Maths et Délires Des maths et des délires

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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 17 Avr 2008, 19:54 Sujet du message: Exercice d'arithmétique sympa |
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L'entier naturel [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662] est décomposé en facteurs premiers sous la forme :
[tex:beb1ebd662]n = p_1^{\alpha_1} \ldots p_s^{\alpha_s}[/tex:beb1ebd662]
Déterminer le nombre de classes modulo [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662] qui vérifient la congruence [tex:beb1ebd662]x^2 \equiv x [n][/tex:beb1ebd662].
Pour les PTBD, on va remplacer "nombre de classes modulo [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662]" par "nombre de [tex:beb1ebd662]x[/tex:beb1ebd662] non congrus deux à deux modulo [tex:beb1ebd662]n[/tex:beb1ebd662]".
Au fait, vous saviez que \frac a b ça donnait pareil que \frac{a}{b} ? Je viens de découvrir ça par accident  _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Tom Matheux (se)
Inscrit le: 14 Aoû 2007 Messages: 238
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 17 Avr 2008, 22:22 Sujet du message: |
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Ça va, c'était le lendemain de mon anniversaire, j'avais encore la gueule de bois
Hé, je plaisante les gens, revenez  _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Abou Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 18 Oct 2007 Messages: 348 Localisation: Paris, mais presque.
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Posté le: 18 Avr 2008, 9:21 Sujet du message: |
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Qui sont les PTBD? |
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Thibaut Geek mutant fou

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 3226 Localisation: MB 318, Montrouge
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Posté le: 18 Avr 2008, 11:42 Sujet du message: |
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Passe Ton Bac D'abord _________________ "“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 18 Avr 2008, 12:56 Sujet du message: |
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Abou, il ne t'intéresse pas, cet exercice ? Oui je sais qu'on a autre chose à faire. Mais passer un peu de temps dessus ne fait pas de mal. Et je posterai ce que je crois être une solution bientôt ^^ _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Abou Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 18 Oct 2007 Messages: 348 Localisation: Paris, mais presque.
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Posté le: 18 Avr 2008, 13:35 Sujet du message: |
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Ben c'est que ça m'rappelle 'achement ce que j'ai fait y'a pas si longtemps (dans la semaine), à savoir l'épreuve de Math II des mines 2002.
Bon, j'vais voir ça en mangeant
Édit : ha non en fait ça n'y ressemble pas du tout. |
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Djina Légère tendance aux maths et aux délires
Inscrit le: 31 Mar 2008 Messages: 74 Localisation: La Ciotat
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Posté le: 18 Avr 2008, 18:47 Sujet du message: |
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A Jill-Jênn: Je te suis très reconnaissante pour tes explications de hier, mais je ne vois absolument pas en quoi ça peut m'aider à résoudre le problème...  |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 18 Avr 2008, 20:18 Sujet du message: |
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Je pense qu'il est mieux que je donne ma solution, que je t'expliquerai si besoin est. C'est pas un bon premier exercice d'arithmétique (au fait, c'est le tout premier de la planche de Classiques n°2, il est dans la section "Proches du cours" alors que pas du tout xD).
Je la posterai un peu après 23h
Edit (00:17) : Soit [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] une telle classe.
Nécessairement, [tex:872250dc4f]\exists k~|~x^2 = x + k n[/tex:872250dc4f]
[tex:872250dc4f]x(x - 1) = k p_1^{\alpha_1} \ldots p_s^{\alpha_s}[/tex:872250dc4f]
Or [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]x - 1[/tex:872250dc4f] sont premiers entre eux, donc d'après Gauss itéré, [tex:872250dc4f]\forall i,~p_i^{\alpha_i}|x[/tex:872250dc4f] ou [tex:872250dc4f]p_i^{\alpha_i}|x - 1[/tex:872250dc4f].
Donc [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] est de la forme [tex:872250dc4f]k_1 a[/tex:872250dc4f] ([tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] est le produit des [tex:872250dc4f]p_i^{\alpha_i}[/tex:872250dc4f] qui divisent [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f]) et [tex:872250dc4f]x - 1[/tex:872250dc4f] de la forme [tex:872250dc4f]k_2 b[/tex:872250dc4f] où [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]b[/tex:872250dc4f] sont premiers entre eux et [tex:872250dc4f]a b = n[/tex:872250dc4f].
Réciproquement, pour tout produit [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] de [tex:872250dc4f]p_i^{\alpha_i}[/tex:872250dc4f], si on note [tex:872250dc4f]b = n / a[/tex:872250dc4f], on a bien [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]b[/tex:872250dc4f] premiers entre eux, donc d'après Bézout il existe [tex:872250dc4f]k_1[/tex:872250dc4f], [tex:872250dc4f]k_2[/tex:872250dc4f] tels que :
[tex:872250dc4f]k_1 a - k_2 b = 1[/tex:872250dc4f]
Donc en prenant [tex:872250dc4f]x = k_1 a[/tex:872250dc4f], on a [tex:872250dc4f]x - 1 = k_2 b[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]x(x - 1) = k_1 k_2 n[/tex:872250dc4f], d'où [tex:872250dc4f]x^2 \equiv x [n][/tex:872250dc4f].
Montrons que les [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] obtenus ne sont pas congrus 2 à 2 modulo [tex:872250dc4f]n[/tex:872250dc4f].
Pour ce faire, supposons par l'absurde qu'[tex:872250dc4f]\exists x, x'~|~x \equiv x' [n]~(1)[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]\exists p_i~|~p_i | x[/tex:872250dc4f] et [tex:872250dc4f]p_i \not | x'[/tex:872250dc4f].
[tex:872250dc4f](1) \Leftrightarrow p_i | x - x'[/tex:872250dc4f], donc comme [tex:872250dc4f]p_i | x[/tex:872250dc4f], on a [tex:872250dc4f]p_i | x'[/tex:872250dc4f], contradiction.
Finalement, il y a autant de [tex:872250dc4f]x[/tex:872250dc4f] qui conviennent que de parties de [tex:872250dc4f]\{1, \ldots, s\}[/tex:872250dc4f] (chaque partie représente les indices des nombres premiers choisis dans la décomposition en facteurs premiers de [tex:872250dc4f]a[/tex:872250dc4f]), c'est-à-dire [tex:872250dc4f]\fbox{$2^s$}[/tex:872250dc4f]. _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 19 Avr 2008, 21:54 Sujet du message: |
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Coucou, c'est juste pour dire que j'ai posté la solution xD Mais comme j'ai édité, vous n'avez peut-être pas vu ^^ _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Abou Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 18 Oct 2007 Messages: 348 Localisation: Paris, mais presque.
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Posté le: 20 Avr 2008, 1:01 Sujet du message: |
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Ha oui j'avais pas vu.
Y'a pas à dire, l'arithmétique c'est vraiment pas mon truc. (J'étais partis archi loin, sans rien de convainquant). |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 20 Avr 2008, 2:18 Sujet du message: |
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convaincant*
Il n'était pas convaincant, mais de toute façon, en le convainquant, il n'arriverait pas à obtenir ce qu'il désirait ^^
Il y a l'adjectif et le participe ^^
Est-ce que tu as compris la démo ?  _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Tom Matheux (se)
Inscrit le: 14 Aoû 2007 Messages: 238
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Posté le: 20 Avr 2008, 9:12 Sujet du message: |
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Jill-Jênn, tu devrais pas être en train de dormir à cette heure ci ?? N'oublie pas que c'est rdv à 7h30 mercredi pour les Mines :p _________________ JJ never dies |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 20 Avr 2008, 9:49 Sujet du message: |
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Dormir à 9h12 ? Nonon, j'étais réveillé ( ) _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Abou Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 18 Oct 2007 Messages: 348 Localisation: Paris, mais presque.
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Posté le: 20 Avr 2008, 9:59 Sujet du message: |
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Nan j'ai pas compris, déjà dès le début je suis largué :
Jill-Jênn a écrit: | Je la posterai un peu après 23h Smile
Edit (00:17) : Soit x une telle classe. |
1h17 = "un peu après"? Quelle référence de temps as-tu pris? (Par exemple sur 4h 1h17 ça comme à faire beaucoup )
Plus sérieusement j'ai pas suivis comment tu montres que les [tex:816e56f5f8]x[/tex:816e56f5f8] obtenus ne sont pas congrus modulo [tex:816e56f5f8]n[/tex:816e56f5f8]. |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 20 Avr 2008, 11:40 Sujet du message: |
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Disons que c'était un peu long à taper
Ah le reste t'as suivi ? Cool !
T'es d'accord que créer un [tex:8d3341fb55]x[/tex:8d3341fb55], ça revient à prendre une partie de [tex:8d3341fb55]\{1, \ldots, s\}[/tex:8d3341fb55]. Eh bien si on prend deux [tex:8d3341fb55]x[/tex:8d3341fb55] différents, ils sont associés à deux parties différentes. Donc il en existe un qui a en facteur un [tex:8d3341fb55]p_i^{\alpha_i}[/tex:8d3341fb55] (donc [tex:8d3341fb55]p_i[/tex:8d3341fb55]) que l'autre n'a pas.
Si on suppose que ces deux [tex:8d3341fb55]x[/tex:8d3341fb55] sont congrus modulo [tex:8d3341fb55]n[/tex:8d3341fb55], on aboutit à une contradiction. _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Abou Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 18 Oct 2007 Messages: 348 Localisation: Paris, mais presque.
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Posté le: 20 Avr 2008, 11:43 Sujet du message: |
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Ha oui je vois, merci =) |
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Cerise Admin gentil

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 3324 Localisation: Rennes
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Posté le: 20 Avr 2008, 18:19 Sujet du message: |
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Jill-Jênn a écrit: | Dormir à 9h12 ? |
8h12. Règle ton compte à l'heure d'été  _________________
Victime vengeresse
amo ergo sum
Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation. |
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Jill-Jênn Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 6360 Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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Posté le: 20 Avr 2008, 21:21 Sujet du message: |
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Cerise a écrit: | Jill-Jênn a écrit: | Dormir à 9h12 ? |
8h12. Règle ton compte à l'heure d'été  | Bin l'heure d'été, c'est bien GMT + 2 non ? Alors j'y suis ^^ _________________ « Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Overlord Être mi-geek mi-globzoule

Inscrit le: 23 Juin 2005 Messages: 2446 Localisation: Belgique, Louvain-La-Neuve, Bâtiment des Fous.
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Posté le: 20 Avr 2008, 23:19 Sujet du message: |
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Cherry, a priori, quand on passe à l'heure d'été, on avance l'horloge... _________________ Ceci est un virus de signature. Recopiez-le dans votre signature, s'il vous plait.
Il y a 11 catégories de gens sur Terre :
- Ceux qui vont sourire à cette blague parce qu'ils connaissent le binaire
- Ceux qui la connaissent et qui connaissent le binaire
- Ceux qui ne comprennent pas
Mais 10 d'entre eux ont VRAIMENT besoin de lâcher leur ordi... |
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