Maths et Délires

[Salque]

Vu dans mon DS de maths d'hier (ENS 1993 Maths I) ; j'ai trouvé cette formule absolument magnifique. Je la poste ici, car elle n'utilise en fait aucun outil non élémentaire :


Soit H une fonction multiplicative définie sur IN (i. e. pour tous entiers m et n, H(mn) = H(m)H(n)), F et G deux fonctions définies sur IR+ (H, F et G étant à valeurs dans ce que vous voulez), qui vérifient, pour tout réel positif x :

F(x) = Somme pour k=1 à +oo de G(x/k)H(k)

Exprimer alors G en fonction de F.

(On suppose qu'on n'a pas de problèmes en ce qui concerne la convergence des séries concernées. Si on veut être rigoureux, on n'a qu'à supposer, comme dans le sujet, que F et G sont nulles sur [0;1[.)
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[Jill-Jênn]

Je viens de faire une jolie glissade Wikipédia, là
"Ah ouais la fonction Moebius, on a déjà fait des exos dessus, c'est quoi déjà ?" --> Moebius (homonymie)
"Ah ouais mince Jean Giraud c'est bien Moebius, mon pote ne disait pas n'importe quoi, d'ailleurs pourquoi l'avant-dernier tome de XIII a été dessiné par Jean Giraud et pas par William Vance ?" --> Jean Giraud
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya

[xavier]

[pierre]

Frimeur.

[Salque]

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer le sens profond de cette formule ? Dans le sujet, la formule était déjà donnée, donc j'ai fait une preuve par récurrence qui a marché de façon automagique... il n'empêche que je ne vois pas comment on trouve la formule si on ne l'a pas.
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[xavier]

J'ai pas vraiment le courage de le taper. Si on se voit ce week-end, je t'expliquerai...

[antony]

C'est une variante de la formule d'inversion de Möbius (voir sur wikipedia, qui explique très bien).