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Formule avec la fonction de Moebius

 
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
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MessagePosté le: 05 Déc 2007, 15:39    Sujet du message: Formule avec la fonction de Moebius Répondre en citant

Vu dans mon DS de maths d'hier (ENS 1993 Maths I) ; j'ai trouvé cette formule absolument magnifique. Je la poste ici, car elle n'utilise en fait aucun outil non élémentaire :


Soit H une fonction multiplicative définie sur IN (i. e. pour tous entiers m et n, H(mn) = H(m)H(n)), F et G deux fonctions définies sur IR+ (H, F et G étant à valeurs dans ce que vous voulez), qui vérifient, pour tout réel positif x :

F(x) = Somme pour k=1 à +oo de G(x/k)H(k)

Exprimer alors G en fonction de F.

(On suppose qu'on n'a pas de problèmes en ce qui concerne la convergence des séries concernées. Si on veut être rigoureux, on n'a qu'à supposer, comme dans le sujet, que F et G sont nulles sur [0;1[.)
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
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MessagePosté le: 05 Déc 2007, 15:54    Sujet du message: Répondre en citant

Je viens de faire une jolie glissade Wikipédia, là Mr. Green
"Ah ouais la fonction Moebius, on a déjà fait des exos dessus, c'est quoi déjà ?" --> Moebius (homonymie)
"Ah ouais mince Jean Giraud c'est bien Moebius, mon pote ne disait pas n'importe quoi, d'ailleurs pourquoi l'avant-dernier tome de XIII a été dessiné par Jean Giraud et pas par William Vance ?" --> Jean Giraud
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— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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xavier
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 23 Juin 2005
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MessagePosté le: 05 Déc 2007, 19:02    Sujet du message: Re: Formule avec la fonction de Moebius Répondre en citant

Salque a écrit:
Exprimer alors G en fonction de F.

[tex:bde4ac3224]G(x) = \sum_{k=1}^\infty \mu(k) F\left(\frac x k\right) H(k)[/tex:bde4ac3224]
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pierre
Matheux(se) cinglé(e)


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MessagePosté le: 05 Déc 2007, 19:19    Sujet du message: Répondre en citant

Frimeur.
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Salque
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 3271
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MessagePosté le: 06 Déc 2007, 15:14    Sujet du message: Répondre en citant

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer le sens profond de cette formule ? Dans le sujet, la formule était déjà donnée, donc j'ai fait une preuve par récurrence qui a marché de façon automagique... il n'empêche que je ne vois pas comment on trouve la formule si on ne l'a pas.
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xavier
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 1190

MessagePosté le: 06 Déc 2007, 15:55    Sujet du message: Répondre en citant

J'ai pas vraiment le courage de le taper. Si on se voit ce week-end, je t'expliquerai...
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
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MessagePosté le: 06 Déc 2007, 17:43    Sujet du message: Répondre en citant

C'est une variante de la formule d'inversion de Möbius (voir sur wikipedia, qui explique très bien).
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