Maths et Délires
Des maths et des délires
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strife2
Matheux (se)
Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)
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 Posté le: 05 Jan 2008, 19:17 Sujet du message: Exercice IMO tordu |
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Salut.
Soit [tex:3225c00cad] P_1(x)= x²-2[/tex:3225c00cad] et [tex:3225c00cad]P_n(x) = P_1(P_{n-1}(x))[/tex:3225c00cad]
Montrer que [tex:3225c00cad]\forall[/tex:3225c00cad][tex:3225c00cad]n \geq 1[/tex:3225c00cad] les racines de [tex:3225c00cad]P_n(x)=x[/tex:3225c00cad] sont réels et distinctes.
Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement.
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Ancien de Grésillon. |
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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| Posté le: 05 Jan 2008, 19:38 Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu |
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| strife2 a écrit: | | Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement. |
Tu dis ça pour nous décourager, c'est ça ? 
Edit : démonstration géométrique ? 
Brouillon : Tiens c'est étrange, [tex:a90579fafe]P_n' = 2 P_{n - 1} P_{n - 1}'[/tex:a90579fafe], c'est cool pour savoir où la dérivée s'annule 
Je crois que j'ai trouvé mais j'ai un peu triché, j'ai regardé le graphe de P_2, mais c'est bizarre...
| Citation: | | Je crois que c'est juste une histoire de TVI (ou alors, je me suis trompé). |
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Cerise
Admin gentil
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3323
Localisation: Rennes
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| Posté le: 05 Jan 2008, 21:39 Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu |
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| Jill-Jênn a écrit: | | strife2 a écrit: | | Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement. |
Tu dis ça pour nous décourager, c'est ça ? |
Non, pour vous encourager...
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 Victime vengeresse
amo ergo sum
Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation. |
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Thibaut
Geek mutant fou
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge
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| Posté le: 05 Jan 2008, 22:00 Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu |
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| strife2 a écrit: | | Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement. |
Qui c'est, qui c'est ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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| Posté le: 05 Jan 2008, 22:43 Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu |
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| Cerise a écrit: | | Non, pour vous encourager... |
Ouais, ça dépend
Tu veux dire que les gens de ce forum ayant déjà l'esprit tordu, ils doivent se régaler ? ^^
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Thibaut
Geek mutant fou
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge
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| Posté le: 05 Jan 2008, 23:18 Sujet du message: |
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Ou se dire que même leur esprit n'est pas assez tordu pour trouver...
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
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strife2
Matheux (se)
Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)
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| Posté le: 06 Jan 2008, 13:56 Sujet du message: |
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Je connais pas son nom mais je pense qu'il est d'origine Indienne. Il était à H4 et a intégré Ulm l'année dernière il me semble.
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Ancien de Grésillon. |
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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| Posté le: 06 Jan 2008, 14:14 Sujet du message: |
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Ramanujan ?
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)
Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426
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| Posté le: 06 Jan 2008, 16:15 Sujet du message: |
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Mdr ...
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Union Tinh Võ Đạo de France : http://www.uniontvdfrance.com
Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout. |
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay
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| Posté le: 06 Jan 2008, 17:22 Sujet du message: |
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Ben, ça doit être lui... il était dans ma classe au lycée  |
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certus2007
Être humain normal
Inscrit le: 18 Sep 2007
Messages: 12
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| Posté le: 06 Jan 2008, 20:21 Sujet du message: |
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| C'est un exo IMO de quelle année ? |
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strife2
Matheux (se)
Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)
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| Posté le: 06 Jan 2008, 22:25 Sujet du message: |
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| Jill-Jênn a écrit: | | Ramanujan ? |
Rooh elle était facile celle-là. 
Sinon c'est un exo de 1976.
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Ancien de Grésillon. |
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Thibaut
Geek mutant fou
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3226
Localisation: MB 318, Montrouge
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| Posté le: 07 Jan 2008, 3:49 Sujet du message: |
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| strife2 a écrit: | | Jill-Jênn a écrit: | | Ramanujan ? |
Rooh elle était facile celle-là. |
Tu crois que c'est une blague ?
Il y a vraiment un conscrit qui s'appelle Ramanujan Santharoubane.
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Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay
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| Posté le: 07 Jan 2008, 11:40 Sujet du message: |
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| Oui, et il était vraiment dans ma classe au lycée... |
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musichien
Mathématicien(ne)
Inscrit le: 31 Aoû 2005
Messages: 1128
Localisation: devant mon ordi
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| Posté le: 07 Jan 2008, 22:00 Sujet du message: |
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| Jill-Jênn a écrit: | Brouillon : Tiens c'est étrange, P_n' = 2 P_{n - 1} P_{n - 1}', c'est cool pour savoir où la dérivée s'annule Razz
Je crois que j'ai trouvé mais j'ai un peu triché, j'ai regardé le graphe de P_2, mais c'est bizarre... |
Je crois avoir fait pareil que toi, et il me semble que ça marche trés bien avec une récurrence (enfin j'ai l'impression): P'n est le produit (à une constante près) des facteurs d'avant avec comme facteur 0 le polynôme X (je crois), les racines du polynôme "juste avant" donnent par Pn -2, et les racines encore antérieures donnent un truc supérieur à 2 (c'est trés facile à montrer puisque P(-2)=2 et qu'après, on augmente de plus en plus en composant).
De plus, il est facile de voir qu'on peut ne regarder que l'intervalle [-2,2], donc en comptant le nombre d'extrema de Pn dans cet intervalle qui font -2, et le nombre d'extrema de Pn dans l'intervalle qui sont plus grands que 2, on s'aperçoit qu'on coupe le bon nombre de fois y=x (donc oui, TVI).
En réalité, il faut quand même vérifier que les P_i n'ont pas de racines communes, mais c'est facile aussi.
Sinon, "la" solution magique était de transformer l'expression (il suffit de regarder dans le Bourgade ou dans le Soulami ^^). Faut avoir l'habitude de repérer ce genre de trucs, quoi... 
Ramanujan Santharoubane existe bien puisque c'est le fils de Louis (Santharoubane), qui nous a organisé un stage à Orsay l'année dernière...
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Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement) |
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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| Posté le: 08 Jan 2008, 0:22 Sujet du message: |
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| musichien a écrit: | | Je crois avoir fait pareil que toi, et il me semble que ça marche trés bien avec une récurrence (enfin j'ai l'impression): |
Ouais, je pense qu'il faut noter [tex:361e983b19]a_{n, 1}, \ldots, a_{n, 2n + 1}[/tex:361e983b19] les racines de [tex:361e983b19]P_n[/tex:361e983b19].
| musichien a écrit: | | P'n est le produit (à une constante près) des facteurs d'avant avec comme facteur 0 le polynôme X (je crois), les racines du polynôme "juste avant" donnent par Pn -2, et les racines encore antérieures donnent un truc supérieur à 2 (c'est trés facile à montrer puisque P(-2)=2 et qu'après, on augmente de plus en plus en composant). |
Ouais pas besoin de regarder ça, à mon avis tu fais un dessin de deux lignes d'un tableau de signes, et c'est bon. Je le scannerai à la fin de la semaine.
| musichien a écrit: | | De plus, il est facile de voir qu'on peut ne regarder que l'intervalle [-2,2], donc en comptant le nombre d'extrema de Pn dans cet intervalle qui font -2, et le nombre d'extrema de Pn dans l'intervalle qui sont plus grands que 2, on s'aperçoit qu'on coupe le bon nombre de fois y=x (donc oui, TVI). |
Ok, pour là on a pareil.
| musichien a écrit: | | En réalité, il faut quand même vérifier que les P_i n'ont pas de racines communes, mais c'est facile aussi. |
Pas besoin, parce que strictement entre deux racines de [tex:361e983b19]P_n[/tex:361e983b19], il y a une racine de [tex:361e983b19]P_{n+1}[/tex:361e983b19].
| musichien a écrit: | | Sinon, "la" solution magique était de transformer l'expression (il suffit de regarder dans le Bourgade ou dans le Soulami ^^). Faut avoir l'habitude de repérer ce genre de trucs, quoi... |
Quelle expression ?
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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strife2
Matheux (se)
Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)
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| Posté le: 08 Jan 2008, 18:01 Sujet du message: |
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Ah pardon je croyais que c'était vraiment une blague.
Oui je pense que c'est bien lui dans ce cas puisque ce problème m'a été posé à Orsay.
Sinon la solution "tordue" que nous avait proposé Ramanujan était une solution consistant à utiliser la trigonométrie.
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Ancien de Grésillon. |
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)
Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay
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| Posté le: 08 Jan 2008, 19:04 Sujet du message: |
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| En se ramenant astucieusement à du Tchebytchef ? |
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder
Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 6360
Localisation: ENS Cachan, France, Europe, Terre, Univers, ENS Cachan...
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| Posté le: 08 Jan 2008, 19:54 Sujet du message: |
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| strife2 a écrit: | | Ah pardon je croyais que c'était vraiment une blague. |
Ben, en fait, c'en était une. Je ne connais pas ce Ramanujan-là, moi (je parle du pote d'Antony, hein ). N'empêche, quelle coïncidence
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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya |
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strife2
Matheux (se)
Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
Localisation: Maisons-Alfort (94)
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| Posté le: 10 Jan 2008, 14:26 Sujet du message: |
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Et moi je croyais qu'anthony continuait ta blague.
Anthony : Euh j'ai pas exactement ça mais tu as une solution avec Tchebi ?
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Ancien de Grésillon. |
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