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ENS Lyon

 
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Auteur Message
Igor
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 19 Mai 2007, 16:44    Sujet du message: ENS Lyon Répondre en citant

Extrait du rapport du Jury 2006:
Toujours dans l’esprit de tester la compréhension intuitive des notions du programme, nous avons aussi posé parfois des questions ouvertes, exemple : y a-t-il une matrice complexe inversible semblable à son carré et différente de l’identité ? Les résultats ont été plutôt décevants…

Igor, que les examinateurs de l'ENS Lyon sont malicieux...
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henri
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 22 Oct 2005
Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 19 Mai 2007, 17:52    Sujet du message: Répondre en citant

il doit falloir regarder du coté des valeurs propres de la matrice : déjà, elle est de déterminant 1, et son spectre est stable par passage au carré.
De deux choses l'une, comme le spectre est fini et que [tex:0feb2e7eb1]\lambda \in SpM \Longrightarrow \lambda^2 \in SpM [/tex:0feb2e7eb1], les valeurs propres sont racines p-ièmes de l'unité avec p puissance de 2 (car [tex:0feb2e7eb1]det M \neq 0[/tex:0feb2e7eb1] aussi). Ensuite, si [tex:0feb2e7eb1]\lambda = e^{\frac{2 \imath k \pi}{2^n}} \in SpM[/tex:0feb2e7eb1], le spectre étant aussi stable par passage à la "racine carrée" (en effet, il s'écrit [tex:0feb2e7eb1]\{\lambda_0,\ldots,\lambda_m\}[/tex:0feb2e7eb1] mais aussi [tex:0feb2e7eb1]\{\lambda_0^2,\ldots,\lambda_m^2\}[/tex:0feb2e7eb1]) donc [tex:0feb2e7eb1]\forall j \in \mathbb{Z} \quad \lambda_j = e^{\frac{2 \imath k \pi}{2^{n+j}}} \in SpM[/tex:0feb2e7eb1], ce qui devrait être suffisant pour conclure si [tex:0feb2e7eb1]k \neq 0[/tex:0feb2e7eb1].
_________________
Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 19 Mai 2007, 20:21    Sujet du message: Répondre en citant

Les matrices [tex:b44df2938d]A_z = \begin {pmatrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end {pmatrix}[/tex:b44df2938d], pour [tex:b44df2938d]z\in \mathbb C^*[/tex:b44df2938d] ne conviennent-elles pas ?
Ce sont des matrices complexes, plus inversibles tu meurs, [tex:b44df2938d]A_z^2 = A_{2z}[/tex:b44df2938d] pour [tex:b44df2938d]z\in \mathbb C^*[/tex:b44df2938d], elles sont deux à deux semblables ; aucune n'est l'identité.
Et bien sûr, en plaçant un tel bloc et en complétant par l'identité, on obtient une solution de n'importe quelle taille [tex:b44df2938d]\geq 2[/tex:b44df2938d]
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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henri
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 22 Oct 2005
Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 19 Mai 2007, 21:51    Sujet du message: Répondre en citant

ah mais en fait c'est compatible avec ce que je disais, parce je ne prouve que le fait que [tex:e5644c292f]SpM=\{1\}[/tex:e5644c292f]...
Moi qui cherchais déjà l'endroit où j'avais grugé...
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 19 Mai 2007, 23:41    Sujet du message: Répondre en citant

Tout à fait compatible avec ce que tu dis, en effet... Mais comme Igor disait qu'ils posaient des "questions ouvertes", j'avais d'abord compris ouvertes dans le sens de non-résolues, et je me suis étonné que la solution soit si simple.
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 3271
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MessagePosté le: 20 Mai 2007, 21:16    Sujet du message: Répondre en citant

Ca veut dire quoi "semblable" ?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
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MessagePosté le: 20 Mai 2007, 22:00    Sujet du message: Répondre en citant

Soient [tex:cae44051bb]M[/tex:cae44051bb] et [tex:cae44051bb]N \in {\cal M}_n(\mathbb{K})[/tex:cae44051bb].
[tex:cae44051bb]M[/tex:cae44051bb] est semblable à [tex:cae44051bb]N[/tex:cae44051bb] si et seulement si [tex:cae44051bb]\exists P \in {\cal GL}_n(\mathbb{K})[/tex:cae44051bb] telle que [tex:cae44051bb]M = P^{-1} N P[/tex:cae44051bb].
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 20 Mai 2007, 22:30    Sujet du message: Répondre en citant

Ce qui revient à dire que deux matrices sont semblables lorsqu'elles représentent le même endomorphisme, à changement de base près (le même au départ et à l'arrivée, évidemment).
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