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DS commun I - Densité de Schnirelmann

 
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Auteur Message
Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 14 Jan 2007, 13:02    Sujet du message: DS commun I - Densité de Schnirelmann Répondre en citant

Notations

  • Étant donné [tex:ed294400cb]A \subset \mathbb{N}[/tex:ed294400cb], on pose pour tout [tex:ed294400cb]n \in \mathbb{N}^*[/tex:ed294400cb] :
    [tex:ed294400cb]S_n (A) = card (A \cap \{1, \ldots, n\})[/tex:ed294400cb]

  • La densité de Schnirelmann est alors définie par :
    [tex:ed294400cb]\sigma (A) = \inf\Big\{\frac{S_n (A)}n ; n \in \mathbb{N}^* \Big\}[/tex:ed294400cb]

  • Si [tex:ed294400cb]A[/tex:ed294400cb] et [tex:ed294400cb]B[/tex:ed294400cb] sont deux parties de [tex:ed294400cb]\mathbb{N}[/tex:ed294400cb], on pose
    [tex:ed294400cb]A + B = \{a + b, a \in A, b \in B\}[/tex:ed294400cb]


Partie I : Généralités et exemples

Ça, je vous l'épargne...

Partie II : Vers le théorème de Schnirelmann

Ça, non :) La 1.a) est difficile, les 1.b) et 2) sont triviales si on se sert pour chacune du résultat de la précédente... je n'ai fait que la 1.a), sautant les deux autres par souci de temps Rolling Eyes...


  1. Soient [tex:ed294400cb]A, B \subset \mathbb{N}[/tex:ed294400cb]. On suppose que [tex:ed294400cb]0 \in A[/tex:ed294400cb] et [tex:ed294400cb]0 \in B[/tex:ed294400cb].

    1. Montrer, en considérant
      [tex:ed294400cb]C = \{n - b, b \in \{0, 1, \ldots, n\} \cap B\}[/tex:ed294400cb]
      que pour tout [tex:ed294400cb]n \in \mathbb{N}^*[/tex:ed294400cb] :
      [tex:ed294400cb]S_n (A) + S_n (B) \geqslant n \Rightarrow n \in A + B[/tex:ed294400cb]

    2. Montrer que si [tex:ed294400cb]\sigma (A) + \sigma (B) \geqslant 1[/tex:ed294400cb], alors [tex:ed294400cb]A + B = \mathbb{N}[/tex:ed294400cb].

  2. Montrer que si [tex:ed294400cb]A \subset \mathbb{N}[/tex:ed294400cb], si [tex:ed294400cb]0 \in A[/tex:ed294400cb] et si [tex:ed294400cb]\sigma (A) \geqslant \frac12[/tex:ed294400cb], alors tout entier naturel est la somme de deux éléments de [tex:ed294400cb]A[/tex:ed294400cb].

_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya


Dernière édition par Jill-Jênn le 14 Jan 2007, 16:18; édité 1 fois
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Bija
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 65
Localisation: Lille

MessagePosté le: 14 Jan 2007, 15:53    Sujet du message: Répondre en citant

1a Si n n'appartient pas à A+B, C et A' sont disjoints (A' est l'intersection de A avec [0,n]).
Or card(C)=1+Sn(B), card(A')=1+Sn(A) donc
card(C union A')=card(C)+card(A')=2+Sn(A)+Sn(B)>n+1 : on obtient une contradiction car C et A' sont inclus dans {0,..,n}.

1b Supposons sigma(A) + sigma(B) >= 1, soit n in N*.
alors n <= n*(sigma(A)+sigma(B)) <= Sn(A) + Sn(B) donc n appartient à A+B.
De plus 0 appartient à A et B donc à A+B.
D'ou N=A+B.

2 0 appartient à A, sigma(A) + sigma(A) >= 1 donc d'après la question précédente N=A+A.
_________________
Les chances sur un million, ca se réalise 9 fois sur 10.
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 3271
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MessagePosté le: 25 Jan 2007, 23:55    Sujet du message: Répondre en citant

Sans l'indication, la 1)a) serait peut-être difficile, mais là, je ne vois vraiment pas où est le problème !
_________________
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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Messages: 6360
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MessagePosté le: 26 Jan 2007, 1:06    Sujet du message: Répondre en citant

Salque a écrit:
Sans l'indication, la 1)a) serait peut-être difficile, mais là, je ne vois vraiment pas où est le problème !
Maieuh Razz

--
Jill-Jênn, qui était tout content de l'avoir trouvée...
_________________
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