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Une jolie et difficile inégalité !!!

 
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Auteur Message
Khue
Être humain normal


Inscrit le: 21 Juil 2007
Messages: 15

MessagePosté le: 22 Juil 2007, 5:44    Sujet du message: Une jolie et difficile inégalité !!! Répondre en citant

Problème. Pour tous [tex:53b861124e]a,b,c,d \ge 0[/tex:53b861124e], prouver que
[tex:53b861124e]\sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt[3]{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt[3]{\frac{2d}{d+a}}\le 4[/tex:53b861124e]
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Rosalydia
Être humain normal


Inscrit le: 23 Juil 2007
Messages: 5

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 11:52    Sujet du message: Répondre en citant

Etudions l'égalité [1] suivante :

[tex:0d502257b6]{\frac{2a}{a+b}}+{\frac{2b}{b+c}}+{\frac{2c}{c+d}}+{\frac{2d}{d+a}} = 4[/tex:0d502257b6]

<=> 2a(b+c)(c+d)(d+a) + 2b(a+b)(c+d)(d+a) +2d(a+b)(b+c)(c+d) = 4(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)

Après développement, on obtient :
2a²bc - 2a²cd + 2b²cd - 2ab²d + 2ac²d - 2abc² + 2abd² - 2bcd² = 0
<=> a²c(b-d) + b²d(c-a) + ac²(d-b) + bd²(a-c) = 0

Le terme de gauche s'annulant, l'égalité [1] est vraie pour tous a,b,c,d.

Pour tous [tex:0d502257b6]a,b,c,d \ge 0[/tex:0d502257b6], on a:
[tex:0d502257b6]{\frac{2a}{a+b}}+{\frac{2b}{b+c}}+{\frac{2c}{c+d}}+{\frac{2d}{d+a}} \ge \sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt[3]{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt[3]{\frac{2d}{d+a}}[/tex:0d502257b6]

Donc : [tex:0d502257b6]\sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt[3]{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt[3]{\frac{2d}{d+a}}\le 4[/tex:0d502257b6]
pour tous [tex:0d502257b6]a,b,c,d \ge 0[/tex:0d502257b6].

Cette démonstration convient-elle, Khue ?


Dernière édition par Rosalydia le 23 Juil 2007, 17:47; édité 1 fois
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 16:51    Sujet du message: Répondre en citant

Rosalydia a écrit:
Pour tous [tex:ad0d3b2a08]a,b,c,d \ge 0[/tex:ad0d3b2a08], on a:
[tex:ad0d3b2a08]{\frac{2a}{a+b}}+{\frac{2b}{b+c}}+{\frac{2c}{c+d}}+{\frac{2d}{d+a}} \ge \sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt[3]{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt[3]{\frac{2d}{d+a}}[/tex:ad0d3b2a08]
Pourquoi ?
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 16:55    Sujet du message: Répondre en citant

Mais aussi, [1] n'est vraie que si a = b = c = d, et non "vraie pour (a,b,c,d) quelconques appartenant à IR^4+"
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Rosalydia
Être humain normal


Inscrit le: 23 Juil 2007
Messages: 5

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 17:47    Sujet du message: Répondre en citant

* Réponse à Antony :

Pour [tex:3955dec41b]a,b \ge 0[/tex:3955dec41b], on a :
[tex:3955dec41b]{\frac{2a}{a+b}} \ge 0[/tex:3955dec41b]

Or, pour tout [tex:3955dec41b]x \ge 0, x \ge \sqrt[3]{x}[/tex:3955dec41b]. (Ce qui ne serait pas le cas pour un x négatif)
Donc : [tex:3955dec41b]{\frac{2a}{a+b}} \ge \sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}}[/tex:3955dec41b]

On fait de même avec : [tex:3955dec41b]{\frac{2b}{b+c}} , {\frac{2c}{c+d}} et {\frac{2d}{d+a}}[/tex:3955dec41b]

* Réponse à Guillaume B. :

1) Je me suis trompée en tapant le développement. C'est :
a²c(b-d) + b²d(c-a) + ac²(d-b) + bd²(a-c)
et non a²c(b-d) + b²d(c-a) + ac²(d-b) + ad²(a-c)
Je vais immédiatement corriger l'erreur dans mon message.

2) Je me suis trompée en relisant mon calcul (je sais, ça commence à faire pas mal d'erreurs... Laughing ) : à la place de bd², j'avais lu b²d (EDIT : et a²c au lieu de ac²) (et dans ce cas, le terme de gauche s'annulait effectivement). Je reconnais qu'il faut ici une condition : b = d (EDIT : ou a = c).

Je vais donc réfléchir à nouveau sur ce problème... Comme d'autres sur ce forum... Smile


Dernière édition par Rosalydia le 23 Juil 2007, 20:09; édité 2 fois
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Overlord
Être mi-geek mi-globzoule


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Messages: 2446
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MessagePosté le: 23 Juil 2007, 19:27    Sujet du message: Répondre en citant

et pour x entre 0 et 1 ?
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Il y a 11 catégories de gens sur Terre :
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Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi...
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Jean-Denis
Tendance maths et délires inquiétante


Inscrit le: 17 Juin 2007
Messages: 179
Localisation: 2² * 5² * 11 * 43

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 19:50    Sujet du message: Répondre en citant

Deux choses me gênent :

Rosalydia a écrit:
a²c(b-d) + b²d(c-a) + ac²(d-b) + bd²(a-c) = 0

Le terme de gauche s'annulant, l'égalité [1] est vraie pour tous a,b,c,d.


et

Rosalydia a écrit:
Pour tous [tex:ed91539029]a,b,c,d \ge 0[/tex:ed91539029], on a:
[tex:ed91539029]{\frac{2a}{a+b}}+{\frac{2b}{b+c}}+{\frac{2c}{c+d}}+{\frac{2d}{d+a}} \ge \sqrt[3]{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt[3]{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt[3]{\frac{2d}{d+a}}[/tex:ed91539029]
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Rosalydia
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Inscrit le: 23 Juil 2007
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MessagePosté le: 23 Juil 2007, 19:56    Sujet du message: Répondre en citant

* A Overlord :

Certes... J'ai fait ça rapidement et n'avais donc pas fait attention.
Cela me paraissait aussi trop beau de trouver une solution à une "difficile inégalité" dès le premier tâtonnement Confused

Quelqu'un peut-il proposer une démonstration satisfaisante ? Razz
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Rosalydia
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Messages: 5

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 20:07    Sujet du message: Répondre en citant

* A Jean-Denis :

1) J'ai expliqué dans un précédent message que j'avais lu trop vite... J'ai lu b²d au lieu de bd² et a²c au lieu de ac²... J'ai fait un brouillon très (trop) rapide et finalement, la voie que j'ai empruntée ne mène à rien.
2) La réflexion d'Overlord est très juste.

Conclusion : Cette tentative n'a pas abouti... A votre tour...
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Jean-Denis
Tendance maths et délires inquiétante


Inscrit le: 17 Juin 2007
Messages: 179
Localisation: 2² * 5² * 11 * 43

MessagePosté le: 23 Juil 2007, 22:00    Sujet du message: Répondre en citant

Hé, c'est pas parce qu'on fait les malins à trouver des erreurs qu'on fait forcément mieux nous-mêmes ! Laughing

Et désolé, j'avais mal lu les messages précédents. Embarassed
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 25 Juil 2007, 10:24    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
l'égalité [1] est vraie pour tous a,b,c,d.

[tex:8e71b29245]a=1[/tex:8e71b29245]
[tex:8e71b29245]b=2[/tex:8e71b29245]
[tex:8e71b29245]c=3[/tex:8e71b29245]
[tex:8e71b29245]d=4[/tex:8e71b29245]

[tex:8e71b29245]{\frac{2a}{a+b}}+{\frac{2b}{b+c}}+{\frac{2c}{c+d}}+{\frac{2d}{d+a}}={\frac{2}{1+2}}+{\frac{4}{2+3}}+{\frac{6}{3+4}}+{\frac{8}{4+1}}[/tex:8e71b29245][tex:8e71b29245]={\frac{2}{3}}+{\frac{4}{5}}+{\frac{6}{7}}+{\frac{8}{5}}={\frac{412}{105}}[/tex:8e71b29245]
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Khue
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Messages: 15

MessagePosté le: 31 Juil 2007, 13:03    Sujet du message: Répondre en citant

Qui peut prouver mon inégalité ?
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