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Tribus

 
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 24 Avr 2007, 15:44    Sujet du message: Tribus Répondre en citant

Petit exercice pas si difficile pour commencer :

Soit [tex:94909cf442]X[/tex:94909cf442] un ensemble, [tex:94909cf442]\mathcal A[/tex:94909cf442] une tribu sur [tex:94909cf442]X[/tex:94909cf442].
Montrer que [tex:94909cf442]\mathit {card} \mathcal A \neq \aleph_0[/tex:94909cf442]


Deux questions que je me pose, auxquelles je n'ai pas encore réfléchi :
A-t-on nécessairement [tex:94909cf442]\mathit {card} \mathcal A = 2^\kappa[/tex:94909cf442] pour un certain cardinal [tex:94909cf442]\kappa[/tex:94909cf442] ?

A-t-on nécessairement une topologie [tex:94909cf442]\mathcal T[/tex:94909cf442] sur [tex:94909cf442]X[/tex:94909cf442] telle que [tex:94909cf442]\mathcal A[/tex:94909cf442] est sa tribu borelienne ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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Dernière édition par Thibaut le 24 Avr 2007, 23:36; édité 1 fois
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Cerise
Admin gentil


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MessagePosté le: 24 Avr 2007, 18:14    Sujet du message: Re: Tribus Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Soit [tex:17b74757e9]X[/tex:17b74757e9] un ensemble, [tex:17b74757e9]\mathcal A[/tex:17b74757e9] une tribu sur [tex:17b74757e9]X[/tex:17b74757e9].
Montrer que [tex:17b74757e9]\mathit {card} \mathcal A > \aleph_0[/tex:17b74757e9]

Euh... [tex:17b74757e9]\mathcal A[/tex:17b74757e9] une tribu infinie, non ?
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Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 24 Avr 2007, 22:20    Sujet du message: Répondre en citant

Tiens, les tribus, ça me dit quelque chose... Mr. Green
(;) à Cerise)
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Thibaut
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MessagePosté le: 24 Avr 2007, 23:37    Sujet du message: Re: Tribus Répondre en citant

Cerise a écrit:
Thibaut a écrit:
Soit [tex:fab3f62e3b]X[/tex:fab3f62e3b] un ensemble, [tex:fab3f62e3b]\mathcal A[/tex:fab3f62e3b] une tribu sur [tex:fab3f62e3b]X[/tex:fab3f62e3b].
Montrer que [tex:fab3f62e3b]\mathit {card} \mathcal A > \aleph_0[/tex:fab3f62e3b]

Euh... [tex:fab3f62e3b]\mathcal A[/tex:fab3f62e3b] une tribu infinie, non ?
Pas forcément ; on peut aussi remplacer le [tex:fab3f62e3b]>[/tex:fab3f62e3b] par un [tex:fab3f62e3b]\neq[/tex:fab3f62e3b].
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metalogik
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 1:13    Sujet du message: Répondre en citant

c des tribus de quel pays ?
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A VOS RANGS ! FIXE !

Repos.
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xavier
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 11:05    Sujet du message: Re: Tribus Répondre en citant

Thibaut a écrit:
A-t-on nécessairement [tex:553dedfbf1]\mathit {card} \mathcal A = 2^\kappa[/tex:553dedfbf1] pour un certain cardinal [tex:553dedfbf1]\kappa[/tex:553dedfbf1] ?

Je pense pas. Prends X un ensemble non dénombrable (infini), et pour tribu l'ensemble des parties de X dénombrables ou co-dénombrables (i.e. de complémentaire dénombrable). Le cardinal de cette tribu est, sauf erreur, celui de X. Donc tout cardinal non dénombrable est celui d'une tribu.
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Thibaut
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 13:39    Sujet du message: Répondre en citant

Vérifions ça :
Soit [tex:420b548c8a]\kappa>\aleph_0[/tex:420b548c8a] un cardinal.
Soit [tex:420b548c8a]\mathcal A = \{X \subset \kappa, \mathit{card} X\leq \aleph_0\} \cup \{X \subset \kappa, \mathit{card} (\kappa \setminus X)\leq \aleph_0\}[/tex:420b548c8a]
Clairement, [tex:420b548c8a]\mathit{card}\mathcal A \geq \kappa[/tex:420b548c8a] puisque [tex:420b548c8a]\kappa \rightarrow \mathcal A, \alpha \mapsto \{\alpha\}[/tex:420b548c8a] est une injection.
Puis [tex:420b548c8a]\mathit{card}\mathcal A = 2 \mathit {card} \{X \subset \kappa, \mathit{card} X\leq \aleph_0\} \leq 2 \mathit {card} ((\kappa+1)^\omega)[/tex:420b548c8a] car [tex:420b548c8a]\{X \subset \kappa, \mathit{card} X\leq \aleph_0\} \rightarrow (\kappa+1)^\omega, X \mapsto (\alpha_n)_{n<\omega}[/tex:420b548c8a] où [tex:420b548c8a](\alpha_n)_{n<\omega}[/tex:420b548c8a] est la suite strictement croissante des éléments de [tex:420b548c8a]X[/tex:420b548c8a] (si celui-ci est fini, prolonger par des [tex:420b548c8a]\kappa[/tex:420b548c8a] après épuisement de [tex:420b548c8a]X[/tex:420b548c8a]), est une injection.
Puis [tex:420b548c8a]\mathit{card}\mathcal A \leq \kappa^{\aleph_0}[/tex:420b548c8a]
Et là, je suis eu car si [tex:420b548c8a]\mathit {cf} (\kappa) = \aleph_0[/tex:420b548c8a] (typiquement, [tex:420b548c8a]\kappa = \aleph_\omega[/tex:420b548c8a]), il me semble que [tex:420b548c8a]\kappa^{\aleph_0}= \kappa^+[/tex:420b548c8a] (et c'est en tous cas vrai sous l'hypothèse du continu généralisée).

C'est ma majoration qui est trop brutale ?
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xavier
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 14:29    Sujet du message: Répondre en citant

Ah euh oui, tu dois avoir raison, zut.
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xavier
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 17:45    Sujet du message: Répondre en citant

Par contre, il me semble que si [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a] est un cardinal de cofinalité indénombrable (et infini) alors :
[tex:6cb9a6356a]\kappa^{\aleph_0} = \bigcup_{\kappa'<\kappa} {\kappa'}^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a]
Si j'applique cela en prenant pour [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a] le successeur de [tex:6cb9a6356a]2^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a] (en supposant qu'il est bien de cofinalité indénombrable), j'obtiens que le cardinal de [tex:6cb9a6356a]\kappa^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a] est majoré par [tex:6cb9a6356a]\kappa \times 2^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a] et donc qu'il est bien égal à [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a].
Bon, il ne reste plus qu'à voir que l'on peut s'arranger que pour ce [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a] soit bien de cofinalité indénombrable, sans pour autant être une puissance de 2. Mais si mes souvenirs sont bons sont bons, c'est tout à fait possible car on peut supposer simultanément [tex:6cb9a6356a]2^{\aleph_0} = \aleph_1[/tex:6cb9a6356a] et [tex:6cb9a6356a]2^{\aleph_1} > \aleph_2[/tex:6cb9a6356a]. (Bon, j'espère que je ne me trompe pas.)
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Thibaut
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 19:01    Sujet du message: Répondre en citant

xavier a écrit:
le successeur de [tex:9a497c0b67]2^{\aleph_0}[/tex:9a497c0b67] (en supposant qu'il est bien de cofinalité indénombrable)

Il me semble avoir montré au premier semestre que les cardinaux infinis succeseurs sont réguliers, ie leur propre cofinalité. Donc [tex:9a497c0b67]\mathit {cf} ((2^{\aleph_0})^+) =(2^{\aleph_0})^+>\aleph_0[/tex:9a497c0b67]

Citation:
Mais si mes souvenirs sont bons sont bons, c'est tout à fait possible car on peut supposer simultanément [tex:9a497c0b67]2^{\aleph_0} = \aleph_1[/tex:9a497c0b67] et [tex:9a497c0b67]2^{\aleph_1} > \aleph_2[/tex:9a497c0b67]. (Bon, j'espère que je ne me trompe pas.)
Moui... T'aurais pas une solution compatible avec l'hypothèse du continu généralisée, et sans cardinaux inaccessibles de préférence ?

Edit : tiens, il me semble avoir montré que pour [tex:9a497c0b67]\lambda[/tex:9a497c0b67] ordinal limite, [tex:9a497c0b67]\mathit {cf} (\aleph_\lambda) = \mathit {cf} (\lambda)[/tex:9a497c0b67]. En particulier, [tex:9a497c0b67]\mathit {cf} (\aleph_{\omega_1}) = \mathit {cf} (\omega_1) = \aleph_1 > \aleph_0[/tex:9a497c0b67]
Donc [tex:9a497c0b67]\kappa = \aleph_{\omega_1}[/tex:9a497c0b67] convient. En tous cas, j'en suis sûr dans le cadre de l'hypothèse du continu généralisée, et ton calcul, s'il marche bien dans le cadre général, le prouve dans le cadre général.
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xavier
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 20:55    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Il me semble avoir montré au premier semestre que les cardinaux infinis succeseurs sont réguliers, ie leur propre cofinalité. Donc [tex:732ad7ccb1]\mathit {cf} ((2^{\aleph_0})^+) =(2^{\aleph_0})^+>\aleph_0[/tex:732ad7ccb1]

Il me semblait aussi mais je n'étais plus sûr.

Thibaut a écrit:
Edit : tiens, il me semble avoir montré que pour [tex:732ad7ccb1]\lambda[/tex:732ad7ccb1] ordinal limite, [tex:732ad7ccb1]\mathit {cf} (\aleph_\lambda) = \mathit {cf} (\lambda)[/tex:732ad7ccb1]. En particulier, [tex:732ad7ccb1]\mathit {cf} (\aleph_{\omega_1}) = \mathit {cf} (\omega_1) = \aleph_1 > \aleph_0[/tex:732ad7ccb1]
Donc [tex:732ad7ccb1]\kappa = \aleph_{\omega_1}[/tex:732ad7ccb1] convient. En tous cas, j'en suis sûr dans le cadre de l'hypothèse du continu généralisée, et ton calcul, s'il marche bien dans le cadre général, le prouve dans le cadre général.

Oui, je ne crois pas avoir fait d'hypothèse particulière pour le calcul.
A part ça, je ne me rappelle plus bien pourquoi [tex:732ad7ccb1]\aleph_{\omega_1}[/tex:732ad7ccb1] ne peut pas être une puissance de 2... mais ça doit être à nouveau une question de cofinalité, c'est ça ? du genre [tex:732ad7ccb1]\text{cf}(2^\kappa) > \kappa[/tex:732ad7ccb1] ? Sauf que ça, ça ne dit pas que ça ne peut pas être [tex:732ad7ccb1]2^{\aleph_0}[/tex:732ad7ccb1].

--
Xavier, qui par ailleurs ne crois pas que la tendance est de donner de la crédibilité à l'hypothèse du continue généralisée...
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Thibaut
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MessagePosté le: 25 Avr 2007, 21:50    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
A part ça, je ne me rappelle plus bien pourquoi [tex:60dc6bf08b]\aleph_{\omega_1}[/tex:60dc6bf08b] ne peut pas être une puissance de 2...

Euh... J'ai oublié de vérifier ça...
Si c'est une puissance de 2, alors c'est nécessairement [tex:60dc6bf08b]2^{\aleph_0}[/tex:60dc6bf08b] pour la raison de cofinalité que tu as évoquée. Mais rien à ma connaissance (hormis l'hypothèse du continu généralisée) ne prouve que [tex:60dc6bf08b]2^{\aleph_0} \neq \aleph_{\omega_1}[/tex:60dc6bf08b]

Citation:
Xavier, qui par ailleurs ne crois pas que la tendance est de donner de la crédibilité à l'hypothèse du continue généralisée...
Certes, mais je ne sais faire des calculs d'exponentiation cardinale que dans ce cadre...
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xavier
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MessagePosté le: 26 Avr 2007, 7:48    Sujet du message: Répondre en citant

xavier a écrit:
Oui, je ne crois pas avoir fait d'hypothèse particulière pour le calcul.

Enfin, sauf que tous les [tex:0d1f4b3e0e]\kappa' < \kappa[/tex:0d1f4b3e0e] sont tels que [tex:0d1f4b3e0e]{\kappa'}^{\aleph_0} \leq \kappa[/tex:0d1f4b3e0e], et ça marche bien quand [tex:0d1f4b3e0e]\kappa[/tex:0d1f4b3e0e] est le successeur de [tex:0d1f4b3e0e]2^{\aleph_0}[/tex:0d1f4b3e0e] puisque [tex:0d1f4b3e0e](2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}[/tex:0d1f4b3e0e].
Je ne sais pas en fait si ça marche encore lorsque [tex:0d1f4b3e0e]\kappa = \aleph_{\omega_1}[/tex:0d1f4b3e0e] comme tu le suggères (même en supposant HCG).

Thibaut a écrit:
Certes, mais je ne sais faire des calculs d'exponentiation cardinale que dans ce cadre...

Là, pour le coup, justement, il me semble que c'est plus facile à conclure dans un autre cadre.
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Thibaut
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MessagePosté le: 26 Avr 2007, 8:56    Sujet du message: Répondre en citant

Formules d'exponentiation cardinale sous HCG :
[tex:da5221a565]\kappa^\lambda = \kappa[/tex:da5221a565] si [tex:da5221a565]\lambda<\mathit {cf} (\kappa)[/tex:da5221a565]
[tex:da5221a565]\kappa^\lambda = \kappa^+[/tex:da5221a565] si [tex:da5221a565]\mathit {cf} (\kappa)\leq \lambda \leq \kappa[/tex:da5221a565]
[tex:da5221a565]\kappa^\lambda = \lambda^+[/tex:da5221a565] si [tex:da5221a565]\lambda \geq \kappa[/tex:da5221a565]
Donc si [tex:da5221a565]\mathit {cf} (\kappa)>\aleph_0[/tex:da5221a565], [tex:da5221a565]\kappa^{\aleph_0}=\kappa[/tex:da5221a565]
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Thibaut
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MessagePosté le: 17 Mai 2007, 12:11    Sujet du message: Répondre en citant

Nouvelles questions :
Pour [tex:0ed7a3818a](X,\mathcal X), (Y, \mathcal Y)[/tex:0ed7a3818a] espaces mesurables et [tex:0ed7a3818a] F : \mathcal X \rightarrow \mathcal Y[/tex:0ed7a3818a], on dira que [tex:0ed7a3818a]F[/tex:0ed7a3818a] est un morphisme de tribus lorsque [tex:0ed7a3818a]F (\emptyset) = \emptyset[/tex:0ed7a3818a], [tex:0ed7a3818a]\forall A \in \mathcal E, F(X \setminus A) = Y \setminus F(A)[/tex:0ed7a3818a], et [tex:0ed7a3818a]\forall (A_n) \in \mathcal X^\mathbb N, F(\bigcup\limits_{n\in\mathbb N} A_n) = \bigcup\limits_{n\in\mathbb N} F(A_n)[/tex:0ed7a3818a].
On en déduit la notion d'isomorphisme de tribus, et de tribus isomorphes (au passage, on remarque qu'un morphisme de tribus est un isomorphisme dès qu'il est bijectif).

Classer les tribus finies à isomorphisme près n'est pas bien difficile, sachant que toute tribu est une algèbre de Boole, que toute algèbre de Boole finie est une tribu, et que toute algèbre de Boole finie est isomorphe à [tex:0ed7a3818a]\mathcal P(E)[/tex:0ed7a3818a] pour un [tex:0ed7a3818a]E[/tex:0ed7a3818a] fini.

Par contre, qu'en est-il tribus infinies ? Est-ce que toutes les tribus de même cardinalité sont isomorphes ?
Sinon, quand est-il de [tex:0ed7a3818a]\mathcal B(\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a], la tribu borelienne sur [tex:0ed7a3818a]\mathbb R[/tex:0ed7a3818a], [tex:0ed7a3818a]\mathcal B(\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb R))[/tex:0ed7a3818a], la tribu borelienne sur [tex:0ed7a3818a]C^0(\mathbb R, \mathbb R)[/tex:0ed7a3818a] muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, [tex:0ed7a3818a]\mathcal P(\mathbb N)[/tex:0ed7a3818a], et [tex:0ed7a3818a]\mathcal P_{\aleph_1} (\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a], l'ensemble des parties au plus dénombrables de [tex:0ed7a3818a]\mathbb R[/tex:0ed7a3818a] ? Et [tex:0ed7a3818a]\mathcal L(\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a] (la tribu de Lebesgue sur [tex:0ed7a3818a]\mathbb R[/tex:0ed7a3818a]) et [tex:0ed7a3818a]\mathcal P(\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a] ?
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