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Salque Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 3271 Localisation: Salle Info 3 (ou salle Infi si je suis pressé)
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Posté le: 05 Déc 2007, 15:39 Sujet du message: Formule avec la fonction de Moebius |
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Vu dans mon DS de maths d'hier (ENS 1993 Maths I) ; j'ai trouvé cette formule absolument magnifique. Je la poste ici, car elle n'utilise en fait aucun outil non élémentaire :
Soit H une fonction multiplicative définie sur IN (i. e. pour tous entiers m et n, H(mn) = H(m)H(n)), F et G deux fonctions définies sur IR+ (H, F et G étant à valeurs dans ce que vous voulez), qui vérifient, pour tout réel positif x :
F(x) = Somme pour k=1 à +oo de G(x/k)H(k)
Exprimer alors G en fonction de F.
(On suppose qu'on n'a pas de problèmes en ce qui concerne la convergence des séries concernées. Si on veut être rigoureux, on n'a qu'à supposer, comme dans le sujet, que F et G sont nulles sur [0;1[.) _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait. |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 05 Déc 2007, 15:54 Sujet du message: |
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Je viens de faire une jolie glissade Wikipédia, là
"Ah ouais la fonction Moebius, on a déjà fait des exos dessus, c'est quoi déjà ?" --> Moebius (homonymie)
"Ah ouais mince Jean Giraud c'est bien Moebius, mon pote ne disait pas n'importe quoi, d'ailleurs pourquoi l'avant-dernier tome de XIII a été dessiné par Jean Giraud et pas par William Vance ?" --> Jean Giraud _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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xavier Mathématicien(ne)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190
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Posté le: 05 Déc 2007, 19:02 Sujet du message: Re: Formule avec la fonction de Moebius |
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Salque a écrit: | Exprimer alors G en fonction de F. |
[tex:bde4ac3224]G(x) = \sum_{k=1}^\infty \mu(k) F\left(\frac x k\right) H(k)[/tex:bde4ac3224] |
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pierre Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 303
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Posté le: 05 Déc 2007, 19:19 Sujet du message: |
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Frimeur. |
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Salque Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 3271 Localisation: Salle Info 3 (ou salle Infi si je suis pressé)
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Posté le: 06 Déc 2007, 15:14 Sujet du message: |
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Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer le sens profond de cette formule ? Dans le sujet, la formule était déjà donnée, donc j'ai fait une preuve par récurrence qui a marché de façon automagique... il n'empêche que je ne vois pas comment on trouve la formule si on ne l'a pas. _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait. |
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xavier Mathématicien(ne)
Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 1190
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Posté le: 06 Déc 2007, 15:55 Sujet du message: |
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J'ai pas vraiment le courage de le taper. Si on se voit ce week-end, je t'expliquerai... |
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antony Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005 Messages: 2176 Localisation: Vincennes/Aulnay
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Posté le: 06 Déc 2007, 17:43 Sujet du message: |
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C'est une variante de la formule d'inversion de Möbius (voir sur wikipedia, qui explique très bien). |
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