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henri
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MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 23:35    Sujet du message: Répondre en citant

Thibaut a écrit:
D'après Wikipédia, les théorèmes de Whitney disent qu'une variété de dimension [tex:915bff6415]n[/tex:915bff6415] s'envoient via une immersion dans [tex:915bff6415]\mathbb R^{2n-1}[/tex:915bff6415], et via un plongement dans [tex:915bff6415]\mathbb R^{2n}[/tex:915bff6415].


Boh, à un près! Rolling Eyes
Mon histoire de densité est surement à relier aux définitions différentes qu'on a des variétés.

Bon, mais ça nous aide moyennement pour notre problème initial ;) Parce que si on a besoin de ça, je crois que je peux arrêter de chercher tout de suite :p
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 8:50    Sujet du message: Répondre en citant

Bon, on récapitule : on prend [tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101] une variété [tex:45a61d5101]C^1[/tex:45a61d5101] connexe de dimension [tex:45a61d5101]n \geq 1[/tex:45a61d5101], [tex:45a61d5101]N[/tex:45a61d5101] une sous-variété (fermée pour le moment) [tex:45a61d5101]C^1[/tex:45a61d5101] de dimension [tex:45a61d5101]p \leq n-2[/tex:45a61d5101] dans [tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101], et on espère montrer que [tex:45a61d5101]M \setminus N[/tex:45a61d5101] est connexe (par arcs).

Soient [tex:45a61d5101]x,y \in M \setminus N[/tex:45a61d5101], [tex:45a61d5101]\gamma : [0;1]\rightarrow M[/tex:45a61d5101] un chemin de [tex:45a61d5101]x[/tex:45a61d5101] à [tex:45a61d5101]y[/tex:45a61d5101] dans [tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101] ([tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101] variété connexe, donc connexe par arcs).

Soit [tex:45a61d5101]X = \gamma^{\left< -1 \right>} \left< N \right>[/tex:45a61d5101]. [tex:45a61d5101]N[/tex:45a61d5101] étant fermée dans [tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101], [tex:45a61d5101]X[/tex:45a61d5101] est compact.
Pour chaque [tex:45a61d5101]t \in X[/tex:45a61d5101], [tex:45a61d5101]\gamma(t)[/tex:45a61d5101] admet un voisinage [tex:45a61d5101]V_t[/tex:45a61d5101] ouvert dans [tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101], avec une carte [tex:45a61d5101]\phi_t : V_t \rightarrow \mathbb R^n[/tex:45a61d5101] telle que [tex:45a61d5101]\phi_t \left< V_t \right> = \mathbb R^n[/tex:45a61d5101] et [tex:45a61d5101]\phi_t \left< V_t \cap N \right> = \mathbb R^p \times \{ 0 \}[/tex:45a61d5101].
Par compacité, on extrait [tex:45a61d5101]F \subset X[/tex:45a61d5101] fini tel que les [tex:45a61d5101]V_t, t \in F[/tex:45a61d5101] recouvrent [tex:45a61d5101]\gamma \left< X \right>[/tex:45a61d5101].

Maintenant, je parie qu'on doit pouvoir "décaler" [tex:45a61d5101]\gamma[/tex:45a61d5101], dans chaque [tex:45a61d5101]V_t[/tex:45a61d5101], et si on traite précautionneusement les intersections, ça doit marcher...

Ce serait sûrement encore plus convaincant si on pouvait choisir les [tex:45a61d5101]V_t \cap \gamma \left< X \right>, t \in F[/tex:45a61d5101] deux à deux disjoints, mais j'ai la flemme de voir si on peut le faire ou pas...


Si on enlève la condition que [tex:45a61d5101]N[/tex:45a61d5101] est fermée dans [tex:45a61d5101]M[/tex:45a61d5101], on choisit des [tex:45a61d5101]V_t[/tex:45a61d5101] pour [tex:45a61d5101]t \in [0;1][/tex:45a61d5101]. On ne peut plus imposer [tex:45a61d5101]\phi_t \left< V_t \cap N \right> = \mathbb R^p \times \{ 0 \}[/tex:45a61d5101] (pour les [tex:45a61d5101]t \in \bar N \setminus N[/tex:45a61d5101]), mais j'ai l'impression qu'on peut encore imposer que [tex:45a61d5101]\phi_t \left< V_t \cap N \right>[/tex:45a61d5101] est un ouvert de [tex:45a61d5101]\mathbb R^p \times \{ 0 \}[/tex:45a61d5101], et la suite marche encore.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal


Dernière édition par Thibaut le 15 Aoû 2007, 11:17; édité 2 fois
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henri
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 10:16    Sujet du message: Répondre en citant

Citation:
[tex:cf847455f3] \phi_t \left< V_t \setminus N \right> = \mathbb R^p \times \{ 0 \}[/tex:cf847455f3]

C'est pas plutôt [tex:cf847455f3] \phi_t \left< V_t \cap N \right> [/tex:cf847455f3]?
(à moins que je n'aie rien compris... ce qui n'est pas à exclure!)
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 10:21    Sujet du message: Répondre en citant

Tu as raison, et je viens de corriger. Ca te paraît convaincant ?
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henri
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 10:37    Sujet du message: Répondre en citant

ça m'a l'air assez juste; en gros tu as formalisé de manière précise en dimension quelconque ce qui se passe en dim 2 (cf on décale [tex:9bcd158082]\gamma[/tex:9bcd158082] si j'ai bien compris.
Pour l'histoire des intersections vides, je pense que tu veux plutôt parler des [tex:9bcd158082] V_t \cap \gamma(X), t \in F[/tex:9bcd158082], non?
Le cas échéant, tu arriverais, avec une réunion finie d'ouverts disjoints de [tex:9bcd158082]\gamma(X)[/tex:9bcd158082], à former un compact? Par exemple, cas envisageable, si [tex:9bcd158082]\gamma(X)[/tex:9bcd158082] est en plus connexe, alors ce n'est pas possible. J'ai quelques doutes, mais peut-être n'ai-je pas saisi qqch.

Pour N fermée dans M, visuellement, c'est logique que ce soit le cas où ça entrave le moins la connexité de M\N. En fait, l'argument que tu donnes après, dans le cas où N est non-fermée semble naturel, mais je ne vois pas de raison convaincante pour le moment. Donc on peut de toute façon supposer pour simplifier que N est fermée dans M.
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 11:21    Sujet du message: Répondre en citant

henri a écrit:
Pour l'histoire des intersections vides, je pense que tu veux plutôt parler des [tex:782696f504] V_t \cap \gamma(X), t \in F[/tex:782696f504], non ?
Encore une bêtise de corrigée.

Citation:
Le cas échéant, tu arriverais, avec une réunion finie d'ouverts disjoints de [tex:782696f504]\gamma(X)[/tex:782696f504], à former un compact ?
Si c'était possible, ce serait sympa... Maintenant, j'ai pas affirmé que c'était possible...

Citation:
Par exemple, cas envisageable, si [tex:782696f504]\gamma(X)[/tex:782696f504] est en plus connexe, alors ce n'est pas possible.
Si, s'il y a un seul ouvert.
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 11:39    Sujet du message: Répondre en citant

ok s'il n'y a qu'un seul ouvert, mais t'as pas l'idée d'un cas où il y en aurait au moins deux?
Sinon, pour l'histoire, dans le livre que j'ai, l'hypothèse de dénombrabilité à l'infini n'intervient qu'un petit peu après les premières définitions, car selon l'auteur, si les variétés non dénombrables à l'infini existent, ce sont des cas "tératologiques"... Donc on pourra supposer qu'elles le sont ;)
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 11:48    Sujet du message: Répondre en citant

Euh, je viens de trouver un cas où on a besoin d'au moins deux ouverts alors que [tex:eb0211c630]\gamma \left< X \right>[/tex:eb0211c630] est connexe :
[tex:eb0211c630]M = \mathbb R^3[/tex:eb0211c630],
[tex:eb0211c630]N[/tex:eb0211c630] est un cercle,
[tex:eb0211c630]\gamma[/tex:eb0211c630] un chemin de [tex:eb0211c630]M[/tex:eb0211c630] qui entre dans [tex:eb0211c630]N[/tex:eb0211c630], fait le tour complet du cercle, puis en ressort.

Un seul ouvert ne suffit pas car un cercle ne se plonge pas dans une droite (il ne s'y immerge même pas).

Par contre, je me demande s'il y a encore un contre-exemple si on suppose de plus que : [tex:eb0211c630]\forall x, y \in [0; 1], \left( \left(\gamma(x) = \gamma(y) \wedge x \leq y \right) \Rightarrow \forall t \in [x; y], \gamma(t) = \gamma(x) \right)[/tex:eb0211c630] ([tex:eb0211c630]\gamma[/tex:eb0211c630] est un chemin sans boucle).
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 13:21    Sujet du message: Répondre en citant

Ce serait bien qu'il n'y en ait pas, sachant qu'on pourra toujours s'arranger pour qu'il n'y ait pas de boucle.

Mais sinon, au risque de paraître bête, c'est pas si gênant que les [tex:285393bc6d]V_t \cap \gamma(X) [/tex:285393bc6d] se rencontrent, si?
Parce qu'on pourra toujours considérer les [tex:285393bc6d]max(c \in [0,1] | \gamma(c) \in V_t) [/tex:285393bc6d] indépendamment du fait que les ensembles en question se rencontrent, non?
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Thibaut
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MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 17:06    Sujet du message: Répondre en citant

Non non, ça doit pas être bien gênant...
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