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Espaces localement séparés.

 
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Auteur Message
Thibaut
Geek mutant fou


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge

MessagePosté le: 16 Sep 2007, 23:34    Sujet du message: Espaces localement séparés. Répondre en citant

Définition :
On dira d'un espace qu'il est localement séparé lorsque tout point admet un voisinage séparé.

Remarque : un tel espace n'est pas nécessairement séparé.

Exemple : prendre [tex:431d452eb2]\mathbb R \times \{ 0, 1 \}[/tex:431d452eb2], et identifier les points [tex:431d452eb2](x, 0)[/tex:431d452eb2] et [tex:431d452eb2](x, 1)[/tex:431d452eb2] pour [tex:431d452eb2]x \in \mathbb R^*[/tex:431d452eb2]. On pose [tex:431d452eb2]E[/tex:431d452eb2] l'espace quotient obtenu, et [tex:431d452eb2]\pi[/tex:431d452eb2] la surjection canonique.

Dans l'espace quotient, il est impossible de séparer [tex:431d452eb2]\pi(0, 0)[/tex:431d452eb2] et [tex:431d452eb2]\pi(0,1)[/tex:431d452eb2] par des ouverts disjoints. Par contre, [tex:431d452eb2]\pi \langle ]-1, 1[ \times \{ 0 \} \rangle[/tex:431d452eb2] est un voisinage séparé de [tex:431d452eb2]\pi(0, 0)[/tex:431d452eb2].


Maintenant, j'ai l'impression que l'on peut séparer "presque tous" les points d'un espace localement séparé.

Comment formaliser ce "presque tous" ?

J'aurais envie de dire que l'ensemble des points [tex:431d452eb2]x \in E[/tex:431d452eb2] tel qu'il existe [tex:431d452eb2]y \in E \setminus \{ x \}[/tex:431d452eb2] tel que [tex:431d452eb2]x[/tex:431d452eb2] et [tex:431d452eb2]y[/tex:431d452eb2] ne peuvent être séparés par des ouverts disjoints, est une partie discrète de [tex:431d452eb2]E[/tex:431d452eb2]. Ça marche, ça ?
_________________
"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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