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Exercice IMO tordu
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Auteur Message
strife2
Matheux (se)


Inscrit le: 26 Nov 2006
Messages: 222
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MessagePosté le: 05 Jan 2008, 19:17    Sujet du message: Exercice IMO tordu Répondre en citant

Salut.

Soit [tex:3225c00cad] P_1(x)= x²-2[/tex:3225c00cad] et [tex:3225c00cad]P_n(x) = P_1(P_{n-1}(x))[/tex:3225c00cad]

Montrer que [tex:3225c00cad]\forall[/tex:3225c00cad][tex:3225c00cad]n \geq 1[/tex:3225c00cad] les racines de [tex:3225c00cad]P_n(x)=x[/tex:3225c00cad] sont réels et distinctes.

Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement.
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Ancien de Grésillon.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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Messages: 6360
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MessagePosté le: 05 Jan 2008, 19:38    Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu Répondre en citant

strife2 a écrit:
Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement.
Tu dis ça pour nous décourager, c'est ça ? Smile

Edit : démonstration géométrique ? Mr. Green
Brouillon : Tiens c'est étrange, [tex:a90579fafe]P_n' = 2 P_{n - 1} P_{n - 1}'[/tex:a90579fafe], c'est cool pour savoir où la dérivée s'annule Razz
Je crois que j'ai trouvé mais j'ai un peu triché, j'ai regardé le graphe de P_2, mais c'est bizarre...
Citation:
Je crois que c'est juste une histoire de TVI (ou alors, je me suis trompé).

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« Être amoureux, ce n'est qu'une erreur de jugement temporaire. Un peu comme une maladie mentale. »
— Haruhi, dans La Mélancolie de Haruhi Suzumiya
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Cerise
Admin gentil


Inscrit le: 23 Juin 2005
Messages: 3323
Localisation: Rennes

MessagePosté le: 05 Jan 2008, 21:39    Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
strife2 a écrit:
Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement.
Tu dis ça pour nous décourager, c'est ça ? Smile

Non, pour vous encourager...
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amo ergo sum

Méfiez-vous de l'assassinat ; il conduit au vol et, de là, à la dissimulation.
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 05 Jan 2008, 22:00    Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu Répondre en citant

strife2 a écrit:
Celui qui nous l'a posé l'avait eu en colle durant sa spé et nous a dit qu'il fallait, je cite, "avoir l'esprit complètement tordu pour en trouver la solution". Il est à Ulm d'ailleurs actuellement.
Qui c'est, qui c'est ?
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"“The Sith who were famous for being bad, Jacen, were the way they were because they were badly damaged men or women to start with. Not because they were Sith. Usually, they were weak, or deluded, or greedy to begin with. Like your grandfather.”"
Shira Brie aka Lumiya aka Brisha Syo, Legacy of the Force, #1: Betrayal
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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Messages: 6360
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MessagePosté le: 05 Jan 2008, 22:43    Sujet du message: Re: Exercice IMO tordu Répondre en citant

Cerise a écrit:
Non, pour vous encourager...
Ouais, ça dépend Mr. Green
Tu veux dire que les gens de ce forum ayant déjà l'esprit tordu, ils doivent se régaler ? ^^
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 05 Jan 2008, 23:18    Sujet du message: Répondre en citant

Ou se dire que même leur esprit n'est pas assez tordu pour trouver...
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strife2
Matheux (se)


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Messages: 222
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MessagePosté le: 06 Jan 2008, 13:56    Sujet du message: Répondre en citant

Je connais pas son nom mais je pense qu'il est d'origine Indienne. Il était à H4 et a intégré Ulm l'année dernière il me semble.
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Ancien de Grésillon.
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Jill-Jênn
Au fait, on t'avait dit d'arrêter de flooder


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MessagePosté le: 06 Jan 2008, 14:14    Sujet du message: Répondre en citant

Ramanujan ?
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Guillaume.B
Matheux(se) cinglé(e)


Inscrit le: 30 Oct 2006
Messages: 426

MessagePosté le: 06 Jan 2008, 16:15    Sujet du message: Répondre en citant

Mdr ...
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Qu'est-ce que l'homme dans la nature ? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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Messages: 2176
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MessagePosté le: 06 Jan 2008, 17:22    Sujet du message: Répondre en citant

Ben, ça doit être lui... il était dans ma classe au lycée Very Happy
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certus2007
Être humain normal


Inscrit le: 18 Sep 2007
Messages: 12

MessagePosté le: 06 Jan 2008, 20:21    Sujet du message: Répondre en citant

C'est un exo IMO de quelle année ?
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strife2
Matheux (se)


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Messages: 222
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MessagePosté le: 06 Jan 2008, 22:25    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
Ramanujan ?


Rooh elle était facile celle-là. Laughing

Sinon c'est un exo de 1976.
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Thibaut
Geek mutant fou


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Messages: 3226
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MessagePosté le: 07 Jan 2008, 3:49    Sujet du message: Répondre en citant

strife2 a écrit:
Jill-Jênn a écrit:
Ramanujan ?


Rooh elle était facile celle-là. Laughing
Tu crois que c'est une blague ?
Il y a vraiment un conscrit qui s'appelle Ramanujan Santharoubane.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


Inscrit le: 24 Juin 2005
Messages: 2176
Localisation: Vincennes/Aulnay

MessagePosté le: 07 Jan 2008, 11:40    Sujet du message: Répondre en citant

Oui, et il était vraiment dans ma classe au lycée...
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musichien
Mathématicien(ne)


Inscrit le: 31 Aoû 2005
Messages: 1128
Localisation: devant mon ordi

MessagePosté le: 07 Jan 2008, 22:00    Sujet du message: Répondre en citant

Jill-Jênn a écrit:
Brouillon : Tiens c'est étrange, P_n' = 2 P_{n - 1} P_{n - 1}', c'est cool pour savoir où la dérivée s'annule Razz
Je crois que j'ai trouvé mais j'ai un peu triché, j'ai regardé le graphe de P_2, mais c'est bizarre...


Je crois avoir fait pareil que toi, et il me semble que ça marche trés bien avec une récurrence (enfin j'ai l'impression): P'n est le produit (à une constante près) des facteurs d'avant avec comme facteur 0 le polynôme X (je crois), les racines du polynôme "juste avant" donnent par Pn -2, et les racines encore antérieures donnent un truc supérieur à 2 (c'est trés facile à montrer puisque P(-2)=2 et qu'après, on augmente de plus en plus en composant).
De plus, il est facile de voir qu'on peut ne regarder que l'intervalle [-2,2], donc en comptant le nombre d'extrema de Pn dans cet intervalle qui font -2, et le nombre d'extrema de Pn dans l'intervalle qui sont plus grands que 2, on s'aperçoit qu'on coupe le bon nombre de fois y=x (donc oui, TVI).

En réalité, il faut quand même vérifier que les P_i n'ont pas de racines communes, mais c'est facile aussi.

Sinon, "la" solution magique était de transformer l'expression (il suffit de regarder dans le Bourgade ou dans le Soulami ^^). Faut avoir l'habitude de repérer ce genre de trucs, quoi... Confused

Ramanujan Santharoubane existe bien puisque c'est le fils de Louis (Santharoubane), qui nous a organisé un stage à Orsay l'année dernière...
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Le roi de la solution pas claire
(et fausse accessoirement)
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 08 Jan 2008, 0:22    Sujet du message: Répondre en citant

musichien a écrit:
Je crois avoir fait pareil que toi, et il me semble que ça marche trés bien avec une récurrence (enfin j'ai l'impression):
Ouais, je pense qu'il faut noter [tex:361e983b19]a_{n, 1}, \ldots, a_{n, 2n + 1}[/tex:361e983b19] les racines de [tex:361e983b19]P_n[/tex:361e983b19].
musichien a écrit:
P'n est le produit (à une constante près) des facteurs d'avant avec comme facteur 0 le polynôme X (je crois), les racines du polynôme "juste avant" donnent par Pn -2, et les racines encore antérieures donnent un truc supérieur à 2 (c'est trés facile à montrer puisque P(-2)=2 et qu'après, on augmente de plus en plus en composant).
Ouais pas besoin de regarder ça, à mon avis tu fais un dessin de deux lignes d'un tableau de signes, et c'est bon. Je le scannerai à la fin de la semaine.
musichien a écrit:
De plus, il est facile de voir qu'on peut ne regarder que l'intervalle [-2,2], donc en comptant le nombre d'extrema de Pn dans cet intervalle qui font -2, et le nombre d'extrema de Pn dans l'intervalle qui sont plus grands que 2, on s'aperçoit qu'on coupe le bon nombre de fois y=x (donc oui, TVI).
Ok, pour là on a pareil.
musichien a écrit:
En réalité, il faut quand même vérifier que les P_i n'ont pas de racines communes, mais c'est facile aussi.
Pas besoin, parce que strictement entre deux racines de [tex:361e983b19]P_n[/tex:361e983b19], il y a une racine de [tex:361e983b19]P_{n+1}[/tex:361e983b19].
musichien a écrit:
Sinon, "la" solution magique était de transformer l'expression (il suffit de regarder dans le Bourgade ou dans le Soulami ^^). Faut avoir l'habitude de repérer ce genre de trucs, quoi... Confused
Quelle expression ?
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 08 Jan 2008, 18:01    Sujet du message: Répondre en citant

Ah pardon je croyais que c'était vraiment une blague.

Oui je pense que c'est bien lui dans ce cas puisque ce problème m'a été posé à Orsay.

Sinon la solution "tordue" que nous avait proposé Ramanujan était une solution consistant à utiliser la trigonométrie.
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antony
Mathématicien(ne) fou (folle)


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MessagePosté le: 08 Jan 2008, 19:04    Sujet du message: Répondre en citant

En se ramenant astucieusement à du Tchebytchef ?
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Jill-Jênn
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MessagePosté le: 08 Jan 2008, 19:54    Sujet du message: Répondre en citant

strife2 a écrit:
Ah pardon je croyais que c'était vraiment une blague.
Ben, en fait, c'en était une. Je ne connais pas ce Ramanujan-là, moi (je parle du pote d'Antony, hein Mr. Green). N'empêche, quelle coïncidence Mr. Green
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strife2
Matheux (se)


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MessagePosté le: 10 Jan 2008, 14:26    Sujet du message: Répondre en citant

Et moi je croyais qu'anthony continuait ta blague. Laughing

Anthony : Euh j'ai pas exactement ça mais tu as une solution avec Tchebi ?
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