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Une autre inégalité

 
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Khue
Être humain normal


Inscrit le: 21 Juil 2007
Messages: 15

MessagePosté le: 25 Juil 2007, 13:42    Sujet du message: Une autre inégalité Répondre en citant

Bonjour :)
Je vous présente une vieille problème d'inégalité :
Problem. Soient [tex:cb1dd536c1]a,b,c \ge 0[/tex:cb1dd536c1], avec [tex:cb1dd536c1]a^2+b^2+c^2+abc=4[/tex:cb1dd536c1]. Prouver que [tex:cb1dd536c1]2 \le a+b+c \le 3[/tex:cb1dd536c1].
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Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 25 Juil 2007, 22:15    Sujet du message: Répondre en citant

Si a+b+c < 2,
[tex:8ee8875cec]
a^2+b^2+c^2+abc > (a+b+c)^2
[/tex:8ee8875cec]
soit
[tex:8ee8875cec]
abc > 2(ab+bc+ca)
[/tex:8ee8875cec]
D'où abc > 0. On peut donc diviser par abc, ce qui donne
1 > 2/a+2/b+2/c.
Or a+b+c < 2 donc a<2, puis 2/a > 1. Contradiction.

--------------------

Si a+b+c >3,
[tex:8ee8875cec]a^2+b^2+c^2+abc = 4 < (4/9)(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc),[/tex:8ee8875cec]
puis
[tex:8ee8875cec]
9abc < 8(ab+bc+ca) - 5(a^2+b^2+c^2).
[/tex:8ee8875cec]

Le second membre est donc positif, et on peut le multiplier par (a+b+c)/3 > 1 :
[tex:8ee8875cec]
27abc < 8(a^2b+\cdots)+24abc - 5(a^2 b + \cdots) - 5(a^3+b^3+c^3),
[/tex:8ee8875cec]
soit
[tex:8ee8875cec]
5(a^3+b^3+c^3) +3abc < 3(a^2 b + \cdots).
[/tex:8ee8875cec]
D'où, par l'IAG,
[tex:8ee8875cec]
3(a^3+b^3+c^3 + 3abc - a^2 b -\cdots) <0.
[/tex:8ee8875cec]

Or Schur affirme l'opposée :
[tex:8ee8875cec]
a(a-b)(a-c)+\cdots \geq 0.
[/tex:8ee8875cec]

Contradiction.
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Infophile
Légère tendance aux maths


Inscrit le: 25 Juil 2007
Messages: 43

MessagePosté le: 26 Juil 2007, 1:50    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour Khue et Toumaf Smile

Je voulais juste te féliciter pour Ulm

A+
Kévin
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Toumaf
Taupin(e) ou équivalent


Inscrit le: 25 Juin 2005
Messages: 738
Localisation: D'vant un problème de maths

MessagePosté le: 26 Juil 2007, 23:10    Sujet du message: Répondre en citant

Merci, mais ce post n'a rien à faire là.
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Khue
Être humain normal


Inscrit le: 21 Juil 2007
Messages: 15

MessagePosté le: 31 Juil 2007, 12:08    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour.
Merci beaucoup Toumaf.
Et voilà ma problème :

Problème (Khue). Soient [tex:75a61b9187]a,b,c \ge 0[/tex:75a61b9187], avec [tex:75a61b9187]a^2+b^2+c^2+abc=4[/tex:75a61b9187]. Prouver que
[tex:75a61b9187]a+b+c \le 3-\frac{1}{4} \min \left( (a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2 \right) [/tex:75a61b9187].
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