0^tu}{k(t)}dt=-\int_0^x\frac{\int_0^tf}{k(t)}dt[/tex:a0632994f4], c'est ça ?
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Emir Sabah al Sabah
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MessagePosté le: 05 Jan 2007, 0:02    Sujet du message: Répondre en citant

A mon avis Overlord répondrait comme beaucoup d'entre vous "Ce problème étant faible la solution est triviale".
Pas besoin donc, Antony, d'essayer de l'impressionner (même si ta petite taille explique certains de tes complexes d'infériorité). Comme tous les 6 mois, Overlord recopie les sujet de partiels de son grand frère... Idea
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Overlord
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MessagePosté le: 05 Jan 2007, 12:06    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
2a. [tex:e3b69d8cfb]u(x)-u(0)-\int_0^x\frac{\int_0^tu}{k(t)}dt=-\int_0^x\frac{\int_0^tf}{k(t)}dt[/tex:e3b69d8cfb], c'est ça ?


c'est quoi une formu faible pour toi en fait ?
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antony
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MessagePosté le: 05 Jan 2007, 13:32    Sujet du message: Répondre en citant

En fait je ne sais pas trop, je pypoëte un peu... Je crois juste (et encore...) qu'un e solution faible, c'est une "solution" d'une ED qui n'est pas suffisamment régulière pour être une vraie solution, mais bon quand même un peu (oui, je pypoëte Wink).
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Overlord
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MessagePosté le: 05 Jan 2007, 13:49    Sujet du message: Répondre en citant

Ben y a de ça...

cf par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finis#Cas_organique

typiquement au lieu de chercher des fonctions genre C^2, on cherche dans H^1 par exemple
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 05 Jan 2007, 14:32    Sujet du message: Répondre en citant

Tu aurais pu taper en LaTeX, maintenant que c'est possible... :)
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Overlord
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MessagePosté le: 06 Jan 2007, 20:44    Sujet du message: Répondre en citant

Modélisation Stochastique Evil or Very Mad

Evil or Very Mad Question 1 Evil or Very Mad

Un fan de tennis de table vous contacte à propos du match de demain entre son idole Jean-Michel Saive et le champion d'Europe Vladimir Samsonov. Il voudrait savoir s'il peut parier sur notre Jean-Mi national. Pour cela, il dispose de données statistiques sur le jeu des deux joueurs, données récoltées tout au long de leurs longues carrières respectives.
Le jeu de JM est, c'est bien connu, résolument offensif. Lorsque son adversaire smashe, JM répond par un smash la moitié du temps, se contente d'un coup de défense une fois sur cinq et rate son coup le reste du temps. Lorsque son concurrent joue un coup de défense, JM smashe quatre fois sur cinq, tente une balle courte dans 10% des cas, et rate son coup le reste du temps. Enfin, si son adversaire joue une balle courte, JM va répondre lui-même par une balle courte sept fois sur dix, va tenter un smash une fois sur cinq et va rater son coup le reste du temps.
Au contraire, Samsonov, le biélorusse, a un jeu plutôt défensif. Lorsque son adversaire joue un smash, Samsonov répond par un coup de défense dans la moitié des cas, renvoie une balle courte trois fois sur dix et rate son coup seulement une fois sur cinq. Si son adversaire joue un coup défensif, Samsonov ne smashe que dans 60% des cas et se contente d'une balle courte dans les autres cas. Enfin, lrosque son concurrent joue une blale courte, Samsonov renvoie une balle courte six fois sur dix, un coup défensif trois fois sur dix, et rate son coup le reste du temps.
Concernant le service, JM a compris, au fil de sa longue carrière, que les possibilités étaient assez limitées. Il sert toujours une balle courte et renvoie toujours une balle courte sur le service de son adversaire.

Evil or Very Mad a) Modélisez le jeu de JMS dans le match contre Vladimir Samsonov
Evil or Very Mad b) Afin de vérifier la vraisemblance de votre modèle, calculez la probabilité que JM gagne un point sur son service en un ou deux coups (service compris). Son fan pourra juger si ce chiffre lui paraît raisonnable.
Evil or Very Mad c) Calculez aussi l'espérance du nombre de coups de JM (service compris) par échange
Evil or Very Mad d) Le modèle étant mis au point, vous pouvez renseigner le fan sur les chances de victoire de JM. Quelle est l'espérance de la proportion des points gagnés par JM ?
Evil or Very Mad e) Enfin, sachant que le gagnant est le premier à atteindre 15 points avec deux points d'écart au moins, quelle est la probabilité que JM gagne sans prolongation (au pire 15-13) ?

Evil or Very Mad Question 2 Evil or Very Mad

Les deux processus de Markov a) et b) et les deux chaines de Markov c) et d) sont-ils réversibles ? Justifiez.

Evil or Very Mad a) Evil or Very Mad

Code:

   5      5      5      5
0 ---> 1 ---> 2 ---> 3 ---> ...
  <---   <---   <---   <---
   1      2      3      4

(impossible de LaTeXer il dit [unparseable or potentially dangerous latex formula])

Evil or Very Mad b) Evil or Very Mad

Code:

   1      2      3      4
0 ---> 1 ---> 2 ---> 3 ---> ...
  <---   <---   <---   <---
   5      5      5      5


Evil or Very Mad c) Evil or Very Mad

[tex:83d81d1c2e]P_{ij}=\left( \begin{array}{ccc}0.4 & 0.3 & 0.3 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right)[/tex:83d81d1c2e]

Evil or Very Mad d) Evil or Very Mad

[tex:83d81d1c2e]P_{ij}=\left( \begin{array}{ccc}0.4 & 0.2 & 0.4 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.6 & 0.3 & 0.1\end{array}\right)[/tex:83d81d1c2e]

Evil or Very Mad Question 3 Evil or Very Mad

Dans le bâtiment de l'administration communale d'Ottignies, un guichet a été aménagé pour recevoir les citoyens. Albert et Berthe sont attachés à ce service. Albert est chargé de répondre aux demandes des citoyens à ce guichet. Cependant, lorsqu'il termine de servir un citoyen et voit que personne n'attend d'être pris en charge, Albert part classer le ou les derniers dossiers traités, c'est-à-dire les dossiers relatifs aux citoyens qu'il a servi depuis son dernier classement, dans une autre pièce du bâtiment. De son côté, Berthe a un bureau à l'écart du guichet et est occupée par d'autres tâches lorsqu'Albert est au guichet. Par contre, lorsqu'Albert part classer les derniers dossiers, il place un petit panneau déviant les citoyens vers le bureau de Berthe, qui les prend alors en charge. Le cas échéant, elle fait patienter les citoyens sur quelques chaises prévues à cet effet dans son bureau. Lorsqu'Albert revient au guichet, il enlève le petit panneau et prend en charge les nouveaux citoyens qui arrivent.
La commune estime que les citoyens arrivent selon un processus de Poisson, à une moyenne d'un citoyen toutes les 25 minutes. Albert et Berthe traitent les demandes des citoyens en un temps distribué exponentiellement, avec une moyenne d'un quart d'heure. De plus, Albert estime qu'il prend 4 minutes pour classer un dossier.
Evil or Very Mad a) Donnez deux processus de renouvellement ayant lieu dans ce service communal
Evil or Very Mad b) Quelle est la proportion du temps que Berthe passe à répondre aux demandes des citoyens ? Notez que Berthe est consciencieuse. Si, à un moment donné, aucun citoyen ne doit être servi alors que c'est Berthe qui est en charge d'acceuillir les citoyens, Berthe travaille à ses autres tâches. De plus, Berthe attend le soir, une fois les bureaux fermés au public, pour classer les dossiers relatifs aux citoyens qu'elle a servis (ils sont nettement moins nombreux que pour Albert).

[Proportion par rapportà QUOI ??????]

Evil or Very Mad Evil or Very Mad Evil or Very Mad Evil or Very Mad Evil or Very Mad Evil or Very Mad Evil or Very Mad

Bheuuuuuurk.
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Emir Sabah al Sabah
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MessagePosté le: 07 Jan 2007, 12:39    Sujet du message: Répondre en citant

Cela te fait quoi d'avoir une vie totalement inintéressante et d'être mauvais dans ce que tu fais ? Confused
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Overlord
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MessagePosté le: 09 Jan 2007, 12:16    Sujet du message: Répondre en citant

Théorie des nombres

J'ai eu : Déterminer tous les p premiers tq x² = x - 2 (mod p) ait une solution. Combien y a-t-il de tels nombres p ?

Désolé, pas eu de question sur la partie courbes elliptiques...

D'autres questions qui sont sorties : déterminer tous les p premiers tq x² = x - 1 ait une solution dans Q_p (ensemble des nombres p-adiques), est-ce que x^2 = grosnombre mod grosnombre a une solution, etc.
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Dernière édition par Overlord le 09 Jan 2007, 13:52; édité 1 fois
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xavier
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MessagePosté le: 09 Jan 2007, 12:27    Sujet du message: Répondre en citant

Je ne comprends pas bien l'exercice que tu as eu. Il me semble que l'équation admet déjà deux solutions entières, à savoir -1 et 2. Donc elle en a dans tous les F_p, non ? A moins qu'une solution veuille dire une unique solution ?
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Overlord
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MessagePosté le: 09 Jan 2007, 13:53    Sujet du message: Répondre en citant

faute de frappe :-/ x² = x - 2 et pas +2
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antony
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MessagePosté le: 10 Jan 2007, 12:25    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, il y a une infinité de p qui conviennent, non ?...
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MessagePosté le: 10 Jan 2007, 13:47    Sujet du message: Répondre en citant

oui y en a une infinité...
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MessagePosté le: 10 Jan 2007, 16:23    Sujet du message: Répondre en citant

Y'a autre chose que du bidouillage de symboles de Legendre et le calcul de (-7/p) ?
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Overlord
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MessagePosté le: 10 Jan 2007, 17:34    Sujet du message: Répondre en citant

en l'occurrence, nan (du moins je l'espère Mr. Green)
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MessagePosté le: 11 Jan 2007, 10:41    Sujet du message: Répondre en citant

Topologie algébrique

Ai fait :

calcul de Hq(S^n ; R) (qe module d'homologie de la sphère)
parler de l'homologie des surfaces
parler de caract euler, de betti
parler du groupe fondamental des sphères (et évidemment j'ai sorti "pour S^0 c'est Z et pour les n >= 1 c'est 0" "t'es sûr ? pour zéro" "oui pour S^0 c'est Z" "c'est quoi S^0" "(1 seconde) ah non non non non S^1 bien sûr pas S^0")
parler des revêtements

le stress, ça rend encore plus con que d'hab... (oui y a moyen, c'est non borné)

bon, on en est à la moitié de faite donc. plus que 4.
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MessagePosté le: 13 Jan 2007, 21:21    Sujet du message: Répondre en citant

Modélisation et analyse de systèmes dynamiques

1. Funiculaire sur un plan incliné, d'angle [tex:941cdb9f22]\alpha[/tex:941cdb9f22] par rapport à l'horizontale, relié par un câble élastique de masse négligeable à un treuil actionné par un moteur.
m = masse du funi, T = tension dans le cable = [tex:941cdb9f22]\frac{k(y-z)}{z}[/tex:941cdb9f22], y = longueur du cable entre le funi et le treuil, k = module de Young, R = rayon poulie, z = variable auxiliaire telle que [tex:941cdb9f22]\frac{dz}{dt}=\omega R[/tex:941cdb9f22], [tex:941cdb9f22]\omega[/tex:941cdb9f22] = vitesse angulaire

a) Etablir un modèle d'état, la variable d'entrée est le couple appliqué par le moteur à la poulie
b) Trouver tous les équilibres, commenter
c) Trouver une transformation d'état qui met le système sous forme de Brunovski

2. Système [tex:941cdb9f22]\dot x_1 = - \phi(x_1) + \phi(x_2)[/tex:941cdb9f22] ; [tex:941cdb9f22]\dot x_2 = \phi(x_1) - 2\phi(x_2) + u[/tex:941cdb9f22], où [tex:941cdb9f22]\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex:941cdb9f22] bijective, [tex:941cdb9f22]\mathcal^{\infty}[/tex:941cdb9f22], strictement monotone croissante, [tex:941cdb9f22]\phi(0) = 0[/tex:941cdb9f22].

a) Transformer le système en les coordonnées [tex:941cdb9f22](z_1=x_1 ; z_2 = x_1 + x_2)[/tex:941cdb9f22]
b) Démontrer que le système est positif en [tex:941cdb9f22](z_1 ; z_2)[/tex:941cdb9f22]
c) Démontrer qu'il y a un équilibre hyperbolique unique dans l'orthant positif pour tout [tex:941cdb9f22]u = \bar u > 0[/tex:941cdb9f22], exprimer sous les coordonnées [tex:941cdb9f22](z_1 ; z_2)[/tex:941cdb9f22] et [tex:941cdb9f22](x_1 ; x_2)[/tex:941cdb9f22]
d) Dans les coord [tex:941cdb9f22](x_1 ; x_2)[/tex:941cdb9f22], montrer que l'équilibre est globalement asymptotiquement stable en utilisant la fonction de Lyapunov [tex:941cdb9f22]V(x_1,x_2) = \int_{\bar x_1}^{x_1} (\phi(s) - \bar u) ds + \int_{\bar x_2}^{x_2} (\phi(s) - \bar u) ds[/tex:941cdb9f22]

3. Système [tex:941cdb9f22]\dot x_1 = u_1 ; \dot x_2 = u_2 ; \dot x_3 = \alpha(x)u_1 + \beta(x)u_2[/tex:941cdb9f22] où [tex:941cdb9f22]\alpha,\beta : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/tex:941cdb9f22] dérivables.

a) Condition suffisante pour que le système soit complètement commandable ?
b) Exemple de [tex:941cdb9f22]\alpha(x), \beta(x)[/tex:941cdb9f22] tel que le système soit pas commandable ?
c) Exemple de [tex:941cdb9f22]\alpha(x), \beta(x)[/tex:941cdb9f22] tel que le système soit complètement commandable ?
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metalogik
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MessagePosté le: 14 Jan 2007, 19:32    Sujet du message: Répondre en citant

une question comme ça:

il aurait pas plutôt sa place dans "maths", ce topic ?
_________________
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Repos.
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