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Connexité vs. Connexité par arcs

 
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Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 5:37    Sujet du message: Connexité vs. Connexité par arcs Répondre en citant

Comme chacun le sait depuis sa plus tendre enfance, un espace connexe par arcs est connexe.

On a une sorte de réciproque : un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs (par exemple, les ouverts connexes d'espaces vectoriels topologiques localement convexes ; ils sont même connexes par arcs polygonaux, et en dimension finie, connexes par arcs [tex:3389b2b7b8]C^\infty[/tex:3389b2b7b8] lisses)

Cependant, il n'est pas difficile de trouver des espaces connexes non connexes par arcs.
Exemple : [tex:3389b2b7b8]\left\{\left(x, \sin(\frac 1 x)\right), x\in \mathbb R^*\right\} \cup \{0\} \times [-1; 1][/tex:3389b2b7b8].
On remarque qu'il n'est pas localement connexe.

Question : dans la définition de la connexité, la topologie de [tex:3389b2b7b8]\mathbb R[/tex:3389b2b7b8] n'intervient pas, alors qu'elle apparaît clairement dans la définition de la connexité par arcs. Alors pourquoi y a-t-il l'air d'avoir si peu de différences entre les deux notions ? Est-ce parce que je cherche seulement dans des espaces qui sont des parties d'evn ?

Comme différences, je cherche :
* Un espace connexe non réduit à un point dont les composantes connexes par arcs sont des singletons (ça existe ?)
* Un espace localement connexe, non localement connexe par arcs (ça aussi ?)

* Plus généralement, un espace connexe qui n'est "vraiment pas" connexe par arcs, le sens précis du "vraiment pas" étant laissé à l'appréciation de chacun.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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xavier
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 8:23    Sujet du message: Re: Connexité vs. Connexité par arcs Répondre en citant

Je pense que l'exemple usuel d'un espace séparé connexe dénombrable devra te convaincre. L'ensemble sous-jacent est Z et les ouverts sont engendrés par les suites arithmétiques dont la raison est non nulle et est première à l'un des termes. J'espère que je me rappelle bien, et je te laisse faire les vérifications nécessaires.

Je pense que ton problème est surtout que tu cherches des exemples parmi les espaces métriques, lesquels font aussi intervenir R dans leur définition.
Dans un autre registre, il y a aussi la longue ligne qui peut illustrer un autre problème de R. Je rappelle que la longue ligne c'est la mise bout à bout de [tex:2cae7b5af1]\aleph_1[/tex:2cae7b5af1] intervalles [0,1[. Cet espace par exemple est connexe, mais pas connexe par arcs (en gros, parce qu'il n'existe pas de suites indénombrables strictement croissantes de réels).

Par ailleurs, je trouve que l'utilisation de ce forum est un peu détourné. Par exemple, pour le genre de questions que tu poses, le conti sciences.maths dans le forum de l'ENS est beaucoup plus adapté.
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 10:12    Sujet du message: Re: Connexité vs. Connexité par arcs Répondre en citant

xavier a écrit:
Je pense que l'exemple usuel d'un espace séparé connexe dénombrable devra te convaincre. L'ensemble sous-jacent est Z et les ouverts sont engendrés par les suites arithmétiques dont la raison est non nulle et est première à l'un des termes. J'espère que je me rappelle bien, et je te laisse faire les vérifications nécessaires.

J'ai un souci avec la séparation : les seul ouvert de base contenant 0 est [tex:b0bcca329b]\mathbb Z[/tex:b0bcca329b] tout entier, donc tout voisinage de [tex:b0bcca329b]\{ 0 \}[/tex:b0bcca329b] est dense, ce qui est gênant pour un espace séparé.

Edit : Ah, par contre, la topologie induite sur [tex:b0bcca329b]\mathbb Z \setminus \{ 0 \}[/tex:b0bcca329b] m'a l'air séparée. En effet, si [tex:b0bcca329b]a, b\in\mathbb Z \setminus \{ 0 \}[/tex:b0bcca329b], on peut trouver [tex:b0bcca329b]\alpha \in \mathbb Z[/tex:b0bcca329b] premier avec [tex:b0bcca329b]a[/tex:b0bcca329b] et [tex:b0bcca329b]b[/tex:b0bcca329b] avec [tex:b0bcca329b]\alpha > \vert a-b \vert[/tex:b0bcca329b] et. Alors [tex:b0bcca329b]\alpha\mathbb Z+a[/tex:b0bcca329b] et [tex:b0bcca329b]\alpha \mathbb Z+b[/tex:b0bcca329b] sont deux ouverts disjoints, l'un contenant [tex:b0bcca329b]a[/tex:b0bcca329b] et l'autre contenant [tex:b0bcca329b]b[/tex:b0bcca329b]. Je vérifierai tout à l'heure la connexité et la non connexité par arcs, mais ça m'a l'air assez convaincant.

Euh, tiens, j'y songe, c'est un espace séparé, à base dénombrable d'ouverts, n'y a-t-il pas un théorème qui dit que c'est métrisable ? Quel métrique peut avoir ce bazar ?

Citation:
Je rappelle que la longue ligne c'est la mise bout à bout de [tex:b0bcca329b]\aleph_1[/tex:b0bcca329b] intervalles [0,1[. Cet espace par exemple est connexe, mais pas connexe par arcs (en gros, parce qu'il n'existe pas de suites indénombrables strictement croissantes de réels).

C'est pas connexe par arcs, ça ? Attends... Quel est le plus petit [tex:b0bcca329b]\alpha[/tex:b0bcca329b] tel que [tex:b0bcca329b](\alpha, 0)[/tex:b0bcca329b] n'est pas dans la composante connexe de [tex:b0bcca329b](0,0)[/tex:b0bcca329b] ?
Il est dénombrable, donc on a une bijection croissante de [tex:b0bcca329b]\alpha+1[/tex:b0bcca329b] vers une partie [tex:b0bcca329b]A[/tex:b0bcca329b] de [tex:b0bcca329b]\mathbb Q[/tex:b0bcca329b]. Mais alors l'intervalle [tex:b0bcca329b]\alpha \times [0; 1[ \cup \{(\alpha,0)\}[/tex:b0bcca329b] est en bijection croissante avec l'enveloppe convexe de [tex:b0bcca329b]A[/tex:b0bcca329b]. Cette bijection m'a fichtrement l'air d'un homéomorphisme, ce qui prouve que [tex:b0bcca329b](\alpha, 0)[/tex:b0bcca329b] est dans la composante connexe de [tex:b0bcca329b](0,0)[/tex:b0bcca329b]. Zut, encore un pépin... Ah, peut-être qu'avec [tex:b0bcca329b]\omega_1+1[/tex:b0bcca329b] au lieu de [tex:b0bcca329b]\omega_1[/tex:b0bcca329b] ? Le début de la deuxième composante connexe par arcs serait [tex:b0bcca329b](\omega_1, 0)[/tex:b0bcca329b] ?

Citation:
Par ailleurs, je trouve que l'utilisation de ce forum est un peu détourné. Par exemple, pour le genre de questions que tu poses, le conti sciences.maths dans le forum de l'ENS est beaucoup plus adapté.
Roooh... Tu penses que les seuls intéressés par ce genre de question sont parmi ceux qui ont accès au forum de l'Ens ?
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Dernière édition par Thibaut le 14 Mai 2007, 18:36; édité 1 fois
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musichien
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 11:17    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, quelqu'un m'avait vaguement expliqué, mais c'est quoi la connexité tout court?

Il me semble me souvenir que la connexité par arcs, c'est la connexité "normal" ( Very Happy ) c'est-à-dire la même que pour un graphe, mais que la connexité, j'avais pas bien pigé (il était roumain aussi Very Happy ).

Ou c'est peut-être l'inverse.
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Thibaut
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 11:22    Sujet du message: Répondre en citant

musichien a écrit:
(il était roumain aussi Very Happy ).
C'est Gabriel ?

Sinon, je ne sais pas ce que tu connais en topologie générale, mais la définition d'un espace topologique connexe, c'est un espace topologique dont les seuls ouverts-fermés sont l'ensemble vide et l'espace tout entier. De manière équivalente, c'est un espace que tu ne peux pas partitionner en un nombre fini >1 de fermés non vides, ou encore que tu ne peux pas partitionner en un nombre fini >1 d'ouverts non vides.
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musichien
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 11:39    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
C'est Gabriel ?

Euh, non, il s'appelle Daniel Moldovan, il était en échange avec la fac de mon frère (uniquement pour apprendre le français, comme vous vous en doutez Rolling Eyes ) et il fait partie des entraîneurs de l'équipe de roumanie pour les IMO. (la chance! Wink )

Je connais rien en topologie générale. Very Happy
Un ouvert, c'est un truc qui n'atteint pas sa frontière, alors qu'un fermé si ?

Mais euh, en fait, je vois pas trop ce que tu veux dire, parce-que j'imagine qu'un cube, c'est connexe, et pourtant on peut bien le partitionner par des frites alternativement ouvertes et fermées (pour qu'elles soient disjointes), non?

Sinon, 2ème tentative d'interprétation: c'est un truc où quand tu prends un "sous-ensemble" (j'imagine qu'on dit "sous-espace"?) il y a toujours des éléments autour, sauf pour l'ensemble tout entier forcément, et pour l'ensemble vide?
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Igor
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 14:10    Sujet du message: Répondre en citant

Très en gros, sans rentrer dans les détails, U est un ouvert si pour tout élément x de U, il existe une boule centrée en x qui reste incluse dans U [la boule peut éventuellement être très petite]. Par exemple, dans R, ]-1,1[ est ouvert, mais ]-1,1] n'est pas ouvert.

F est fermé ssi son complémentaire est ouvert. Il y a aussi une caractérisation séquentielle, qui est parfois plus pratique: F est fermé ssi toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F. Par exemple, [-1,1] est fermé, mais ]-1,1] n'est ni fermé, ni ouvert.

"Mais euh, en fait, je vois pas trop ce que tu veux dire, parce-que j'imagine qu'un cube, c'est connexe, et pourtant on peut bien le partitionner par des frites alternativement ouvertes et fermées (pour qu'elles soient disjointes), non? "

Il faut que les parties soient ou toutes ouvertes ou toutes fermées.
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musichien
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 14:25    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
Il faut que les parties soient ou toutes ouvertes ou toutes fermées.

Ah, euh, oui, c'est vrai que thibaut l'a mis de façon implicite. :)

Je crois avoir (à peu près) compris. Merci! Wink
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antony
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 14:58    Sujet du message: Répondre en citant

Il y a une autre définition, que je trouve un peu plus intuitive :
Un ensemble E est connexe si toute fonction continue de E dans {0,1} est constante.
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musichien
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 16:45    Sujet du message: Répondre en citant

Faut-il comprendre la connexité comme la continuité de la fonction dont l'espace est la représentation?

(comment pourrir une discussion... désolé thibaut Wink )
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Thibaut
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 16:49    Sujet du message: Répondre en citant

La fonction dont l'espace est la représentation ?
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antony
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 17:06    Sujet du message: Répondre en citant

Tu veux sans doute dire qu'un espace est connexe s'il est image d'un espace "sympa" (typiquement... connexe, et c'est bien là qu'est le problème de ta définition) par une fonction continue ?
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xavier
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 17:43    Sujet du message: Re: Connexité vs. Connexité par arcs Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Edit : Ah, par contre, la topologie induite sur [tex:adf79936ba]\mathbb Z \setminus \{ 0 \}[/tex:adf79936ba] m'a l'air séparée.

Voilà.

Thibaut a écrit:
Euh, tiens, j'y songe, c'est un espace séparé, à base dénombrable d'ouverts, n'y a-t-il pas un théorème qui dit que c'est métrisable ?

Tu dois oublier une hypothèse : un espace métrisable dénombrable ne peut pas être connexe (sauf s'il est réduit à un point, ou zéro selon les définitions). En effet, si x est un point fixé de l'espace, la fonction y -> d(x,y) est continue. Son image est donc à la fois dénombrable et connexe ; elle est ainsi nécessairement réduite à un point, et blablabla...

Thibaut a écrit:
Ah, peut-être qu'avec [tex:adf79936ba]\omega_1+1[/tex:adf79936ba] au lieu de [tex:adf79936ba]\omega_1[/tex:adf79936ba] ? Le début de la deuxième composante connexe par arcs serait [tex:adf79936ba](\omega_1, 0)[/tex:adf79936ba] ?

Voilà.

Thibaut a écrit:
Roooh... Tu penses que les seuls intéressés par ce genre de question sont parmi ceux qui ont accès au forum de l'Ens ?

Ben disons je pense déjà que ce serait mieux que les maths de ce forum soient plus orientées Maths Olympiques comme le titre le suggère, et soient accessibles à tous ceux qui sont motivés par les olympiades (ce qui, donc, ne comprend pas vraiment les questions de topologie générale). Surtout si vous avez envie d'attirer les nouveaux élèves qui préparent le OIM.
Par ailleurs, tu auras certainement beaucoup plus d'interlocuteurs sur le forum de l'ENS, ainsi que des réponses beaucoup plus détaillées...
Après, je n'ai pas non plus envie de faire la police. Si tu penses que c'est mieux de poster ici, fais-le... mais bon.


Dernière édition par xavier le 13 Mai 2007, 19:17; édité 1 fois
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Thibaut
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 18:54    Sujet du message: Re: Connexité vs. Connexité par arcs Répondre en citant

xavier a écrit:

Thibaut a écrit:
Euh, tiens, j'y songe, c'est un espace séparé, à base dénombrable d'ouverts, n'y a-t-il pas un théorème qui dit que c'est métrisable ?

Tu dois oublier une hypothèse
En effet, il faut qu'il soit non seulement séparé, mais aussi régulier...
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musichien
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MessagePosté le: 13 Mai 2007, 19:54    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
La fonction dont l'espace est la représentation ?

Euh, bin f(x;y)= z par exemple en 3D où les points (x;y;z) forment l'espace considéré.

Mais bon, pas la peine d'épiloguer, ça doit être faux ce que je dis, mais je pense avoir compris en gros vos définitions. Wink (merci!)
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xavier
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MessagePosté le: 14 Mai 2007, 8:29    Sujet du message: Répondre en citant

Pour en revenir à ma remarque sur le forum de l'ENS, je ne sais pas si tu le lis, mais il y a coïncidamment en ce moment-même une discussion sur la différence entre connexité et connexité par arcs... où tu pourras trouver plusieurs compléments de réponse à ta question.
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Mai 2007, 3:16    Sujet du message: Répondre en citant

Mouarf... En cherchant un peu sur le net, j'ai trouvé cet article, où ils présentent une topologie un poil plus grossière, évidemment connexe, mais qui reste séparée, et en plus localement connexe, ce que n'est pas la première.

Incroyables, ces bidouillages...
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