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Exos amusants du Putnam

 
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Auteur Message
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 05 Avr 2007, 21:35    Sujet du message: Exos amusants du Putnam Répondre en citant

1. Trouver un polynôme [tex:715a5f1b1b]P\in{\mathbf R}[X][/tex:715a5f1b1b] non nul tel que [tex:715a5f1b1b]P(E(a), E(2a))=0[/tex:715a5f1b1b] pour tout [tex:715a5f1b1b]a\in{\mathbf R}[/tex:715a5f1b1b] (où [tex:715a5f1b1b]E[/tex:715a5f1b1b] désigne la partie entière).

2 (Igor devrait aimer celui-là...). Pour [tex:715a5f1b1b]m,n>0[/tex:715a5f1b1b], on note [tex:715a5f1b1b]f(m,n)[/tex:715a5f1b1b] le nombre de [tex:715a5f1b1b]n[/tex:715a5f1b1b]-uplets [tex:715a5f1b1b](x_1,\ldots,x_n)[/tex:715a5f1b1b] tels que [tex:715a5f1b1b]|x_1|+\cdots+|x_n|\leq m[/tex:715a5f1b1b]. Montrer que [tex:715a5f1b1b]f(m,n)=f(n,m)[/tex:715a5f1b1b].

3. Soit [tex:715a5f1b1b]n>0[/tex:715a5f1b1b]. Montrer que le seul polynôme à [tex:715a5f1b1b]n[/tex:715a5f1b1b] variables, divisible [tex:715a5f1b1b]X_1^2+\cdots+X_n^2[/tex:715a5f1b1b] et de laplacien nul est le polynôme nul.

4. Montrer que pour tout [tex:715a5f1b1b]n>0[/tex:715a5f1b1b], [tex:715a5f1b1b]n!=\Pi_{i=1}^n\mbox{ppcm}(1,\ldots,E(n/i))[/tex:715a5f1b1b].
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PhilippeP
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 03 Avr 2007
Messages: 34

MessagePosté le: 05 Avr 2007, 23:27    Sujet du message: Re: Exos amusants du Putnam Répondre en citant

antony a écrit:
1. Trouver un polynôme [tex:b3f492f4c3]P\in{\mathbf R}[X,Y][/tex:b3f492f4c3] non nul tel que [tex:b3f492f4c3]P(E(a), E(2a))=0[/tex:b3f492f4c3] pour tout [tex:b3f492f4c3]a\in{\mathbf R}[/tex:b3f492f4c3] (où [tex:b3f492f4c3]E[/tex:b3f492f4c3] désigne la partie entière).

Bonjour,

Un truc bien facile (le moins intéressant des 4) pour une première prise de contact.

[tex:b3f492f4c3]4x^2-4xy+y^2-y+2x[/tex:b3f492f4c3] ie le polynôme
Citation:
(y-2x)(y-2x-1)
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Cerise
Admin gentil


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3323
Localisation: Rennes

MessagePosté le: 06 Avr 2007, 17:19    Sujet du message: Re: Exos amusants du Putnam Répondre en citant

PhilippeP a écrit:
Un truc bien facile (le moins intéressant des 4) pour une première prise de contact.

Ah, c'est pour ça que tu n'avais encore rien posté, tu cherchais une occasion... Maintenant, plus rien n'arrêtera ta conquête de ce forum Twisted Evil
_________________
Twisted Evil Victime vengeresse Twisted Evil

amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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PhilippeP
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 03 Avr 2007
Messages: 34

MessagePosté le: 06 Avr 2007, 22:32    Sujet du message: Re: Exos amusants du Putnam Répondre en citant

Cerise a écrit:
PhilippeP a écrit:
Un truc bien facile (le moins intéressant des 4) pour une première prise de contact.

Ah, c'est pour ça que tu n'avais encore rien posté, tu cherchais une occasion...

Bah, j'ai mis trois jours pour poster mon premier message ici contre 4 ans sur prepas.org ! C'est vrai que j'ai longuement hésité avant de m'inscrire et que je me cache (!) derrière un pseudo Laughing Qui dit que ça dépasse de partout ?

Citation:
Maintenant, plus rien n'arrêtera ta conquête de ce forum Twisted Evil

On verra ! Répondre aux PTBD de .org, ça prend du temps !
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