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Exos d'oraux
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Auteur Message
xavier
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 1190

MessagePosté le: 11 Juil 2007, 8:05    Sujet du message: Répondre en citant

Daniel a écrit:
Dès qu'ils sont alignés, ils deviennent sourds et ne peuvent pas communiquer.

Tu es sûr ? Ils ne peuvent pas entendre les réponses des gnomes précédents ?
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 11 Juil 2007, 11:27    Sujet du message: Répondre en citant

Je crois bien que si... mais maintenant on remplace [tex:3a79280207]\aleph_0[/tex:3a79280207] par un cardinal quelconque et les couleurs des chapeaux sont aussi pris dans un ensemble de cardinal quelconque Twisted Evil
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Daniel
Matheux (se)


Inscrit le: 16 Avr 2006
Messages: 292
Localisation: Donc iiici!

MessagePosté le: 11 Juil 2007, 12:25    Sujet du message: Répondre en citant

Non, ils ne peuvent pas.
_________________
Blib.
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Le deuxième
Être humain normal


Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 7

MessagePosté le: 11 Juil 2007, 19:23    Sujet du message: Répondre en citant

Maths ULC :

1. Décrire G : l'ensemble des fonctions linéraires de R^n dans R^n telles que u²= Id.

2. Montrer que Id est isolée dans G

3. Montrer qu'aucune symétrie par rapport à un hyperplan n'est isolée.

4. G est-il fermé ?

5. G est-il compact ?
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Alexandre le Grand
Être humain normal


Inscrit le: 04 Juil 2005
Messages: 11

MessagePosté le: 12 Juil 2007, 11:24    Sujet du message: Répondre en citant

Le deuxième a écrit:
Maths ULC :

1. Décrire G : l'ensemble des fonctions linéraires de R^n dans R^n telles que u²= Id.

2. Montrer que Id est isolée dans G

3. Montrer qu'aucune symétrie par rapport à un hyperplan n'est isolée.

4. G est-il fermé ?

5. G est-il compact ?


Tiens, j'ai assisté à un oral avec deux amis où les mêmes questions ont été posées.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...

MessagePosté le: 13 Juil 2007, 9:31    Sujet du message: Répondre en citant

Maths-Lyon :
Soient [tex:0dc189e70d]k, l \in \mathbb{Z}[/tex:0dc189e70d] tels que [tex:0dc189e70d]k, l \geqslant 1[/tex:0dc189e70d].
Existe-t-il [tex:0dc189e70d]P, Q \in \mathbb{R}[X][/tex:0dc189e70d] tels que [tex:0dc189e70d]\left\{
\begin{array}{rcl}
P^{(k)} & = & Q^\frac1l\\
Q^{(l)} & = & P^\frac1k
\end{array}[/tex:0dc189e70d]?

N'empêche que [tex:0dc189e70d]P = Q = 0[/tex:0dc189e70d] ça marche...
Sinon, j'ai un peu trouvé bizarre le fait de dire "entiers relatifs supérieurs ou égaux à 1".
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Igor
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 697
Localisation: Beyond your wildest dreams

MessagePosté le: 18 Juil 2007, 11:03    Sujet du message: Répondre en citant

En fait c'est Olivier Debarre qui a fait passer les oraux de Maths Ulm.
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abbesanchez
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 26 Juin 2005
Messages: 427
Localisation: paris

MessagePosté le: 19 Juil 2007, 11:28    Sujet du message: Répondre en citant

voici mes exos d'oraux de maths (je poste ceux d'ens qui doivent vous intéresser plus).

Arrow Ulm :
Exo 1 : Soit f,g définies sur les réels>0 à valeurs réelles (valeurs >0 pour g). On suppose que f est deux fois dérivables, g strictement croissante et f''+gf = 0.
1) Montrer que f admet une infinité de zéros.
2) Montrer que f(x) reste bornée quand x tend vers l'infini (attention : g n'est pas dérivable)

Exo 2 : On considère q,q' deux formes quadratiques sur un C-ev E de dimension finie n avec q non dégénérée. Montrer l'équivalence des propriétés :
(i) {a;aq-q' est dégénéré} admet n éléments dans C
(ii) il existe une base (e_1,...,e_n) de E et des complexes a_1 ... a_n tels que, si x appartient à E alors
q(x) = somme des (x_i)^2
q'(x) = somme des a_i*(x_i)^2
où les x_i sont les coordonnées de x dans la base considérée.

Exo 3 (fin d'épreuve) : Soit f paire C^2 de R->R. Montrer l'existence de g C^1 de R->R telle que f(x)= g(x^2).
Cas où f est C^(2n) avec g prise C^n, f C^(infinity) avec g prise aussi C^(infinity) ?

Arrow Cachan
Exo 1 : Soit u C^1 convexe sur [a,b] à valeurs réelles. Pour une subdivision de [a,b] a=x_0<x_1<...<x_(m+1) = b, on considère l'interpolation linéaire notée ici u_m de u associée canoniquement à la subdivision.
1) Montrer que u_m est de forme x |->cx+d_0+d_1*|x-x_1|+...+d_m*|x-x_m|.
2) Montrer que u_m tend uniformément vers u quand la pas de la subdivision tend vers 0.
3) Montrer que (u_m)' converge uniformément vers u' lorsque la pas tend vers 0 (on ignore les problèmes de mauvaise définition de (u_m)').

Exo 2 : pour a_i et b_i suite de n réels >0 et w_i une suite de n réels >=0, montrer que :
(somme des w_i*(a_i)^2)*(somme des w_i*(b_i)^2 <= (M+m)^2/(4*M*m) * (somme des a_i*b_i*w_i)^2
où M=max(a_i/b_i) et m=min(a_i/b_i).
Indication : utiliser une propriété sur les fonctions convexes f qui permet de majorer l'image du barycentre au lieu de la minorer

Arrow Ulm-Lyon-Cachan :
Exo 1 (décomposition polaire) : On considère l'application (M,N) |-> (M|N) = tr (tM*N) sur M_n (R).
1) Expliquer rapidement en quoi il s'agit bien d'un produit scalaire.
2) Expliquer rapidement en quoi O_n (R) est compact pour la structure d'evn induite par ce produit scalaire.
3) Exrpimer la différentielle en 0 de (pour A fixé) :
phi : W |-> ||A - exp W||^2.
4) Montrer que si A fixé vérifie, pour tout U de O_n (R), ||I-A||<=||U-A|| alors A appartient à S_n (R).
5) Montrer que A quelconque de M_n (R) peut s'écrire sous la forme US où U dans O_n et S dans S_n.
6) (après que j'en ai évoqué la possibilité) Montrer que l'on peut prendre S>=0.
7) Montrer l'unicité de S lorsque l'on impose S>=0.

Exo 2 : On considère l'opérateur A |-> A^#= t(com(A)) défini sur M_n (C).
1) Montrer que (PAP^-1)^# = P(A^#)P^-1 si A appartient à M_n (C) et P à Gl_n (C).
2) En déduire l'ensemble des A de M_n (C) qui vérifie une relation du type A + A^# = z*I_n où z complexe.

Arrow Lyon :
Soit ABC un triangle du plan à sommets deux à deux distincts et :
D:M |-> AM+BM+CM définie sur le plan.
1) Montrer qu'il existe M_0 minimisant D.
2) Montrer que s'il n'est ni A ni B ni C alors les angles du triangle valent moins de 120° (au sens strict) et que les angles A(M_0)B, B(M_0)C et C(M_0)A sont égaux.
3) Montrer que si par exemple M_0=A alors l'angle BAC vaut plus de 120° (au sens large).
4) En déduire l'unicité de M_0.

Il m'a demandé ensuite d'étudier le cas où ABC est remplacé par un quadrilatère convexe avec la fonction analogue.
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