Maths et Délires
Des maths et des délires
 

Maths et Délires Index du Forum

 FAQFAQ   RechercherRechercher   Liste des MembresListe des Membres   Groupes d'utilisateursGroupes d'utilisateurs   S'enregistrerS'enregistrer 
 ProfilProfil   Se connecter pour vérifier ses messages privésSe connecter pour vérifier ses messages privés   ConnexionConnexion 

Compacité vs. Compacité séquentielle

 
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures
Voir le sujet précédent :: Voir le sujet suivant  
Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 15 Mai 2007, 2:06    Sujet du message: Compacité vs. Compacité séquentielle Répondre en citant

Tout taupin sait depuis sa plus tendre enfance qu'un espace métrique est compact (tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini, la séparation étant automatique) si et seulement si il est séquentiellement compact (toute suite admet une suite extraite convergente, la séparation étant toujours automatique).

Les deux sens de l'équivalence sont perdus si on ne suppose plus l'espace métrique.


J'ai un exemple d'espace séquentiellement compact mais pas compact : [tex:e29a5d7332]\omega_1 = [[0; \omega_1[[[/tex:e29a5d7332], muni de la topologie de l'ordre (les fermés sont les [tex:e29a5d7332]F \subset [[0; \omega_1[[[/tex:e29a5d7332] tels que [tex:e29a5d7332]\forall X \subset F, \inf X \in F \text { et } \sup X \in F[/tex:e29a5d7332] ; ici, la condition sur les bornes inf est vide, puisque la borne inf est en fait un plus petit élément...).

Il est séparé, en effet : si [tex:e29a5d7332]0 \leq \alpha < \beta < \omega_1[/tex:e29a5d7332], alors [tex:e29a5d7332][[0; \alpha+1[[[/tex:e29a5d7332] et [tex:e29a5d7332]]]\alpha; \omega_1[[[/tex:e29a5d7332] sont aussi ouverts que la disposition des crochets le suppose. On vérifie que leurs complémentaires, [tex:e29a5d7332][[\alpha+1; \omega_1[[[/tex:e29a5d7332] et [tex:e29a5d7332][[0; \alpha]][/tex:e29a5d7332] (oh, ce sont les mêmes dans l'autre sens !) sont fermés.

Il n'est pas compact, pas même de Lindelöf (tout recouvrement ouvert admet un sous recouvrement au plus dénombrable), car [tex:e29a5d7332]([[0; \alpha[[)_{ \alpha < \omega_1}[/tex:e29a5d7332] est un magnifique recouvrement ouvert de [tex:e29a5d7332][[0; \omega_1[[ [/tex:e29a5d7332], dont on va avoir du mal à extraire un sous-recouvrement au plus dénombrable, par cofinalité de [tex:e29a5d7332]\omega_1[/tex:e29a5d7332] (variante : il n'est pas compact car pas fermé dans [tex:e29a5d7332][[0; \omega_1]][/tex:e29a5d7332] également muni de la topologie de l'ordre, qui est tout aussi séparé).

Par contre, si [tex:e29a5d7332](\alpha_n)_{n \in \mathbb N} \in [[0; \omega_1[[^{\mathbb N}[/tex:e29a5d7332], alors on définit l'extractrice [tex:e29a5d7332]\varphi[/tex:e29a5d7332] par :
[tex:e29a5d7332]\varphi (0) = 0[/tex:e29a5d7332] et [tex:e29a5d7332]\forall n \in \mathbb N, \varphi(n+1)[/tex:e29a5d7332] est le plus petit entier tel que [tex:e29a5d7332]\alpha_{\varphi (n+1)}= \min\limits_{k>\varphi (n)} \alpha_k[/tex:e29a5d7332]. Alors la sous-suite [tex:e29a5d7332](\alpha_{\varphi (n)})_{n \in \mathbb N}[/tex:e29a5d7332] est croissante, donc converge vers sa borne sup (qui n'est pas [tex:e29a5d7332]\omega_1[/tex:e29a5d7332], toujours par cofinalité).

Quelqu'un aurait-il un contre-exemple à l'autre implication, ie un espace compact, non séquentiellement compact ? Je pense à des topologies faibles ou faibles-* sur des boules d'espaces de Banach, mais je crois qu'il n'y en a pas une seule pour laquelle je sais prouver que c'est le contre-exemple cherché.
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
PhilippeP
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 03 Avr 2007
Messages: 34

MessagePosté le: 30 Mai 2007, 22:46    Sujet du message: Re: Compacité vs. Compacité séquentielle Répondre en citant

Thibaut a écrit:
Tout taupin sait depuis sa plus tendre enfance qu'un espace métrique est compact (tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini, la séparation étant automatique) si et seulement si il est séquentiellement compact (toute suite admet une suite extraite convergente, la séparation étant toujours automatique).

Les deux sens de l'équivalence sont perdus si on ne suppose plus l'espace métrique.

Quelqu'un aurait-il un contre-exemple à l'autre implication, ie un espace compact, non séquentiellement compact ?

Ce n'est pas une réponse, mais ...

Dans un espace compact, une suite quelconque admet toujours une valeur d'adhérence, c'est à dire un point a tel que tout voisinage de a rencontre la suite pour une infinité d'indices. Il suffit de voir que dans un espace compact, l'intersection d'une suite décroissante de parties fermées non vides est non vide et que les valeurs d'adhérence d'une suite est l'intersection des adhérences des ensembles {x_k, k>=n} ...

Mais ce n'est pas toujours équivalent à l'existence d'une suite extraite convergente. Il y a équivalence quand tout point admet une base dénombrable de voisinages ...
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
watahou
Être humain normal


Inscrit le: 05 Juin 2007
Messages: 3

MessagePosté le: 05 Juin 2007, 22:36    Sujet du message: Répondre en citant

BAT,

>> Les deux sens de l'équivalence sont perdus si on ne suppose plus l'espace métrique.

En fait la condition, c'est "métrisable" mais c'est pas bien grave.

>> espace compact, non séquentiellement compact ?

Faut donc un bazèrrre non métrisable. L'exemple standard est [tex:570322ad32][0 .. 1]^{[0 .. 1]}[/tex:570322ad32], qui est compact (Tychonoff mod Axiome du choix Wink) mais, coup de chance ici, pas séquentiellement compact (contre-exemple très "cantorien", je te laisse chercher Laughing).

A+
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 05 Juin 2007, 23:34    Sujet du message: Répondre en citant

Qu'est ce que [0..1] ?
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 06 Juin 2007, 0:08    Sujet du message: Répondre en citant

Bah, ça doit être le segment [tex:16df6fd32a][0, 1][/tex:16df6fd32a].
Ok, il est compact.
Pour la non-compacité-séquentielle, je vais prendre [tex:16df6fd32a][-1,1]^{[-\pi,\pi]}[/tex:16df6fd32a] qui lui est homéomorphe.
Posons, pour [tex:16df6fd32a]n \in \mathbb N, f_n : [-\pi,\pi]\rightarrow[-1,1], x\mapsto \cos(nx)[/tex:16df6fd32a].
J'ai envie que [tex:16df6fd32a](f_n)[/tex:16df6fd32a] n'ait pas de sous-suite convergente... Euh... J'y crois très fort, mais je ne sais pas si ça va suffir.

Ah, idée : si une sous-suite converge, elle converge aussi dans [tex:16df6fd32a](L^2([-\pi,\pi]),\Vert . \Vert_2)[/tex:16df6fd32a] par convergence dominée.
Or [tex:16df6fd32a](f_n)[/tex:16df6fd32a] y est une famille orthonormée (quitte à bidouiller la norme avec une constante multiplicative), donc n'a pas de sous-suite qui y converge. Gagné.

Par contre, je ne vois pas l'allusion à Cantor... Tu pensais à un autre contre-exemple ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé Envoyer l'e-mail
watahou
Être humain normal


Inscrit le: 05 Juin 2007
Messages: 3

MessagePosté le: 07 Juin 2007, 21:51    Sujet du message: Répondre en citant

BAT,

[tex:f3edbc9213]f_n(x) = n^{ième}[/tex:f3edbc9213] décimale de x si je me souviens bien.
Revenir en haut
Voir le profil de l'utilisateur Envoyer un message privé
Montrer les messages depuis:   
Poster un nouveau sujet   Répondre au sujet    Maths et Délires Index du Forum -> Mathématiques taupinales et supérieures Toutes les heures sont au format GMT + 2 Heures
Page 1 sur 1

 
Sauter vers:  
Vous ne pouvez pas poster de nouveaux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas voter dans les sondages de ce forum


Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Traduction par : phpBB-fr.com