Maths et Délires

[Thibaut]

Petit exercice pas si difficile pour commencer :

Soit [tex:94909cf442]X[/tex:94909cf442] un ensemble, [tex:94909cf442]\mathcal A[/tex:94909cf442] une tribu sur [tex:94909cf442]X[/tex:94909cf442].
Montrer que [tex:94909cf442]\mathit {card} \mathcal A \neq \aleph_0[/tex:94909cf442]


Deux questions que je me pose, auxquelles je n'ai pas encore réfléchi :
A-t-on nécessairement [tex:94909cf442]\mathit {card} \mathcal A = 2^\kappa[/tex:94909cf442] pour un certain cardinal [tex:94909cf442]\kappa[/tex:94909cf442] ?

A-t-on nécessairement une topologie [tex:94909cf442]\mathcal T[/tex:94909cf442] sur [tex:94909cf442]X[/tex:94909cf442] telle que [tex:94909cf442]\mathcal A[/tex:94909cf442] est sa tribu borelienne ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[Cerise]

[Jill-Jênn]

Tiens, les tribus, ça me dit quelque chose...
(;) à Cerise)
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[Thibaut]

[metalogik]

c des tribus de quel pays ?
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A VOS RANGS ! FIXE !

Repos.

[xavier]

[Thibaut]

Vérifions ça :
Soit [tex:420b548c8a]\kappa>\aleph_0[/tex:420b548c8a] un cardinal.
Soit [tex:420b548c8a]\mathcal A = \{X \subset \kappa, \mathit{card} X\leq \aleph_0\} \cup \{X \subset \kappa, \mathit{card} (\kappa \setminus X)\leq \aleph_0\}[/tex:420b548c8a]
Clairement, [tex:420b548c8a]\mathit{card}\mathcal A \geq \kappa[/tex:420b548c8a] puisque [tex:420b548c8a]\kappa \rightarrow \mathcal A, \alpha \mapsto \{\alpha\}[/tex:420b548c8a] est une injection.
Puis [tex:420b548c8a]\mathit{card}\mathcal A = 2 \mathit {card} \{X \subset \kappa, \mathit{card} X\leq \aleph_0\} \leq 2 \mathit {card} ((\kappa+1)^\omega)[/tex:420b548c8a] car [tex:420b548c8a]\{X \subset \kappa, \mathit{card} X\leq \aleph_0\} \rightarrow (\kappa+1)^\omega, X \mapsto (\alpha_n)_{n<\omega}[/tex:420b548c8a] où [tex:420b548c8a](\alpha_n)_{n<\omega}[/tex:420b548c8a] est la suite strictement croissante des éléments de [tex:420b548c8a]X[/tex:420b548c8a] (si celui-ci est fini, prolonger par des [tex:420b548c8a]\kappa[/tex:420b548c8a] après épuisement de [tex:420b548c8a]X[/tex:420b548c8a]), est une injection.
Puis [tex:420b548c8a]\mathit{card}\mathcal A \leq \kappa^{\aleph_0}[/tex:420b548c8a]
Et là, je suis eu car si [tex:420b548c8a]\mathit {cf} (\kappa) = \aleph_0[/tex:420b548c8a] (typiquement, [tex:420b548c8a]\kappa = \aleph_\omega[/tex:420b548c8a]), il me semble que [tex:420b548c8a]\kappa^{\aleph_0}= \kappa^+[/tex:420b548c8a] (et c'est en tous cas vrai sous l'hypothèse du continu généralisée).

C'est ma majoration qui est trop brutale ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal

[xavier]

Ah euh oui, tu dois avoir raison, zut.

[xavier]

Par contre, il me semble que si [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a] est un cardinal de cofinalité indénombrable (et infini) alors :
[tex:6cb9a6356a]\kappa^{\aleph_0} = \bigcup_{\kappa'<\kappa} {\kappa'}^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a]
Si j'applique cela en prenant pour [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a] le successeur de [tex:6cb9a6356a]2^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a] (en supposant qu'il est bien de cofinalité indénombrable), j'obtiens que le cardinal de [tex:6cb9a6356a]\kappa^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a] est majoré par [tex:6cb9a6356a]\kappa \times 2^{\aleph_0}[/tex:6cb9a6356a] et donc qu'il est bien égal à [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a].
Bon, il ne reste plus qu'à voir que l'on peut s'arranger que pour ce [tex:6cb9a6356a]\kappa[/tex:6cb9a6356a] soit bien de cofinalité indénombrable, sans pour autant être une puissance de 2. Mais si mes souvenirs sont bons sont bons, c'est tout à fait possible car on peut supposer simultanément [tex:6cb9a6356a]2^{\aleph_0} = \aleph_1[/tex:6cb9a6356a] et [tex:6cb9a6356a]2^{\aleph_1} > \aleph_2[/tex:6cb9a6356a]. (Bon, j'espère que je ne me trompe pas.)

[Thibaut]

[xavier]

[Thibaut]

[xavier]

[Thibaut]

Formules d'exponentiation cardinale sous HCG :
[tex:da5221a565]\kappa^\lambda = \kappa[/tex:da5221a565] si [tex:da5221a565]\lambda<\mathit {cf} (\kappa)[/tex:da5221a565]
[tex:da5221a565]\kappa^\lambda = \kappa^+[/tex:da5221a565] si [tex:da5221a565]\mathit {cf} (\kappa)\leq \lambda \leq \kappa[/tex:da5221a565]
[tex:da5221a565]\kappa^\lambda = \lambda^+[/tex:da5221a565] si [tex:da5221a565]\lambda \geq \kappa[/tex:da5221a565]
Donc si [tex:da5221a565]\mathit {cf} (\kappa)>\aleph_0[/tex:da5221a565], [tex:da5221a565]\kappa^{\aleph_0}=\kappa[/tex:da5221a565]
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[Thibaut]

Nouvelles questions :
Pour [tex:0ed7a3818a](X,\mathcal X), (Y, \mathcal Y)[/tex:0ed7a3818a] espaces mesurables et [tex:0ed7a3818a] F : \mathcal X \rightarrow \mathcal Y[/tex:0ed7a3818a], on dira que [tex:0ed7a3818a]F[/tex:0ed7a3818a] est un morphisme de tribus lorsque [tex:0ed7a3818a]F (\emptyset) = \emptyset[/tex:0ed7a3818a], [tex:0ed7a3818a]\forall A \in \mathcal E, F(X \setminus A) = Y \setminus F(A)[/tex:0ed7a3818a], et [tex:0ed7a3818a]\forall (A_n) \in \mathcal X^\mathbb N, F(\bigcup\limits_{n\in\mathbb N} A_n) = \bigcup\limits_{n\in\mathbb N} F(A_n)[/tex:0ed7a3818a].
On en déduit la notion d'isomorphisme de tribus, et de tribus isomorphes (au passage, on remarque qu'un morphisme de tribus est un isomorphisme dès qu'il est bijectif).

Classer les tribus finies à isomorphisme près n'est pas bien difficile, sachant que toute tribu est une algèbre de Boole, que toute algèbre de Boole finie est une tribu, et que toute algèbre de Boole finie est isomorphe à [tex:0ed7a3818a]\mathcal P(E)[/tex:0ed7a3818a] pour un [tex:0ed7a3818a]E[/tex:0ed7a3818a] fini.

Par contre, qu'en est-il tribus infinies ? Est-ce que toutes les tribus de même cardinalité sont isomorphes ?
Sinon, quand est-il de [tex:0ed7a3818a]\mathcal B(\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a], la tribu borelienne sur [tex:0ed7a3818a]\mathbb R[/tex:0ed7a3818a], [tex:0ed7a3818a]\mathcal B(\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb R))[/tex:0ed7a3818a], la tribu borelienne sur [tex:0ed7a3818a]C^0(\mathbb R, \mathbb R)[/tex:0ed7a3818a] muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, [tex:0ed7a3818a]\mathcal P(\mathbb N)[/tex:0ed7a3818a], et [tex:0ed7a3818a]\mathcal P_{\aleph_1} (\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a], l'ensemble des parties au plus dénombrables de [tex:0ed7a3818a]\mathbb R[/tex:0ed7a3818a] ? Et [tex:0ed7a3818a]\mathcal L(\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a] (la tribu de Lebesgue sur [tex:0ed7a3818a]\mathbb R[/tex:0ed7a3818a]) et [tex:0ed7a3818a]\mathcal P(\mathbb R)[/tex:0ed7a3818a] ?
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Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal