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Colles en MPSI

 
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Auteur Message
Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 24 Mai 2007, 20:23    Sujet du message: Colles en MPSI Répondre en citant

Soient [tex:38538c3e97](a_0, \ldots, a_n, b_0, \ldots, b_n) \in \mathbb{C}^{2n}[/tex:38538c3e97].
Calculer [tex:38538c3e97]det [(a_i + b_j)^n]_{0 \leqslant i, j \leqslant n}[/tex:38538c3e97].
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Chevêche
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 07 Oct 2005
Messages: 718
Localisation: Au fond d'un bois, ou vers le clocher des Jacobins

MessagePosté le: 26 Mai 2007, 15:25    Sujet du message: Répondre en citant

Je ne met pas mes exos de la colle d'hier, c'était trivial (torché en 3/4 h, automorphismes ortogonaux et révisions de dvl).
Par contre la semaine d'avant, c'était :
"Touver les triangles d'aire maximales inscrits dans un cercle donné."(pas très dur mais déconcertant au début)
_________________
"Debout au bord du lac se tenait une fine jument alezane, sa délicate silhouette se reflétant entre le bleu gris du ciel et l'herbe rase des prémisses de l'été."

"La rage l'emplit soudain, une bête noire montant en lui grignotant les intestins, la vidant, la dépeçant de toute matière, coquille vide animée par une furie sombre, pantin aux mains de l'irraison."
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musichien
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 31 Aoû 2005
Messages: 1128
Localisation: devant mon ordi

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 11:06    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
"Trouver les triangles d'aire maximales inscrits dans un cercle donné."(pas très dur mais déconcertant au début)

On décompose en triangles AOB, BOC, AOC, et on exprime l'aire en fonction du rayon (fixé) et des sini des angles au centre, et on applique l'inégalité de convexité? (et ça donne le triangle équilatéral)
_________________
Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement)
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Fractal
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 16 Mai 2007
Messages: 50

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 13:06    Sujet du message: Répondre en citant

On ne peut pas dire tout simplement que si on fixe A et B, pour que l'aire soit maximale il faut que la hauteur issue de C soit maximale, donc que ABC soit isocèle en C, et puisqu'on peut faire le même raisonnement avec A et B, alors le triangle est nécessairement équilatéral ?

Fractal ;)
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 14:30    Sujet du message: Répondre en citant

Si, mais ça a l'inconvénient de ne pas se généraliser aussi bien aux polygones avec plus de côtés.
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Fractal
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 16 Mai 2007
Messages: 50

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 14:40    Sujet du message: Répondre en citant

On cherche les polynômes à n côtés d'aire maximale inscrits dans un cercle.
On considère que (n-1) sommets consécutifs de ce polygone sont fixés (M1, M1, ...,M(n-1) consécutivement), le dernier point étant variable (Mn).
Pour que le polygone ait une aire maximale, il faut que la hauteur du triangle M1M(n-1)Mn issue de Mn soit maximale, c'est à dire que les distances M(n-1)Mn et MnM1 soient égales.
Ce raisonnement pouvant être fait pour chacun des sommets du polygone, il s'ensuit que tous ses côtés sont égaux, et puisqu'il est inscrit dans un cercle, il est régulier.

Non?

Fractal ;)
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 20:22    Sujet du message: Répondre en citant

Il manque juste un détail, à savoir qu'il faut montrer que ce maximum existe (i.e. que c'est bien un max et pas un sup).
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xavier
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 1190

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 20:25    Sujet du message: Répondre en citant

Compacité

--
Xavier, pour les mots clés
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 27 Mai 2007, 21:32    Sujet du message: Répondre en citant

J'avais hésité à le rajouter à la fin.
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
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MessagePosté le: 28 Mai 2007, 3:31    Sujet du message: Répondre en citant

Continuité ?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 28 Mai 2007, 13:54    Sujet du message: Répondre en citant

Pourquoi personne ne cherche mon exo ?
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Thibaut
Geek mutant fou


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MessagePosté le: 28 Mai 2007, 14:12    Sujet du message: Répondre en citant

Parce que casse-bonbon ?
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 28 Mai 2007, 14:28    Sujet du message: Répondre en citant

Même pas vrai, il est très beau :)
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 05 Juin 2007, 15:52    Sujet du message: Re: Colles en MPSI Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
Soient [tex:e6fdfa63a5](a_0, \ldots, a_n, b_0, \ldots, b_n) \in \mathbb{C}^{2n}[/tex:e6fdfa63a5].
Calculer [tex:e6fdfa63a5]det [(a_i + b_j)^n]_{0 \leqslant i, j \leqslant n}[/tex:e6fdfa63a5].
Et si je dis que quand on développe on tombe sur le déterminant d'un produit de deux matrices ? *insiste* Mr. Green
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
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MessagePosté le: 05 Juin 2007, 18:15    Sujet du message: Répondre en citant

0 ? astuce pas fine du tout je trouve...
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 06 Juin 2007, 18:28    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
0 ? astuce pas fine du tout je trouve...
Non.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 06 Juin 2007, 22:52    Sujet du message: Répondre en citant

Euh zut.
Plutôt [tex:968ed39e3e](-1)^n(\Pi_iC_n^i)V({\mathbf a})V({\mathbf b})[/tex:968ed39e3e] avec [tex:968ed39e3e]V({\mathbf x})[/tex:968ed39e3e] le déterminant de Vandermonde des [tex:968ed39e3e]x_i[/tex:968ed39e3e] ?
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 06 Juin 2007, 23:06    Sujet du message: Répondre en citant

Il me semble que c'était un peu plus compliqué que [tex:4e1c9cd15a](-1)^n[/tex:4e1c9cd15a], mais sinon c'est ça :)
_________________
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MessagePosté le: 09 Juin 2007, 18:12    Sujet du message: Répondre en citant

Fin d'une année de colles de maths!!!!!!! (hors sujet)
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