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Bases dénombrables

 
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Auteur Message
jean
Légère tendance aux maths et aux délires


Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 21:34    Sujet du message: Bases dénombrables Répondre en citant

On considère une famille (infinie) de fonctions polynomiale [a,b]->R orthogonales pour un produit scalaire donné. Les polynômes de Tchebychev par exemple.
On a alors une base infinie dénombrable.
Comment caractériser l'espace des fonctions de [a,b] dans R générées par cette base?

Il est évident qu'un nombre fini de polynômes orthogonaux engendre seulement des polynômes mais je ne sais pas formaliser proprement le passage à une base infinie dénombrable de polynômes.

Je sais que je ne devrais pas parler de "base" et qu'une combinaison linéaire est une somme *finie* mais je cherche ce que l'on peut raconter quand on passe à une base dénombrable.

http://en.wikipedia.org/wiki/Schauder_basis semble être une bonne piste.
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 22:02    Sujet du message: Répondre en citant

Tu veux dire avec des "combinaisons linéaires dénombrables" ? Pour ça, il te faut fixer une topologie pour parler de convergence de séries.

Si tu prends la convergence localement uniforme, tu dois tomber sur des fonctions entières, si tu prends la convergence uniforme, on doit tomber sur les fonctions polynômiales, si tu prends la convergence simple, euh... je ne sais pas, si tu prends la topologie de la valuation, on doit tomber sur les séries entières.
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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xavier
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 1190

MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 22:10    Sujet du message: Répondre en citant

Quand même, s'il y a un produit scalaire donné sur son espace, le plus naturel est de prendre la topologie associée à ce machin, non ?
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henri
Taupin(e) ou équivalent


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Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 22:18    Sujet du message: Répondre en citant

oui mais thibaut aime bien changer de topologie, surtout quand ça la rend plus bizarre Wink
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Si [tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06] est en trop, ce sera l'entro-[tex:122be3db06]\pi[/tex:122be3db06]. -- [tex:122be3db06]S=k_B.\ln(\Omega)[/tex:122be3db06]
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Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
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MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 22:36    Sujet du message: Répondre en citant

Ah tiens, j'avais pas vu le produit scalaire... Donc tu cherches l'espace de Hilbert engendré par cette base ?
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jean
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Inscrit le: 22 Nov 2005
Messages: 72

MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 23:02    Sujet du message: Répondre en citant

Dans mon cas, le produit scalaire est celui de L_{2}.

Thibaut : Donc ça ne te choque pas de parler de base dans le cas infini dénombrable ? Ma questoin était principalement une quesiton de convention.

Quand on lit http://en.wikipedia.org/wiki/Schauder_basis,
ils écrivent même une égalite entre, dans notre cas, une fonction qq de L2 et sa décomposition sur la base. Ca me semblait un peu limite comme notation.

Bref, ma famille de polynômes engendre L2 sur [a,b] et je n'aime pas trop la notation des bases de Schauder utilisée dans wikipedia.
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henri
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Messages: 705
Localisation: Paris

MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 23:05    Sujet du message: Répondre en citant

La définition d'une base est juste une famille libre génératrice (indépendant de toute dimension finie, dénombrable ou pas!)
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 14 Aoû 2007, 23:13    Sujet du message: Répondre en citant

jean a écrit:
Thibaut : Donc ça ne te choque pas de parler de base dans le cas infini dénombrable ?

Euh, si tu dis base tout court, je risque de comprendre base algébrique, avec des vraies combinaisons linéaires, à support fini.
Sinon, le terme de base de Hilbert me va très bien. Les bases de Schauder ont l'air d'être la même chose en un peu plus général, mais j'en avais encore jamais parlé.

Citation:
Quand on lit http://en.wikipedia.org/wiki/Schauder_basis,
ils écrivent même une égalite entre, dans notre cas, une fonction qq de L2 et sa décomposition sur la base. Ca me semblait un peu limite comme notation.

Quel est le problème ? L'absence de distinction entre une série et sa somme ? Ou l'absence de distinction entre une fonction et sa valeur en [tex:9774366653]x[/tex:9774366653], avec [tex:9774366653]x[/tex:9774366653] introduit nulle part ?
Le premier ne me pose pas de problème, mais par contre je supporte très mal le deuxième... Et comme en EDP on utilise que ces saletés de notation... Je n'arrive même plus à supporter les EDP.
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jean
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Messages: 72

MessagePosté le: 15 Aoû 2007, 9:24    Sujet du message: Répondre en citant

" premier ne me pose pas de problème, mais par contre je supporte très mal le deuxième... Et comme en EDP on utilise que ces saletés de notation... Je n'arrive même plus à supporter les EDP."

On est d'accord :)
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