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Belle inégalité

 
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Auteur Message
Khue
Être humain normal


Inscrit le: 21 Juil 2007
Messages: 15

MessagePosté le: 24 Juil 2007, 14:08    Sujet du message: Belle inégalité Répondre en citant

Inégalité (Khue). Pour tous [tex:cd5b2620b0]a,b,c[/tex:cd5b2620b0] deux à deux différents, on a
[tex:cd5b2620b0]\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2} \ge 1[/tex:cd5b2620b0].



J'ai édité. Merci Jill-Jênn :)


Dernière édition par Khue le 25 Juil 2007, 13:37; édité 1 fois
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 24 Juil 2007, 14:57    Sujet du message: Répondre en citant

Une tentative :

Si l'un des [tex:ac39769df3]a , b , c[/tex:ac39769df3] est nul, l'inégalité est triviale. Supposons donc le contraire.
En posant [tex:ac39769df3]x=1-a/b,y=1-b/c,z=1-c/a[/tex:ac39769df3], l'inégalité se réécrit [tex:ac39769df3]1/x^2+1/y^2+1/z^2\geq1[/tex:ac39769df3] avec la condition [tex:ac39769df3](1-x)(1-y)(1-z)=1[/tex:ac39769df3], soit encore [tex:ac39769df3]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq x^2y^2z^2[/tex:ac39769df3] sous la condition [tex:ac39769df3]xyz+x+y+z=xy+yz+zx[/tex:ac39769df3].
Or en élevant cette dernière égalité au carré et en simplifiant par [tex:ac39769df3]2xyz(x+y+z)[/tex:ac39769df3], on obtient [tex:ac39769df3]x^2y^2z^2+x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/tex:ac39769df3] soit [tex:ac39769df3]x^2y^2z^2+(x+y+z)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/tex:ac39769df3]. CQFD.

On a égalité ssi [tex:ac39769df3]x+y+z=0[/tex:ac39769df3], soit [tex:ac39769df3]a/b+b/c+c/a=3[/tex:ac39769df3], ce qui donne un truc assez moche ([tex:ac39769df3]a/b,b/c,c/a[/tex:ac39769df3] racines de [tex:ac39769df3]t^3-3t^2+\alpha t-1=0[/tex:ac39769df3] pour un certain [tex:ac39769df3]\alpha[/tex:ac39769df3]).


Dernière édition par antony le 25 Juil 2007, 0:08; édité 1 fois
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
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MessagePosté le: 24 Juil 2007, 18:20    Sujet du message: Re: Belle inégalité Répondre en citant

Khue a écrit:
différants
différents Mr. Green
_________________
« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 24 Juil 2007, 18:37    Sujet du message: Répondre en citant

Khue > a,b,c sont positifs ou bien réels quelconques ?
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
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MessagePosté le: 24 Juil 2007, 19:19    Sujet du message: Répondre en citant

Quelconques, ça a l'air de marcher.
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jean
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 24 Juil 2007, 23:36    Sujet du message: Répondre en citant

"On a égalité ssi x+y+z=0, soit a/b+b/c+c/a=3, i.e. a=b=c (on vérifie qu'on ne peut avoir égalité si abc=0)."

Sûrement pas a=b=c car rien qu'avec a=b, on a un problème ;)
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
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MessagePosté le: 24 Juil 2007, 23:46    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, oui, zut pour le cas d'égalité.
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 24 Juil 2007, 23:48    Sujet du message: Répondre en citant

Y'a égalité plutôt si a = 1 et b = c = 0 Question
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
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MessagePosté le: 25 Juil 2007, 0:02    Sujet du message: Répondre en citant

a, b, c 2 à 2 différents... De toute façon j'ai l'impression que les cas d'égalité sont assez moches. Dans le genre a/b, b/c, c/a racines de [tex:53dbb8fa6b]t^3-3t^2+\alpha t-1=0[/tex:53dbb8fa6b] pour un certain [tex:53dbb8fa6b]\alpha[/tex:53dbb8fa6b].
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jean
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 25 Juil 2007, 12:26    Sujet du message: Répondre en citant

Oui ils sont très moches mais mathematica les trop sans problème. De mémoire, c'est a=-1, a=-8 et ce qu'il faut pour c pour que ça marche (une valeur moche)
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Khue
Être humain normal


Inscrit le: 21 Juil 2007
Messages: 15

MessagePosté le: 25 Juil 2007, 13:04    Sujet du message: Répondre en citant

antony a écrit:
Une tentative :

Si l'un des [tex:4746087e37]a , b , c[/tex:4746087e37] est nul, l'inégalité est triviale. Supposons donc le contraire.
En posant [tex:4746087e37]x=1-a/b,y=1-b/c,z=1-c/a[/tex:4746087e37], l'inégalité se réécrit [tex:4746087e37]1/x^2+1/y^2+1/z^2\geq1[/tex:4746087e37] avec la condition [tex:4746087e37](1-x)(1-y)(1-z)=1[/tex:4746087e37], soit encore [tex:4746087e37]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq x^2y^2z^2[/tex:4746087e37] sous la condition [tex:4746087e37]xyz+x+y+z=xy+yz+zx[/tex:4746087e37].
Or en élevant cette dernière égalité au carré et en simplifiant par [tex:4746087e37]2xyz(x+y+z)[/tex:4746087e37], on obtient [tex:4746087e37]x^2y^2z^2+x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/tex:4746087e37] soit [tex:4746087e37]x^2y^2z^2+(x+y+z)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2[/tex:4746087e37]. CQFD.

On a égalité ssi [tex:4746087e37]x+y+z=0[/tex:4746087e37], soit [tex:4746087e37]a/b+b/c+c/a=3[/tex:4746087e37], ce qui donne un truc assez moche ([tex:4746087e37]a/b,b/c,c/a[/tex:4746087e37] racines de [tex:4746087e37]t^3-3t^2+\alpha t-1=0[/tex:4746087e37] pour un certain [tex:4746087e37]\alpha[/tex:4746087e37]).

Très bien. Merci antony.
On a égalité ssi [tex:4746087e37]a^2b+b^2c+c^2a=3abc[/tex:4746087e37].

Ma solution. On a
[tex:4746087e37]\frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}=1+\frac{(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^2}{(a-c)^2(b-c)^2(c-a)^2} \ge 1[/tex:4746087e37]
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 25 Juil 2007, 13:09    Sujet du message: Répondre en citant

Très belle solution !
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strife2
Matheux (se)


Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)

MessagePosté le: 25 Juil 2007, 15:38    Sujet du message: Répondre en citant

T'as l'impression que les maths c'est facile en voyant sa soluce. Laughing
_________________
Ancien de Grésillon.
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Khue
Être humain normal


Inscrit le: 21 Juil 2007
Messages: 15

MessagePosté le: 31 Juil 2007, 12:36    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour !
Et voilà une autre inégalité :

Inégalité 2 (Le.H.D. Khue). Soient [tex:98986d209f]a,b,c[/tex:98986d209f] et [tex:98986d209f]k[/tex:98986d209f] avec [tex:98986d209f]a^2+kab+b^2 > 0,b^2+kbc+c^2 >0[/tex:98986d209f] et [tex:98986d209f]c^2+kca+a^2 > 0[/tex:98986d209f]. On a
[tex:98986d209f]\frac{a^2}{a^2+kab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+kbc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+kca+a^2} \ge \min \left(1;\frac{3}{k+2} \right)[/tex:98986d209f]
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